1. ÜBUNG. Die Differentialgleichung, die aus der Massenbilanz folgt, ist für folgende Bedingungen zu lösen:

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1 PAVP - Übungsaufgaben Ü ÜBUNG Für den dargestellten Behälter ist der zeitliche Verlauf H(t) der Füllhöhe zu bestimmen. Die folgenden Konstanten sind als bekannt vorauszusetzen: A - h v - ñ - Querschnitt des zylindrischen Behälters Ventilbeiwert Dichte der Flüssigkeit Die Differentialgleichung, die aus der Massenbilanz folgt, ist für folgende Bedingungen zu lösen: a) H( t=0 ) = H 0 b) Die Differentialgleichung ist zu linearisieren. Es kann angenommen werden, dass gilt. Die Höhe H 0 markiert einen stationären Arbeitspunkt. Für den eintretenden Volumenstrom gilt die folgende explizite Abhängigkeit von der Zeit: Die Konstanten sind bekannt. 2. ÜBUNG Für die imulation des dynamischen Verhaltens des dargestellten Doppelrohr-Wärmeübertragers ( s. folgende eite ), der im Gleichstrom betrieben wird, ist das mathematische Prozessmodell zu entwickeln. Durch sinnvolle vereinfachende Annahmen ergibt sich zunächst ein ystem linearer partieller Differentialgleichungen. Die Lösung dieses ystems ist auf numerischem Weg zu erhalten. Für die stationären Temperaturprofile ergeben sich gewöhnliche

2 Ü - 2 PAVP - Übungsaufgaben Differentialgleichungen. Die Lösung dieses ystems ist unter den getroffenen Voraussetzungen mit tandardmethoden möglich. Im einzelnen sind folgende Teilaufgaben zu lösen: Ableitung der lokalen Bilanzen und der Randbedingungen unter folgenden Voraussetzungen: = Die peicherwirkung der Rohrwandungen kann vernachlässigt werden. = Die mittleren trömungsgeschwindigkeiten und damit auch die Volumenströme sind konstant. = Die axiale Vermischung kann vernachlässigt werden. = Der Wärmeübertrager ist vereinfachend als Doppelrohr zu betrachten. Für den instationären Fall sind die Differentialgleichungen für die Verläufe der Temperaturen des kalten und des heißen tromes abzuleiten. Die stationären Temperaturprofile sind (in allgemeiner Form) zu ermitteln. Die toffwerte des heißen und kalten troms sowie die Abmessungen des Wärmeübertragers werden als konstant vorausgesetzt.

3 PAVP - Übungsaufgaben Ü ÜBUNG Die Flüssigkeit in einem Behälter (siehe nebenstehende Abbildung) kühlt sich ab. Die Umgebungsbedingungen können dabei als konstant vorausgesetzt werden. Die Abkühlung vollzieht sich überwiegend über die Mantelfläche des Behälters; der Wärmestrom über die Bodenfläche kann vernachlässigt werden. Flüssigkeitsstand im Behälter (H) : 2 m Behälterdurchmesser (D) : 0.5 m Umgebungstemperatur : 20 C spezifische Wärme der Flüssigkeit : 4.17 KJ/(Kg*K) Dichte der Flüssigkeit : 1000 Kg/m 3 Folgende Daten sind bekannt: Für die in der nachfolgenden Tabelle angegebenen Zeitpunkte wurde die Temperatur im Behälter gemessen: t/h T/ C Im einzelnen sind folgende Teilaufgaben zu lösen:! Die k-zahl ist über ein geeignetes grafisches Verfahren aus dem Kurvenverlauf zu bestimmen.! Die Bestimmung der k-zahl ist als Parameter-chätzproblem zu behandeln. Es ist eine geeignete Variablentransformation zu finden, die auf ein parameterlineares chätzproblem führt. Die chätzgleichung für den Parameter ist herzuleiten.! Das chätzproblem ist für den allgemeinen, parameternichtlinearen Fall zu lösen. Für die Lösung der sich ergebenden nichtlinearen Gleichung ist das NEWTON-Verfahren anzuwenden. Entwerfen ie ein Programm für die numerische Lösung des Problems.

4 Ü - 4 PAVP - Übungsaufgaben 4. ÜBUNG 1. Aufgabe Für die Ermittlung des Zusammenhangs zwischen zwei Einflussgrößen und einer Zielgröße wurde folgender Versuchsplan realisiert: Folgende Teilaufgaben sind zu lösen: x1 x2 y a) Bestimmen ie die Parameter des linearen Modells aus den Versuchsergebnissen. b) Bestimmen ie Reststreuung und Bestimmtheitsmaß für das lineare Modell. c) Beurteilen ie die Güte des Modells. Tragen ie die Residuen über x1 und über x 2 auf. Welche chlussfolgerungen sind zu ziehen? d) Für das folgende Modell wurden aus den Versuchsergebnissen folgende Koeffizienten bestimmt b 0 = b 1 = 9.60 b 2 = b 11 = Ermitteln ie für dieses Modell ebenfalls Bestimmtheitsmaß und Reststreuung. e) Vergleichen ie beide Modellvarianten.

5 PAVP - Übungsaufgaben Ü Aufgabe Leiten ie aus der TAYLOR-Entwicklung das tandardmodell ab, das außer den linearen Termen auch die paarweisen Wechselwirkungen der Einflussgrößen enthält. Diskutieren ie für den Fall zweier Einflussgrößen die Verläufe der Funktionen y=y(x 1) mit x2 als Parameter für das lineare Modell und für das Modell mit den paarweisen Wechselwirkungen. 5. ÜBUNG 1. Aufgabe Wie lauten die Transformationsvorschriften für die Koeffizienten des linearen Modells das durch Rücktransformation der normierten Variablen in die ursprünglichen Variablen aus dem Modell entsteht? 2. Aufgabe Für welches der beiden Modelle ist der folgendeversuchsplan orthogonal und drehbar: 3. Aufgabe Zur Bestimmung der Parameter des folgenden Modells 2 2 y = b 0 + b 1*x 1 + b 2*x 2 + b 11*(x 1 - ß) + b 22*(x 2 - ß) wurde ein vollständiger Faktorenplan auf drei Niveaus realisiert, dessen Planmatrix die Form hat: Welchen Wert muss der Korrekturterm ß annehmen, damit sich ein orthogonaler Plan ergibt?

6 Ü - 6 PAVP - Übungsaufgaben 4. Aufgabe Die Parameter in folgendem Modell sind zu bestimmen: y= b 0 + b 1*x 1 +b 2*x 2 + b 3*x 3 + b 4*x 4 + b 13*x 1*x 3 + b 34*x 3*x 4 Entwickeln ie einen geeigneten Teilfaktorenplan. Lösen ie dafür folgende Teilaufgaben: a) Wie ist der Generator für x 4 zu wählen? b) Welche Koeffizientenvermengungen sind mit dem Plan verbunden? 1. Aufgabe: 6. ÜBUNG Für das folgende Modell ist ein vollständiger Faktorenplan auf zwei Niveaus zu realisieren: Die Versuchsbedingungen lassen sich nur über vier Versuche konstant halten. Es ist somit eine neue Variable für die Versuchsbedingungen einzuführen. Diese soll so gewählt werden, dass sich ein Teilfaktorenplan ergibt. Man bezeichnet diese Einführung der Versuchsbedingungen in den Versuchsplan in Form einer neuen Variablen als Blockbildung. a) Wie ist der Teilfaktorenplan zu konstruieren? b) In welcher Reihenfolge sind die Versuche durchzuführen? 2. Aufgabe: Für drehbare zusammengesetzte Versuchspläne zweiter Ordnung lässt sich der Planparameter á so wählen, dass entweder die Orthogonalität des Planes oder dessen Drehbarkeit die Folge ist. Es soll untersucht werden, inwieweit es möglich ist, zentrale zusammengesetzte Pläne zweiter Ordnung so zu konstruieren, dass sie sowohl orthogonal als auch drehbar sind. a) Welche Größe kann man für die Erreichung dieses Zieles als Freiheitsgrad nutzen? b) Leiten ie für diese Größe eine Beziehung her, die die geforderten Eigenschaften garantiert. 3. Aufgabe: Für einen Polykondensationsprozess ist ein statisches Prozessmodell zu entwickeln. Die Prozessausgangsgröße ist der Polykondensationsgrad (gemessen durch die Lösungsviskosität). Die theoretische Prozessanalyse hat ergeben, dass die nachfolgend genannten Einflussgrößen zu berücksichtigen sind. Diese können in den angegebenen Bereichen variiert werden: Reaktortemperatur (in C) Durchsatz (in Kg/h) Rührerdrehzahl (in 1/min) Reaktordruck (in Pa) Polykondensationsgrad am Reaktoreintritt

7 PAVP - Übungsaufgaben Ü - 7 Die theoretische Analyse hat weiterhin ergeben, dass ein quadratischer Modellansatz, der auch die einfachen Wechselwirkungen enthält, anzunehmen ist. a) chlagen ie einen geeigneten Versuchsplan vor. b) Konstruieren ie die Planmatrix in normierten und realen Koordinaten. Berücksichtigen ie die unterschiedlichen Möglichkeiten der Eigenschaften des Planes. 7. ÜBUNG Für einen Polykondensationsprozess ist ein statisches Prozessmodell zu entwickeln. Die Zielgröße ist der Polykondensationsgrad (gemessen durch die Lösungsviskosität). Die theoretische Prozessanalyse hat ergeben, dass die nachfolgend genannten Einflussgrößen zu berücksichtigen sind. Diese können in den angegebenen Bereichen variiert werden: Reaktortemperatur ( in C ) Durchsatz ( in Kg/h ) Rührerdrehzahl ( in 1/min ) Reaktordruck ( in Pa ) Polykondensationsgrad am Reaktoreintritt Die theoretische Analyse hat weiterhin ergeben, dass ein quadratischer Modellansatz, der auch die einfachen Wechselwirkungen enthält, anzunehmen ist. Für die Modellbildung ist ein Versuchsplan realisiert worden (s. hierzu 6: Übung, 3. Aufgabe), der einem zentralen zusammengesetzten Plan 2. Ordnung nahe kommt. Dieser Plan erlaubt die Bestimmung der Koeffizienten in nachfolgend genannten Modellvarianten: Lineares Modell mit Wechselwirkungen. Quadratischer Ansatz mit einfachen Wechselwirkungen. Linearer Ansatz mit ausgewählten Wechselwirkungen und Quotienten in den Einflussgrößen. Für diese Modelle sind die Koeffizienten zu bestimmen. Auf der Grundlage von ignifikanztests für die Koeffizienten sind die Ansätze zu modifizieren (d.h., es sind geeignete Auswahlverfahren der Regressionsanalyse anzuwenden). Die Ergebnisse sind auf der Grundlage der statistischen Maßzahlen zu vergleichen. Die Abweichungen zwischen den Modell- und den Messwerten sind ebenfalls zu diskutieren. Für die Lösung dieser Aufgaben sind geeignete Programmsysteme zu nutzen, die die erforderlichen Werkzeuge in integrierter Form bereitstellen. Im einzelnen sind folgende Teilaufgaben zu bearbeiten: a) Voruntersuchung des Datenmaterials. b) Regressionsanalyse. c) Interpretation der Ergebnisse.