ρ P d P ρ F, η F v s

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1 (Name, Matr.-Nr, Unterschrift) Klausur Strömungsmechanik II Aufgabe (1 Punkte) In einem Versuch soll die Bewegung von kugelförmigen Polyethylen-Partikeln (Durchmesser d P, Dichte ρ P ) in einem ruhenden Fluid (Dichte ρ F, Viskosität η F ) untersucht werden. Unter Einfluss der Gravitation sinken die Partikel mit der stationären Sinkgeschwindigkeit v s ab. g ρ P d P ρ F, η F v s a) Bestimmen Sie die Kennzahlen des betrachteten Problems unter Anwendung des Buckinghamschen Pi-Theorems und führen Sie die gefundenen Kennzahlen - sofern möglich - auf Ihnen bekannte Ähnlichkeitsparameter der Strömungsmechanik zurück. b) Die Ergebnisse des Versuches mit den Polyethylen-Partikeln (Versuch 1, Inde 1 ) werden für ein Eperiment benötigt, in dem zur Strömungsmessung deutlich kleinere Nylon- Partikel (Durchmesser d P,, Dichte ρ P, ) in Luft (Dichte ρ F,, Viskosität η F, ) verwendet werden sollen (Versuch, Inde ). Wie müssen Dichte ρ F,1 und Viskosität η F,1 des Fluids in Versuch 1 gewählt werden, damit aus der ermittelten Sinkgeschwindigkeit v s,1 die Sinkgeschwindigkeit der Nylon-Partikel in Versuch v s, bestimmt werden kann? Wie groß ist dann v s,? d P,1, ρ P,1, d P,, ρ P,, ρ F,, η F,, g, v s,1 c) In einem anderen Versuchsaufbau soll das Steigverhalten von Gasblasen in einem ruhenden Fluid mit der Oberflächenspannung σ F ([σ] = kg ) betrachtet werden. Wie viele zu-. s sätzliche Kennzahlen beschreiben dieses Problem im Vergleich zu dem in a) betrachteten Versuchsaufbau? Geben Sie die zusätzlichen Kennzahlen an. v s g ρ P d P ρ F, η F σ F

2 . Aufgabe (9 Punkte) p h 1 y h() h L u p η In einem zweidimensional angenommenen Gleitlager befindet sich zwischen Gleitschuh und Wand ein Schmiermittel. Die Wand bewegt sich mit der Geschwindigkeit u relativ zum Gleitschuh. Die schleichende Strömung im Keilspalt wird durch die Differentialgleichungen u + v = p = η u p = beschrieben. Die Höhe des Spaltes nimmt linear von h 1 auf h ab. a) Bestimmen Sie den Volumenstrom V durch den Keilspalt. b) An welcher Stelle [, L] im Spalt ist der Druck maimal? h 1, h, u, L Hinweise: h 1 L, h L Die Spaltströmung kann als zweidimensional, laminar und voll ausgebildet angesehen werden, Effekte an der Stelle = sind zu vernachlässigen. d (a + b) = 1 n a(n 1)(a + b) + C n 1

3 3. Aufgabe (14 Punkte) Beim Ausbruch eines bekannten isländischen Vulkans werden große Mengen Asche in die Atmosphäre ausgestoßen. Das Zentrum eines Tiefdruckgebietes befindet sich während des Ausbruchs direkt über dem Vulkan und der Wind weht ungefähr aus nordwestlicher Richtung. Die Strömung in Höhe der entstehenden Aschewolke wird durch die folgende komplee Potentialfunktion beschrieben: Vulkan y r φ London F (z) = (u iv )z + E π ln z Γ i ln z mit E >, Γ > π a) Ermitteln Sie die Geschwindigkeitskomponenten v r (r, φ) und v φ (r, φ) in Polarkoordinaten für das gesamte Strömungsfeld. b) Bestimmen Sie die y-komponente v des Windes in Abhängigkeit von u, E und Γ so, dass die Strömung bei φ = 45 einen Staupunkt besitzt. Geben Sie die Position dieses Staupunktes in Polarkoordinaten an. Für die folgenden Aufgabenteile sei v = u E+Γ E Γ. c) Berechnen Sie den Wert der Stromfunktion Ψ im Ursprung und für den in der Skizze mit London markierten Punkt an der Stelle (r = 1, φ = π 4 ). d) Wie können Sie unter der Annahme, dass sich die Aschewolke nicht mit der sauberen Umgebungsluft vermischt, entscheiden, ob sich London unter der Aschewolke befindet und somit Beeinträchtigungen im Flugverkehr zu erwarten sind? Erläutern Sie kurz Ihr Vorgehen (keine Rechnung!). e) Skizzieren Sie unter Angabe der Konturstromlinie und der Staupunkte das Stromlinienbild der Strömung (ohne weitere Rechnung). u, E, Γ Hinweise: v r = ϕ = 1 ψ r r φ Winkeltabelle: v φ = 1 r φ 1 4 π 1 π 3 4 π π 5 4 π 3 π 7 4 π π sin φ cos φ ϕ = ψ z = + iy = r e iφ = r(cos φ + i sin φ) φ r

4 4. Aufgabe (11 Punkte) Ein Kanal der Länge L wird von einem inkompressiblen Fluid mit der Zähigkeit η und der Dichte ρ durchströmt. Im Eintrittsquerschnitt beträgt die Geschwindigkeit u. Es bilden sich laminare Grenzschichten der Dicke δ() an den beiden porösen Kanalwänden aus. An jeder Wand wird der Flächenstrom V ab (=Volumenstrom/Tiefe) abgesaugt. Mit Druckbohrungen wird in der gesamten Grenzschicht der konstante Druck p gemessen. u Druckbohrungen H η, ρ L δ() h h. V ab. V ab Das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht sei angenähert durch: Bestimmen Sie u(, y) u a () = y δ(). a) den Verlauf der Außengeschwindigkeit u a () im Kanal. b) den Zusammenhang zwischen der Absauggeschwindigkeit v A () und der Verdrängungsdicke δ 1 (). c) den Verlauf der Grenzschichtdicke δ(). d) die Absauggeschwindigkeit v A () η, ρ, u, Vab Hinweise: Die von Kármánsche Integralbeziehung für Grenzschichten mit Absaugung lautet dδ d + 1 du a u a d (δ τ(y = ) + δ 1 ) + ρu a = v A() u a

5 5. Aufgabe (1 Punkte) A aus (t) p T p a V Eine Druckluftflasche (Volumen V ) ist mit Luft (p, T, γ) gefüllt. Infolge eines Montagefehlers reißt der Manometerverschluss ab (t = ), so dass die Luft in die Umgebung ausströmt (Umgebungsdruck p a ). a) Leiten Sie aus dem Energiesatz h = h + u eine Beziehung für das Temperaturverhältnis T T als Funktion der Mach Zahl M her. Bestimmen Sie ferner die Temperatur und die Geschwindigkeit der Strömung am Austritt. b) Geben Sie den Massenstrom ṁ(t) als Funktion des Ruhedruckes p (t) in der Druckluftflasche für die Strömung an, bevor sie unterkritisch wird. c) Welche Masse tritt aus der Flasche bis zu dem Zeitpunkt aus, an dem die Strömung unterkritisch wird? V, T, A aus, p, p a = 1 5 p, R, γ Hinweis: Die Strömung ist isentrop. c p = γr γ 1 Isentropenbeziehung: T T = ( ) (γ 1)/γ ( p p = kritisches Druckverhältnis: p p =, 58 Der engste Querschnitt liegt bei A aus vor. ) (γ 1) ρ ρ

6 6. Aufgabe (6 Punkte) a) Geschwindigkeitsmessungen in zwei verschiedenen, quasi-zweidimensionalen Grenzschichten ergeben die unten wiedergegebenen Signale. Welche der Fälle A und B können mit der folgenden Impulsgleichung nicht analysiert werden (kurze Begründung)? u u + u v u = p + ν Fall A ( u + v ) u u u u v Fall B und f = f + f t t b) Skizzieren Sie den Verlauf der Grenzschichtdicke δ entlang einer längsangeströmten ebenen Platte ohne aufgeprägten Druckgradienten. Gehen Sie davon aus, dass sich aufgrund der ausgeprägten Länge der Platte unterschiedliche Strömungszustände einstellen. Kennzeichnen Sie verschiedene Bereiche und charakterisieren Sie diese durch je ein typisches Geschwindigkeitsprofil. Benennen Sie die Bereichsgrenze(n). c) Skizzieren Sie für die vier angegebenen Druckverteilungen die zugehörigen Machzahlverläufe entlang einer Lavaldüse in Ihrem Lösungsbogen. In welchen Fällen tritt in der Düse ein Verdichtungsstoß auf? Wie ändern sich die Totaltemperatur und der Totaldruck im Fall 4? Antworten in der Aufgabenstellung werden nicht gewertet! p/p 1 p*/p 1 3 d) Wie ist der Druckbeiwert c p definiert? Welchen Wert nimmt dieser im Staupunkt einer inkompressiblen drehungsfreien Strömung an? 4