Grundoperationen der Verfahrenstechnik. Dimensionsanalyse und Ähnlichkeitstheorie I

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Grundoperationen der Verfahrenstechnik. Dimensionsanalyse und Ähnlichkeitstheorie I"

Kristian Fuchs
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Grundoperationen der Verfahrenstechnik 1. Übung, WS 2016/2017 Betreuer: Maik Tepper M.Sc., Morten Logemann M.Sc., Johannes Lohaus M.Sc., Jan-Bernd Vennekötter M.Sc., Dimensionsanalyse und Ähnlichkeitstheorie I Eine Kölner Brauerei möchte eine Kölsch-Pipeline mit einem Durchmesser von D = 0,04 m in ihren Brauereiausschank verlegen, um dem großen Durchsatz besser Herr werden zu können. Einer der hauseigenen Verfahrensingenieure wird gebeten, eine Pumpe auszuwählen, die die für die Förderung nötige Druckdifferenz erzeugt. Der clevere Mitarbeiter baut sich für dieses Problem ein geometrisch ähnliches Modell, welches er aus moralischen Gründen ersatzweise mit Wasser betreibt. a) Stellen Sie unter der Annahme einer laminaren Rohrströmung einen vollständigen Kennzahlensatz für dieses Problem auf. Hinweis: Der Druckverlust p wird beeinflusst durch die Rohrlänge L, die mittlere Strömungsgeschwindigkeit u, die Stoffwerte des Kölschs ρ und η sowie den Pipelinedurchmesser D. b) Der Ingenieur misst an seiner Versuchsanlage einen Druckverlust von p = 5 bar bei einer Fließgeschwindigkeit von u = 0,25 m/s. Wie groß wird der Druckverlust in der Kölsch-Pipeline sein, wenn das Modell im Maßstab n = 1 : 5 gebaut wurde? (Annahme: Die Stoffwerte von Wasser und Kölsch unterscheiden sich nicht.) (η=1 mpas, ρ=1000 kg/m 3 ) c) War die Annahme einer laminaren Rohrströmung richtig?

2 Musterlösung a) A Ausgehend von Ges.: vollst. Kennzahlensatz Geg.: Parameter Skizze: p u D ρ, η L Berechnung: Auflisten aller Parameter + SI-Einheiten: p = [ kg ] m s 2 D = [m] u = [ m s ] η = [ kg m s ] L = [m] ρ = [ kg ] m 3 Aufstellen des Satzes der unabhängigen Einflussgrößen: Überlegungen: Welche der aufgelisteten Parameter sind relevant? Welche bereits bekannten Kennzahlen können herauskommen? Dabei ist zu beachten, dass alle relevanten Einflussgrößen voneinander unabhängig sind, also nicht durch Definitionsgleichungen gekoppelt sind. Zum Beispiel sind nur 2 der 3 Größen V, A und u relevante Einflussgrößen, da gilt: V = A u (1) 2

3 Hier: p gesuchte Druckdifferenz zwecks Förderung des Bieres Eu-Zahl D, L geometrische Beschreibung des Systems u, η, ρ, D strömendes System Re-Zahl Methode 1: Kennzahlenermittlung über Potenzprodukt Der allgemeine Ansatz des Π-Theorems: Π = x α 1 1 xα xαn n (2) lautet hier: Π = p α1 D α2 u α3 η α4 L α5 ρ α 6 (3) Die Dimensionsmatrix ergibt p D u η L ρ [M] [L] [T ] Mit 6 Einflussgrößen n und 3 Grundgrößen r, folgt nach: dass 3 Kennzahlen i das System beschreiben. i = n r = 3 (4) Daraus ergeben sich 3 lineare Beziehungen zur Bestimmung der Exponenten: [M] 0 = α 1 + α 4 + α 6 (5) [L] 0 = α 1 + α 2 + α 3 α 4 + α 5 3α 6 (6) [T ] 0 = 2α 1 α 3 α 4 (7) Dieses System besitzt 3 Freiheitsgrade, d. h. es müssen 3 Wahlgrößen bestimmt werden. Hier sollen α 1, α 4 und α 5 als solche dienen. Umstellen von Gl. 7 nach α 3 liefert: α 3 = 2α 1 α 4 (8) Umstellen von Gl. 5 nach α 6 liefert: α 6 = α 1 α 4 (9) Einsetzen der Gl. 8 und Gl. 9 in Gl. 6 und umstellen nach α 2, liefert: α 2 = α 5 α 4 (10) 3

4 Einsetzen von Gl. 8, Gl. 9 und Gl. 10 in Gl. 3 liefert: Π = p α1 D α 5 α4 u 2α 1 α4 η α4 L α5 ρ α 1 α 4 (11) Sortieren nach α i und zusammenfassen ergibt: ( ) p α1 ( ) η α4 Π = ρ u 2 ρ u D Aus: folgen die 3 Fälle ( ) L α5 (12) D Φ(Π 1, Π 2, Π 3 ) = 0 (13) α 1 = 1, α 4 = 0, α 5 = 0 (14) α 1 = 0, α 4 = 1, α 5 = 0 (15) α 1 = 0, α 4 = 0, α 5 = 1 (16) und somit: Π 1 = p = Eu ρ u2 Euler-Zahl (17) η Π 2 = ρ u D = 1 Re Reynolds-Zahl (18) Π 3 = L D (19) Methode 2: Kennzahlenermittlung mittels Dimensionsmatrix Anstelle der Geschwindigkeit u soll hier der Volumenstrom V in die Bestimmung des Kennzahlensatzes eingehen. V = A u = π 4 D2 u (20) Damit erhält man folgende Dimensionsmatrix: p V D L ρ η [M] [L] [T ] Diese Matrix soll nun in 2 Untermatrizen aufgeteilt werden. Links entsteht die Kernmatrix, rechts die Restmatrix. Einflußgrößen, die in die Kernmatrix geschrieben werden, können in mehreren Kennzahlen präsent sein. Die Einflussgrößen, die in der Restmatrix auftreten, kommen in den Kennzahlen nur einmal, im Zähler und in erster Potenz vor. Deswegen sollte man versuchen, folgende Einflußgrössen in die Restmatrix zu schreiben: 4

5 Zielgröße wichtige physikalische Eigenschaften Prozessparameter Variablen mit ungewissem Einfluß auf den Prozess In diesem Fall werden die Größen ρ, D und η als Kernmatrix gewählt. Eine Umstellung der Dimensionsmatrix liefert: ρ D η p V L [M] [L] [T ] Somit ergeben sich folgende Kennzahlen: p p ρ D2 Π 1 = ρ 1 D 2 = η2 η 2 (21) V Π 2 = ρ 1 D 1 η 1 = V ρ D η = v π 4 D2 ρ = π Re D η 4 (22) L Π 3 = ρ 0 D 1 η 0 = L D (23) Die dimensionsanalytische Betrachtung liefert keine Aussage über den funktionellen Zusammenhang zwischen den Kennzahlen - dieser muss in Experimenten ermittelt werden. Jedoch kann sich oft bereits bei dieser Betrachtung herausstellen, dass einige der in der Relevanzliste fälschlicherweise aufgenommene physikalische Parameter keinen Einfluß auf den Prozess haben. b) Ausgehend von Ges.: p H Geg.: Kennzahlen p M = 5 bar n = 1 : 5 u M = 0,25 m/s η M = η H = 1 mp as ρ M = ρ H = 1000 kg/m 3 Skizze: p M p H u M D M ρ M, η M u H D H ρ H, η H L M L H 5

6 Berechnung: Damit eine Übertragung möglich ist, muss vollständige Ähnlichkeit des Problems betrachtet werden und somit: Π i,m = Π i,h (24) Hier: Eu M = Eu H (25) Re M = Re H (26) Gesucht ist die Größe p H, welche in der Euler-Zahl steckt. Mit Gl. 25 folgt: p ρ u 2 = M p ρ u 2 (27) H Mit ρ H = ρ M (siehe Hinweis) folgt: Nur noch das Verhältnis der Geschwindigkeit u H um p H = p M ρh ρ M u2 H u 2 M p H = p M u2 H u 2 M ist unbekannt. (28) (29) Für das Verhältnis der Geschwindigkeit gilt mit Gl. 26: ρ u D η = ρ u D M η (30) H mit Einsetzen von Gl. 32 in Gl. 29 ergibt: u M D M = u H D H (31) u H u M = D M D H p H = p M = 1 n (32) n = D H D M (33) 1 = 0,2 bar (34) n2 c) Die Bedingung für eine laminare Strömung ist, dass die auf den Durchmesser bezogene Reynolds-Zahl Re D kleiner als 2300 sein muss. Hier gilt: Re D = ρud η = 2000 < 2300 (35) Das bedeutet, dass die Annahme einer laminaren Strömung in der Kölsch-Leitung zulässig ist. 6

Ähnliche Dokumente

Vergleich von experimentellen Ergebnissen mit realen Konfigurationen

Ähnlichkeitstheorie Vergleich von experimentellen Ergebnissen mit realen Konfigurationen Verringerung der Anzahl der physikalischen Größen ( Anzahl der Experimente) Experimentelle Ergebnisse sind unabhängig