HTBL-Kapfenberg Die Lavaldüse Seite 1 von 6

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1 HTBL-Kapfenberg Die Lavaldüse Seite von 6 Herwig Schwarz herwig.schwarz@htl-kapfenberg.ac.at Die Lavaldüse Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Energiesatz der Mechanik, thermodynamische Zustandsänderungen, Ausflussfunktion (y - Funktion) der Thermodynamik, nummerisches Gleichungslösen Kurzzusammenfassung Bestimmung der Strömungsverhältnisse der Lavaldüse und anschließende Visualisierung des Druck- und Geschwindigkeitsverlaufes in Abhängigkeit der Geometrie. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahrgang): Strömungsmaschinen & Mechanik, 4. & 5.Jahrgang, Maschinenbau Mathcad-Version: Mathcad 00 Allgemeine Ableitung Zustand im Eintritt: p i, T i, v i Zustand im Austritt: p a, T a, v a Zustand im Inneren: p, T, v Bild Energiegleichung Enthalpie + kin. Energie konstant (*) w i w a h i + h a + (Gl. ) (*) Die pot. Energie ist verhältnissmäßig klein und kann vernachläßigt werden. Da die Geschwindigkeit am Eintritt im Verhältnis zu der Austrittsgeschwindigkeit sehr klein ist, kannn (Gl. ) auch wie folgt geschrieben werden. w a h i h a h s Für die Isentrope Zustandsänderung ist uns der Zusammenhang p a h s c p T i Herwig Schwarz 00

2 HTBL-Kapfenberg Die Lavaldüse Seite von 6 bekannt. Es kann also geschrieben werden. w a Die Austrittsgeschwindigkeit "w a " lautet somit: p a c p T i w a Führt man nun die folgenden Substitutionen durch, c p p a T i erhalten wir nun die gewünschte Form: cr v p tesla R p v ρ w a p i ρ i p a (Gl. ) Massenstrom m p amp w v (Gl. 3) Für Isentrope Zustandsänderungen gilt: p i v i p a v a p i p a v a v i p i v a v i p a ρ i p i p a In (Gl. 3) eingesetzt ergibt sich: m p A a w a p i ρ i p a (Gl. 4) Flechtet man auch noch (Gl. ) mit ein, so erhält man für den Massenstrom: m p A a p i p a ρ i p a ρ i p i m p A a p i ρ i p a + p a p i Herwig Schwarz 00

3 HTBL-Kapfenberg Die Lavaldüse Seite 3 von 6 Definiert man nun die Ausflußgleichung mit ψ p a + p a p i (Gl. 5) so kann geschrieben werden: m p A a ψ p i ρ i (Gl. 6) Angaben für ein Beispiel: Isentropenexponent für Luft :.4 Einheitendefinitionen: Gaskonstante R 87 joule : bar 0 5 newton : kg K m Druck beim Eintritt p i : 6bar Druck beim Austritt p a : bar Temperatur beim Eintritt T i : 300K Massenstrom m p 0.5 kg : sec Erweiterungswinkel β : 3deg (β ist die Hälfte des Winkels α aus Bild 3) Fragestellung: Kleinste Querschnitt: Gesucht wird der Druck- bzw. Geschwindigkeitsverlauf innerhalb der Lavaldüse, in Abhängigkeit von der Geometrie (vom Durchmesser). Es sind auch noch folgende konkreten Werte zu berechen: - kleinste Querschnitt d min - Austrittsquerschnitt d a - kritische Geschwindigkeit w krit - Austrittsgeschwindigkeit w a Ausflußgleichung ψ ( p v ) + : p v p v p v : 0, ψ( p v ) ψ d( p v ) p tmp : 0.5 d : ψ p v dp v (, p tmp ) p tmp : root ψ d p tmp ψ max : ψ ( p tmp ) p v Bild ψ max Herwig Schwarz 00

4 HTBL-Kapfenberg Die Lavaldüse Seite 4 von 6 Dichte der Luft beim Eintritt (aus Gasgleichung) ρ i : p i R T i ρ i kg m 3 Kleinste Querschnitt aus (Gl. 6) A min : ψ max m p.p i ρ i d min : 4 A min π Austrittsquerschnitt: Wert der Ausflußfunktion am Austritt d min.679 mm p a ψ a : ψ p i ψ a 0.39 Austrittsquerschnitt laut (Gl. 6) A min ψ max A a ψ a A a A ψ max : min ψ a d a : 4 A a π d a 4.6 mm Druck- und Geschwindigkeitsverlauf: Um im Vorhinein ein unnötige Fehlerquelle zu eliminieren, wird in diesem Teilabschnitt ohne Dimensionen gerechnet. d min d min : mm m p a : p a newton d a : d a mm A a A a : m m p : sec m p kg m p i : p i newton m 3 ρ i : ρ i kg Abrundungsradius (divergierender Düsenteil) r ab : d min Offsets des Abrundungsradiuses o x : r ab o y : 3 d min Herwig Schwarz 00

5 HTBL-Kapfenberg Die Lavaldüse Seite 5 von 6 Teilfunktion: divergierender Düsenteil r( x) : r ab x o x + o y Schnittpunkt der beiden Teilfunktionen x : Given d dx r( x) tan( β) x s : find( x) x s.9 Gesamtlänge der Düse Bild 3 ll : d a r( x s ) tan( β ) + x s Teilfunktion: erweiteter Düsenteil r( x) : d a ll tan( β) + tan( β) x Gesamte Durchmesserfunktion r( x) : if x x s, r( x), r( x) Ausflußfunktion abhängig vom Durchmesser (Gl. 6) Druckfunktion: divergierender Düsenteil ψ dm( x) : p tmp : 0.6 m p π ( r( x) 0 3 ) 4 p i ρ i Given ψ dm( x) ψ p tmp p( x) : find( p tmp ) p i 0 5 Druckfunktion: erweiteter Düsenteil p tmp : 0. Given ψ dm( x) ψ p tmp p( x) : find( p tmp ) p i 0 5 Gesamte Druckfunktion p( x) : if x d min, p( x), p( x) Herwig Schwarz 00

6 HTBL-Kapfenberg Die Lavaldüse Seite 6 von 6 Geschwindigkeitsfunktion (Gl. ) w( x) p i : ρ i p( x) 0 5 p i Druck- und Geschwindigkeitsverlauf ll x : 0,.. ll 00 krit : r( x) 5 0 p( x) 0 w( x) 50 krit x, x, x, x, o x Geometrie der Lavaldüse im Halbschnitt [mm] Mittellinie der Lavaldüse Druckverlauf p(x) [bar] Geschwindigkeitsverlauf w(x) (M :50) [m/s] Kritischer Punkt Bild 4 m p Austrittsgeschwindigkeit aus (Gl. 4) [m/s]: w a : A a ρ i p i p a w a Austrittsgeschwindigkeit aus w(x) [m/s]: w( ll) Kritische Geschwindigkeit [m/s]: w( o x ) Herwig Schwarz 00