Mitschrift zu Wärmetransportphänomene bei Prof. Polifke SoSe 2010

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1 Inhalt 1. Einführung Grundbegriffe der Wärmeleitung Fourier sches Gesetz Fourier sche DGL Stationäre Wärmeleitung Wärmeleitung in einfachen Geometrien Wärmeleitung in der Platte Wärmeleitung im Zylinder Wärmeleitwiderstand Wärmedurchgang und Péclet-Gleichungen Temperaturprofile in der Platte Grafische Lösung Péclet-Gleichung Zylinder Kritischer Radius Kennzahl von Biot Wärmeleitung mit Quellen Instationäre Wärmeübertragung Blockkapazität Sprungantwort einer Blockkapazität Thermometerfehler (1. Art) Biot- und Fourierzahl Gültigkeit der Näherung BK Physikalische Grundlagen der Wärmestrahlung Wärmeübertragung durch Strahlung Strahlung mit Wärmeübertragung Strahlungsübergangskoeffizient Bilanzen beim konvektiven Transport Ideal gerührter Behälter Wärmeverluste Rohrleitung Globale Energiebilanz über gesamte Rohroberfläche Lokale Bilanz über bzw Wärmeübertrager Einflussgrößen Wärmeübertrager Lokale Energiebilanz (Gegenstrom)...13

2 8.5. Berechnung von (Gegenstrom WT) Konvektiver Wärmeübergang und Nußelt-Zahl Definition als dimensionsloser T-Gradient als Maß für die Grenzschichtdicke Korrelationen im Heizungsrohr Beispiel Ähnlichkeitstheorie und Kennzahlen Kennzahlen aus DGL Dimensionsanalyse ( π-theorem )...16 Wichtige Kennzahlen: π-theorem von Buckingham Reynolds-Analogie Freie Konvektion Boussinesq-Approximation Kennzahlen der freien Konvektion /18

3 1. Einführung 2. Grundbegriffe der Wärmeleitung 2.1. Fourier sches Gesetz T 1 A. Wärmestrom A (Stirnfläche) T 2 λ λ λ λ < Metalle Nichtleiter Flüssigkeiten Gase Was wenn?. Wärmefluss, Wärmestromdichte Fluss in x-richtung Gesetz von Fourier Wie bestimme ich das Temperaturfeld? in Abhängigkeit von Rand- oder Anfangsbedingungen 2.2. Fourier sche DGL z+δz y y+δy Energiebilanz: z x x+δx. Wärmefreisetzung im Volumen 3/18

4 Analog für y und z Fourier sche DGL 3. Stationäre Wärmeleitung 3.1. Wärmeleitung in einfachen Geometrien Wärmeleitung in der Platte Fourier-DGL: 0 s x Wärmeleitung im Zylinder Fourier-DGL: r 2 T W,2 r 1 T W,1 4/18

5 Wärmeleitwiderstand Ohm sches Gesetz: (Platte) (Zylinder) (Kugel) 3.2. Wärmedurchgang und Péclet-Gleichungen Temperaturprofile in der Platte Energieerhaltung (stationär): R α,1 R λ R α,2 mit, /18

6 r 2 α außen r 1 r 1 α innen R α,innen R λ,rohr R λ,isolation R α,außen Können vernachlässigt werden Text Grafische Lösung Wärmedurchgangskoeffizient K-Wert WÜG: Péclet-Gleichung Zylinder mit RAUS 6/18

7 Kritischer Radius r 2 α 2 λ λ: Isolation r 1 Dimensionslose Variable: R λ R α Kennzahl von Biot r 2 Rλ α 2 r 1 Für Rohrleitung mit Isolation: 3.3. Wärmeleitung mit Quellen Fourier-DGL: P/Z/K α Bei 7/18

8 Ansatz: Einsetzen in DGL: 2. Randbedingung bei : n=0: 4. Instationäre Wärmeübertragung 4.1. Blockkapazität Ideale Wärmeleitung ( Sprungantwort einer Blockkapazität T 0 ρcv Energieerhaltung: 8/18

9 Halbwertszeit: Thermometerfehler (1. Art) α λ Sensorbereich ( Perle ) als Blockkapazität Energiebilanz: AB: Entdimensionierung: (I) dimensionslos: Lösung: 4.2. Biot- und Fourierzahl Gültigkeit der Näherung BK Annahme: BK gerechtfertigt, falls In der Praxis: 9/18

10 Temperaturen RB3:, 5. Physikalische Grundlagen der Wärmestrahlung Strahlung falls: 1) Temperatur hoch 2) WL / KWÜ gehemmt, unterdrückt Zu Realer Strahler E λ,s(t 2) E λ,s(t 1,λ) ε(t)= 1 für T 1 0 für T 2 Zu 5.5 Globale Emissionsgrade für diffusen Strahler ε 1 1 ε falls: 1), d.h. Körper ist im thermischen Gleichgewicht mit schwarzem Strahler 2) Körper grau, Zu 6.1 Konvexer Körper im geschlossenen Raum Hohlraum 2 ist gefüllt mit e S(T 2), A 1 stört kaum ε 10/18

11 Zu Strahlungsschutzschirm 1) 2) stationär 3) 6. Wärmeübertragung durch Strahlung 6.1. Text 6.2. Strahlung mit Wärmeübertragung T 2, ε 2, A 2 Wärmestrombilanz (stationär): T 1, ε 1, A Strahlungsübergangskoeffizient T 1 T 2 7. Bilanzen beim konvektiven Transport 7.1. Ideal gerührter Behälter Zufluss: Anfangsbedingung: gesamt-m im Behälter Wärmekapazität: 11/18

12 Gesucht: Masse: m 0 Energie: Energiebilanz: RB: 7.2. Wärmeverluste Rohrleitung τ Vorbemerkung (7.2.0): Massenstrom: Enthalpiestrom: Globale Energiebilanz über gesamte Rohroberfläche 12/18

13 Lokale Bilanz über bzw. R.B. 8. Wärmeübertrager 8.1. Einflussgrößen Wärmeübertrager 4 T = 3 T wegen : übertragene Wärme Übertragungsfähigkeit 7 Einflussgrößen, 2 Einheiten (W, K) 5 Kennzahlen 8.2. TEXT 8.3. Lokale Energiebilanz (Gegenstrom) zugeführt = abgeführt 13/18

14 Berechnung von (Gegenstrom WT) 9. Grundbegriffe Thermofluiddynamik Energieerhaltung: 10. Konvektiver Wärmeübergang und Nußelt-Zahl Definition lokale Nußelt-Zahl mittlere Nußelt-Zahl als dimensionsloser T-Gradient als Maß für die Grenzschichtdicke 14/18

15 Korrelationen Ähnlichkeit von Strömungs- und Temperaturfeldern im Heizungsrohr α 2 α 1 λ Frage: Aus Arbeitsunterlagen: R α,i R λ R α,a Beispiel Kühlleistung laminare Strömung 11. TEXT gibt s nicht!!! 15/18

16 12. Ähnlichkeitstheorie und Kennzahlen Kennzahlen aus DGL Dimensionsanalyse ( π-theorem ) Bsp.: Wärmedurchgang Zylinder ( kritischer Radius ) Einflussgrößen: Radien ; λ ; α ; Gesucht: N.B.: 6 Größen, 3 Einheiten (W,m,K) 6 3 = 3 Kennzahlen Zu 12.3 Wichtige Kennzahlen: stetige/ stationäre Fragestellung WL in der Wand unwichtig Geometrische Ähnlichkeit: 16/18

17 π-theorem von Buckingham Variablen Grund einheiten n m linear unabhängige, dim.lose π-gruppen (Kennzahlen) N.B.: Vorteil: π-gruppe als π-gruppen nicht eindeutig Sprungantwort: alternativ: oder manchmal weniger als n m π-gruppen Reynolds-Analogie Thermofluiddynamik: Geleichungen für R.B. identisch Felder identisch gleich Nußelt, Reibungsbeiwert: 17/18

18 13. Freie Konvektion 13.3 Boussinesq-Approximation Annahme: außer beim Auftrieb Stoffwerte konstant 1. Konti 2. X-Impuls/ Auftriebsterm mit Volumenausdehnungskoeffizient 13.4 Kennzahlen der freien Konvektion Einflussgrößen: 6 Größen; 3 Kennzahlen Grashofzahl Rayleighzahl Ich hoffe das sich die Arbeit gelohnt hat und Ihr mit diesem Manuskript etwas anfangen könnt. Es enthält nur den Tafelanschrieb von Prof. Polifke und die Bemerkungen die er zu verschiedenen Folien an die Tafel geschrieben hat. Mündliche Kommentare zu den Folien sind nicht enthalten! Ich wünsche Euch allen viel Erfolg bei Euren Prüfungen. 18/18