Filter und Schwingkreise

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1 FH-Pforzheim Studiengang Elektrotechnik Labor Elektrotechnik Laborübung 5: Filter und Schwingkreise Sven Bangha Martin Steppuhn

2 Inhalt. Wechselstromlehre Seite 2.2 Eigenschaften von R, L und C bei Wechselstrom Seite 2.3 Filter und Schwingkreis Seite 3 2. Wechselstromwiderstand einer Kapazität Seite RC-Filter (Tiefpaß) a) RC-Tiefpaß bei Sinusschwingungen Seite 5 b) Betrieb an Rechtecksignalen Seite 5 c) Tiefpaß als Integrierglied Seite Anpassung von Filtern (Hochpaß) Seite LC-Tiefpaß Seite Bandpaß Seite 0 3 Messwerte in Tabellenform Seite Seite

3 . Wechselstromlehre Eine Wechselgröße ist durch eine zeitliche Abfolge von unterschiedlichen Amplitudenwerten gekennzeichnet. Diese Wechselgröße kann periodisch oder einmalig sein. Eine der wichtigsten Wechselgrößen ist die Sinusschwingung. Diese ist durch ihre maximale Amplitude, ihre Periodendauer oder Frequenz sowie ihrer Phase vollständig beschrieben. Für jede Wechselgröße können drei Integralbeziehungen angegeben werden: Arithmetische Mittelwert: i = i ( t) dt T Dieser Wert gibt das Mittel der Schwingung an, bei einer reinen Sinusschwingung wäre dieser Wert dann gleich null. Gleichrichtwert: i = i ( t) dt T Dieser Wert gibt die betragsmäßige Fläche der Wechselgröße, das heißt sie erfaßt auch den negativen Teil der Wechselgröße. Bei einer reinen Sinusschwingung beträgt dieser Wert i 2 = iˆ 0,63iˆ. π = dt T Effektivwert: [ i ( t) ] i eff 2 Dieser Wert gibt die in der Wechselgröße tatsächlich enthaltene Leistung an. Bei der reinen iˆ Sinusschwingung beträgt dieser Wert i eff = 0,707iˆ 2.2 Eigenschaften von R, L und C bei Wechselstrom Der Widerstand, die Induktivität und die Kapazität zeigen bei Wechselspannung ein verändertes Verhalten als bei Gleichspannung. Es müssen jetzt auch frequenzabhängige Parameter berücksichtigt werden. Um deren Verhalten bei Wechselspannung leichter darstellen und interpretieren zu können, greift man auf die komplexe Darstellung zurück. Der ohmsche Widerstand Der ohmsche Widerstand im Wechselstrombetrieb, auch Wirkwiderstand genannt, besteht lediglich aus einem Realteil, d. h. er enthält keinen imaginären Anteil und ist somit auch unabhängig von der Frequenz des Wechselstroms. An diesem Wirkwiderstand sind Spannung und Strom in Phase, d. h. keine Phasenverschiebung. Es gilt das Ohmsche Gesetz: Z = R = uˆ iˆ Seite 2

4 Der induktive Widerstand Der komplexe Widerstand einer Induktivität L ist imaginär und frequenzabhängig. Betreibt man eine Spule an einer Gleichspannung ergibt das einen Kurzschluß, beim Betrieb an einer hochfrequenten Wechselspannung allerdings besitzt sie einen unendlich hohen Widerstand. Am induktiven Widerstand (ideale Spule) beträgt die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung 90. Dabei eilt die Spannung dem Strom um 90 voraus. Der komplexe induktive Widerstand lautet: Z = jω L Der kapazitive Widerstand Der komplexe Widerstand einer Kapazität C ist ebenfalls imaginär und frequenzabhängig. Umgekehrt wie bei einer Spule hat die Kapazität bei Gleichspannung einen unendlich hohen Widerstand, bei einer hochfrequenten Wechselspannung verhält sie sich wie ein Kurzschluß. Wie bei der Induktivität beträgt die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ebenfalls 90, allerdings eilt hier der Strom der Spannung um 90 voraus. Der komplexe kapazitive Widerstand lautet:.3 Filter und Schwingkreis a) Filterschaltungen Z = jω C Es gibt drei wichtige Arten von Filtern: - der Tiefpaß (TP), er läßt die tiefen Frequenzen durch und dämpft die hohen - der Hochpaß (HP), er läßt die hohen Frequenzen durch und dämpft die tiefen - der Bandpaß, er läßt nur Frequenzen eines bestimmten Bereichs durch, alle anderen werden gedämpft. Diese Filter werden durch eine geeignete Zusammenschaltung von R, L und C-Gliedern erreicht. U Bei jeder Frequenz kann die Dämpfung aus D = ermittelt werden. U 2 Filter. Ordnung sind Filter mit nur einem komplexen Anteil (z. B. mit R,L oder R,C). Bei Filtern 2. Ordnung spielen zwei komplexe Anteile eine Rolle (z. B. der Bandpaß der aus R,L und C besteht). b) Schwingkreise Reihen- oder Parallelschaltungen von R, L und C-Gliedern, die eine Resonanzfrequenz besitzen nennt man Schwingkreise. Heben sich die Imaginärteile von L und C genau auf, so liegt Resonanz vor. Die Resonanzfrequenz bei idealen Schwingkreisen läßt sich nach folgender Gleichung ermitteln: f r = 2π L C Seite 3

5 2. Wechselstromwiderstand einer Kapazität Aus der folgenden TP-Schaltung R= 0kΩ U C= 47nF U 2 ließ sich aus R(f) und Phasenverschiebung folgendes Diagramm ermitteln: Widerstand und Phasenverschiebung in Abhängigkeit der Frequenz Widerstand Xc / Ohm Xc / Ohm Phi / Phasenverschiebung Phi / Frequenz f / Hertz Das Diagramm bestätigt sehr deutlich die Theorie. Der Widerstand X C der Kapazität nimmt bei hohen Frequenzen ab, die Phasenverschiebung Phi nähert sich bei hohen Frequenzen 90. Seite 4

6 2.2 RC-Filter (Tiefpaß) a) RC-Tiefpaß bei Sinusschwingungen U Die -3-dB-Grenzfrequenz f g berechnet sich nach folgender Gleichung: 3dB = 20 log U 2 Löst man die Gleichung nach U 2 auf und setzt ein erhält man für U 2 ungefähr 6,34 V. Stellt man das Oszi auf diesen Wert ein und läßt sich die Frequenz ermitteln, so erhält man 38 Hz. Rechnerisch läßt sich mit der Gleichung f g = die Grenzfrequenz f g = 338 Hz ermitteln. 2πRC Spannung in Abhängigkeit der Frequenz Spannung / Volt Uss / Volt Frequenz / Hertz Der Unterschied zu der errechneten Frequenz läßt sich auf Bauteilungenauigkeiten sowie unseren Meß- bzw. Meßgerätefehlern zurückführen. b) Betrieb an Rechtecksignalen Betrieb mit Rechtecksignalen bei f g / 5 Seite 5

7 Betrieb mit Rechtecksignalen bei f g Betrieb mit Rechtecksignalen bei 5f g Seite 6

8 c) Tiefpaß als Integrierglied Ein sehr schönes als auch faszinierendes Beispiel ist der Tiefpaß als Integrierglied. Schickt man in den Tiefpaß Rechtecksignale, so erhält man am Ausgang Dreiecksignale. Rechtecksignale sind in einem gewissen Zeitbereich konstant. Wird eine Konstante integriert, so erhält man eine Gerade. Dies trifft wiederum auf die Dreiecksspannung zu. Aus diesen Erkenntnissen lag die Vermutung nahe, daß beim Anlegen einer Dreiecksspannung an den Tiefpaß eine Parabel messbar sein müßte. Denn das Integral einer Gerade ist eine Parabel. Unsere Überlegungen wurden durch diesen weiteren Versuch voll bestätigt. Beim Anlegen der Dreiecksspannung integriert unser TP dies zu einer Sinusschwingung. Somit kann man mit einer analogen Technik mathematische Probleme lösen (sog. Analogrechner ). Ohne diese Technik wäre z. B. die erste Raumfahrt der NASA nie möglich gewesen, da solche Berechnungen in digitaler Form zu dieser Zeit noch nicht möglich waren. So wurden die kompliziertesten mathemtischen Probleme mit dieser analogen Technik bewältigt. Seite 7

9 2.3 Anpassung von Filtern (Hochpaß) Um den Hochpaß an eine Grenzfrequenz von f g = 0kHz anzupassen, muß zuerst das zugehörige R berechnet werden. Mit Hilfe der Gleichung f g = ergibt sich nach R umgestellt und eingesetzt 2πRC der Wert R = 338,63 Ω. Spannung in Abhängigkeit der Frequenz Spannung Uss / V Frequenz f / Hz Uss / Volt Ermittelt man nach U 3dB = 20 log die Spannung U 2 erhält man für U 2 6,08 V. Stellt man dies U 2 am Oszi ein und läßt sich die Grenzfrequenz von ungefähr 0 khz ablesen. Dies bestätigt unsere theoretischen Vorüberlegungen bei der Bauteildimensionierung. Eventuelle Abweichungen zu der reinen (rechnerisch) ermittelten Grenzfrequenz läßt sich wiederum auf Bauteilungenauigkeiten (z. B. bei der Widerstandsdekade beträgt diese schon %) sowie unseren Meß- und Meßgerätefehlern zurückführen. 2.4 LC-Tiefpaß Zusätzlich zu der vorgegebenen Induktivität L = 3mH, wählten wir eine Kapazität von C = µf. Daraus läßt sich die Grenzfrequenz mit f g = = = 2, 9 kh z berechnen. 2π LC 2π 3mH µ F Damit liegt die Grenzfrequenz in einem vernünftigen und erfaßbaren Bereich. Seite 8

10 Im folgenden Diagramm ist die Spannung U ss in Abhängigkeit von der Frequenz aufgetragen. Spannung Uss in Abhängigkeit der Frequenz 30 Spannung Uss / Volt Uss / Volt Frequenz f / khz Am Oszi wird den Maximalwert der Spannung (ohne den Peak) abgelesen und anschliesend mit dem Faktor 0,7 multipliziert (entspricht 3-dB). Über die Meassure-Funktion des Oszis konntejetzt bei dieser Spannung die Frequenz ermittelt werden: f g = 3,37 khz. Die Abweichung zu dem oben errechneten Wert führten wir auf Bauteiltoleranzen (insbesondere bei der Spule) und Meß- bzw. Meßgerätefehlern zurück. Der Betrieb an Rechtecksignalen führte uns zu folgenden Darstellungen: Betrieb an f g /5 Betrieb an f g Betrieb an 5f g Man erkennt, dass das Rechtecksignal mit zunehmender Frequenz nicht mehr zu erkennen ist und nun eine nahezu reines Sinussignal zu sehen ist. Eine Begründung für diese Tatsache, ist der von Fourie aufgestellte Satz, daß jedes periodische Signal durch eine Summe von Sinus und Cosinusschwingungen beschrieben werden kann. Um einen Sprungfunktion im Zeitbreich darstellen zu können sind erhebliche Spektralanteile von hohen Frequenzen notwendig. Dies sind bei dieser Rechteckschwingung die steilen Flanken. Für den Grenzfall der unendlichen Steilheit der Flanken wäre ein unendliches Spektrum und damit unedliche Bandbreite gefordert. Werden wie hier durch einen Tiefpaß Frequenzen nur bis zu einer bestimmten Große durchgelassen, so fehlen diese Anteile des ehemaligen Rechtecks und man nähert sich einem Sinus an. Seite 9

11 2.5 Bandpass Als Bandpass wählten wir eine Parallelschaltung von Kapazität und Induktivität. Um eine zu starke Belastung der Signalquelle, die unsere Meßwerte verfälschen würde, zu vermeiden, wurde zusätzlich noch ein Entkopplungswiderstand (0 kω) vor dem Bandpaß eingebaut. Schaltung des Bandpasses: L = 3mH C = 47nF Im folgenden Diagramm tragen wir wieder die Spannung U ss in Abhängigkeit der Frequenz auf: Uss in Abhängigkeit der Frequenz Uss / Volt Frequenz f / khz Die errechnete Resonanzfrequenz liegt bei f res = 3,4 khz. Mit Hilfe des Oszis ermittelten wir die untere Grenze f - = 2,76 khz und die obere Grenze f + = 3,25 khz. Aus diesen Werten errechnet sich die ungefähre 3-dB-Bandbreite: Uss / Volt 3,25 khz 2,76 khz = 490 Hz 500 Hz. Seite 0

12 3. Meßwerte in Tabellenform zu Aufg. ) f / Hertz U / Volt U2 / Volt XC / Ohm Phi / , ,32 8, , ,56 8, ,5077 7, ,48 8, ,3385,9 00 8,88 8, ,7538 6, ,92 7,36 693, , ,92 6,32 287,5846 4, ,92 5, , , ,92 4, , , ,92 2, , , ,92, ,569 74, ,92,48 693,377 78, ,2 0,95 28, , ,2 0, ,255 83, ,2 0, , , ,2 0,5 69,338 89, ,2 0,02 2, ,2 0,06 56, ,2 0,042 33, ,2 0,024 6, zu Aufg. 2a) f / Hertz U2 / Volt , , , , , , , , ,68 500, , , , , , , , , ,024 Seite

13 zu Aufg. 3) f / Hertz Uss / Volt , ,4 000, , , , , , , , , , , , , ,6 zu Aug. 5) f / khz Uss / V 6,3 0,35 9 0,72 9,8 0,96 0,36,6 2,32 2 3,04 2,54 6,96 2,7 9,04 3 3,7 3,3 8,56 3,7 4,64 4 3,76 4,6 2,4 5,92 5,6,6 7,2 0, ,6 27 0,38 zu Aufg. 4) f / khz Uss / Volt 0,098 22,6 0,26 22,6 23,6 2 25,8 2,5 24,6 3 2,8 3,5 7, ,5 0,8 5 8,8 5,5 7, ,5 5,2 7 4,4 8 3,2 9 2,6 0 2, ,6 30 0,36 Seite 2