Das Wechselstromparadoxon

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1 HTL Saalfelden Das Wechselstromparadoxon Seite von 6 Wilfried Rohm [email protected] Das Wechselstromparadoxon Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Ortskurven, Komplexe Widerstände, Differentialrechnung Kurzzusammenfassung Das sogenannte Wechselstromparadoxon tritt auf, wenn ein ohm scher Widerstand in Serie mit einem Kondensator geschalten ist, dem ein veränderlicher Widerstand parallel geschalten wird: Der Stromstärke wird bei Veränderung des Widerstandes nicht in jedem Fall größer, sondern weist einen auf den ersten Blick eigenartigen Verlauf auf. Dies wird rechnerisch (symbolisch, numerisch und graphisch begründet. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahrgang: Angewandte Mathematik und/oder Allgemeine Elektrotechnik,./3. Jahrgang Mathcad-Version: Mathcad 000 / 00 Literaturangaben: Krikava / Ruhswurm / Seiser: Grundlagen der Elektrotechnik, Band Anmerkungen bzw. Sonstiges: Das vorgeführte Beispiel hält sich eng an die Ausführungen im oben angeführten Lehrbuch (Krikava u.a. Bei Anschluß eines ohm schen Widerstandes R in Reihe mit dem Blindwiderstand Xc nach der nebenstehenden Abbildung zeigt das Amperemeter (bei offenem Schalter S eine bestimmte Stromstärke I= I an. Wird nun durch Schließen dieses Schalters der verstellbare Widerstand R eingeschalten, so würde man vermuten, dass die Stromstärke auf jeden Fall größer wird, da jetzt der Strom auch durch R fließen kann. Man erhält aber in Wirklichkeit eine Situation, welche durch folgende 3 Punkte gekennzeichnet ist (was durch Rechnung und Zeichnungen bestätigt werden soll: I A R S R C a bei einem bestimmten Widerstand R=R_gleich zeigt das Amperemeter denselben Wert I an wie bei offenem Schalter S. b bei einem bestimmten Widerstand R=R_min wird die Stromstärke ein Minimum (I_min c bei R>R_min wird die Stromstärke wieder größer und erreicht für R gegen nendlich wieder den Wert I. Wilfried Rohm 00

2 HTL Saalfelden Das Wechselstromparadoxon Seite von 6 Allgemeine Rechnung ad a Bei welchem Widerstand R_gl zeigt das Amperemeter nach dem Schliessen des Schalters denselben Wert I Die Beträge der beiden Scheinwiderstände (Schalter offen bzw. geschlossen müssen gleich sein: = R j Xc Z = R + R ( j R j Xc Z bezieht sich auf die geschlossenene Schalterstellung R j Xc R ( j = R + auflösen, R R j Xc Xc R R gl := Xc R I := R j Xc I vereinfachen ( R + Xc Probe: R gl ( j R + vereinfachen R Xc ( + R gl j Xc ( R j Xc R + Xc ad b Wir suchen jenen Widerstand R_min, bei dem die Stromstärke (bei geschlossenem Schalter minimal wird (Probleme in Mathcad funktioniert ohne Probleme in Mathcad 00! I( R d = R ( j R + R j Xc dr R ( j R + R j Xc = 0 auflösen, R R R Xc ( Xc + 4 R + Xc ( Xc + 4 R Xc Xc Da R nicht negativ sein kann (und der Wert unter der Wurzel sicher größer als Xc ist, kommt von diesen beiden symbolischen Lösungen nur die obere in Betracht: R min Xc Xc 4 R ( + := + Xc R Wilfried Rohm 00

3 HTL Saalfelden Das Wechselstromparadoxon Seite 3 von 6 ad c Gesucht ist die Stromstärke bei geschlossenenm Schalter für R gegen nendlich. Diese soll gleich sein wie die Stromstärke bei geöffnetem Schalter lim R R + R ( j R j Xc ( R + Xc I unendlich := ( R + Xc I vereinfachen ( R + Xc Die symbolische Rechnung zeigt, dass tatsächlich gilt: I unendlich = I Zeichnerische Darstellung für bestimmte Werte: R := := 3000 Ω 0 V C := µf f := 50 Hz Xc := π f C Xc = Ω := R j Xc Scheinwiderstand bei offenenm Schalter Z( R := R + R ( j R j Xc Z bezieht sich auf die geschlossene Schalterstellung I( R := Z( R I := I = 0.05 A Wir übernehmen ausserdem noch die oben berechneten Werte Xc R gl := R R min Xc ( Xc + 4 R + := Xc R R gl =.689 kω R min = 5.9 kω Anmerkung: Wie die folgenden numerischen Werte zeigen, sind die Beträge der Scheinwiderstände Z_offen und Z_geschl(R_gl wie vorausgesetzt gleich groß, es besteht jedoch ein anderer Phasenwinkel!! = kω Z( R gl = kω ( = arg arg( Z( R gl = 9.97 Grad Grad Wilfried Rohm 00

4 HTL Saalfelden Das Wechselstromparadoxon Seite 4 von 6 x :=, TIPP: Bei logarithmischer Darstellung die Zehnerpotenz als Laufvariable verwenden! R( x := 0 x kω Der folgende Funktionsverlauf im abszissenlogarithmischen Maßstab zeigt die Abhängigkeit des Stromes I von R bei konstanten Werten von, R und Xc. Außerdem sind die berechneten Größen eingezeichnet. Der Bereich des "Paradoxons" ist der Funktionsverlauf oberhalb von R gl 0.08 R gl R min 0.07 I( R( x I R( x Die Ortskurve des komplexen Widerstandes Z(R erlaubt im Gegensatz zum obigen Schaubild neben Aussagen über den Betrag auch eine über den Winkel (Phasenlage. So sieht man in der unten gezeigten Ortskurve den komplexen Zeiger zu Z(R_gl (blauer Punkt auf demselben Kreis (also mit dem gleichen Betrag wie den komplexen Zeiger Z_offen (blaue Raute. Aber man erkennt hier die unterschiedliche Phasenlage sofort. Der am weitesten vom rsprung entfernte Punkt (magenta Punkt ist der Endpunkt des komplexen Zeigers zu Z(R_min - also jener (maximale Scheinwiderstand, bei dem die Stromstärke minimal ist. r := φ := 0Grad, Grad.. 60Grad R Im( Z( R( x Im( Im( Z( R gl Im( Z( R min ( rsin( φ ( ( ( ( ( Re( Z( R( x, Re, Re Z R gl, Re Z R min, ( rcos( φ Wilfried Rohm 00

5 HTL Saalfelden Das Wechselstromparadoxon Seite 5 von 6 Variante zur Erstellung der Ortskurve über das Kreisdiagramm Z( R( x Z( R gl Z( R min ( ( ( ( ( arg( Z( R( x, arg, arg Z R gl, arg Z R min ANMERKNG: In den früheren Versionen (bis einschließlich Mathcad 000 ist mir die symbolische Berechnung des Stromminimums nicht geglückt. Dann muß man sich numerisch behelfen, wie hier kurz gezeigt: Berechnung von I_min rein numerisch R := 0 3 Ω Startwert für die Iteration der Gleichung Vorgabe d dr I( R = 0 R_min := suchen( R R_min = Ω Diese Lösung stimmt mit oben überein. Wilfried Rohm 00

6 HTL Saalfelden Das Wechselstromparadoxon Seite 6 von 6 I = function R ( R + Xc Xc + R + Xc ( = 0.05 A Wilfried Rohm 00