Versuch B2/3: Parallelschwingkreis

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1 Versuch B2/3: Parallelschwingkreis 3. Einleitung Als realer Parallelschwingkreis wird die Parallelschaltung einer realen Kapazität (physikalisch als kapazitive Admittanz darstellbar) und einer realen Induktivität (physikalisch als induktive Impedanz darstellbar) gemäß Bild 3. bezeichnet. Dabei sind C p und L r als ideale, d.h. verlustfreie Bauelemente anzusehen; die Verluste der realen Bauelemente werden jeweils durch R Cp bzw. R Lr repräsentiert. Diese Darstellung der physikalischen Gegebenheiten läßt sich auch durch ein Ersatzschaltbild gemäß Bild 3.2 ausdrücken, wobei L und C wieder jeweils als ideale Bauelemente zu verstehen sind. G = /R stellt den gesamten Verlustleitwert der Parallel Ersatzschaltbilder der realen Bauelemente Kapazität und Induktivität dar (vgl. auch Versuch B/2: R L und R C Kombination). Die Schaltung beschreibt somit eine frequenzabhängige Admittanz. Der Kehrwert der Admittanz (also die Impedanz der Schaltung) ist als Funktion der Frequenz f identisch mit der Spannung (f), wenn die Admittanz mit einem konstanten Strom gespeist wird 3.2 Kenngrößen des Schwingkreises Für die Impedanz der Schaltung nach Bild 3.2 gilt, falls G = /R als frequenzunabhängig angesehen wird, Z = G + jc + jl = G + j ( ). (3.) C L Wird der Imaginärteil von Y = /Z Null, so sind Y und Z reell und Y nimmt betragsmäßig seinen kleinsten Wert an, während Z maximal wird. Dieser Zustand wird als Resonanz des Schwingkreises bezeichnet und die zugehörige Resonanzkreisfrequenz ergibt sich z.b. aus der Bedingung Im{Y } = 0 zu 0 = LC. (3.2) î (C) î (R) î (L) R Lr C p R Cp C R = G L L r Bild 3.. Realer Parallelschwingkreis. Bild 3.2. Ersatz Parallelschwingkreis.

2 2 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B2 Im Resonanzfall ist der kapazitive Blindleitwert jc und der induktive Blindleitwert j/(l). Die Beträge dieser Blindleitwerte sind gleich groß und der Wert wird als Kennleitwert Y K des Schwingkreises bezeichnet. Es gilt Y K = 0 C = 0 L = C L. (3.3) Unter Verwendung der Gln. (3.) und (3.2) läßt sich für die Spannung am Schwingkreis angegeben: = G + j ( C ) = L G + j 0 C ( 0 ) = 0 [ G + j 0C G ( 0 )]. (3.4) 0 Der Ausdruck 0 C/G stellt eine feste, frequenzunabhängige Größe für einen bestimmten Schwingkreis dar, er wird als Güte Q, sein Kehrwert als Verlustfaktor tan δ bezeichnet: Q = 0C G = 0 LG = C G L, tan δ = Q. (3.5) Der frequenzbestimmende Teil der Gl. (3.4), v = 0 0, (3.6) wird als Verstimmung v des Schwingkreises bezeichnet (siehe Bild 3.3). Damit kann nun folgende einfache Beziehung für die Spannung angegeben werden: bzw. = G [ + jqv] = 0 + jqv, 0 = + jqv (3.7) Bild 3.3. Verstimmung v als Funktion der Kreisfrequenz.

3 Versuch B2/3: Parallelschwingkreis 3 mit =, ϕ = arctan( Qv). (3.8) + Q2 v 2 0 Der Verlauf des Betrages / 0 als Funktion der Verstimmung bzw. Frequenz wird als Resonanzkurve des Parallelschwingkreises bezeichnet. Die Resonanzkurve und der zugehörige Phasenverlauf sind in Bild 3.4 als Funktionen der normierten Frequenz / 0 dargestellt. Eine weitere wichtige Kenngröße des Schwingkreises ist seine Bandbreite. Sie gibt an, in welchem Frequenzbereich die Spannung am Schwingkreis über einem (noch festzulegenden) Mindestwert liegt. Als sinnvoller Wert wurde das / 2 fache des Maximalwertes (das ist die Spannung im Resonanzfall) festgelegt. Damit folgt aus Gl. (3.8) = = Q2 v 2 = v,2 = ± Q = ± tan δ =,2 0 0,2 = ± Q, / 0 ; Z G Bild 3.4. Verlauf des Betrags der Spannung und des Phasenwinkels für verschiedene Güten Q als Funktion der Kreisfrequenz.

4 4 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B2 woraus sich als sinnvolle Lösungen ergeben: = 0 2Q + 4Q +, 2 2 = + 0 2Q + Damit ergibt sich die absolute Bandbreite (vgl. Bild 3.4) bzw. die bezogene oder relative Bandbreite 4Q 2 +. = 2 = 0 Q = 0 tan δ = 0 G Y K (3.9) Die Phase der Impedanz bei den Kreisfrequenzen und 2 beträgt = = tan δ. (3.0) 0 Q ϕ,2 = arctan( Qv,2 ) = ±45. (3.) Aus diesem Grund werden die Kreisfrequenzen und 2 auch als 45 Frequenzen bezeichnet (siehe auch Bild 3.5 und Bild 3.6). Aus der Definition der 45 Frequenzen ergibt sich außerdem mit v 2 = = Q = v = 0 0 = 0 = 2 bzw. mit = 2πf = f 0 = f f 2, das heißt, die Resonanzfrequenz des Schwingkreises ist der geometrische Mittelwert der beiden 45 Frequenzen. Im Y = = 2 ; v 2 = Q = tan δ Im Z = ; v = Q = tan δ G = 0 ; v = 0 Re Y = 0 = G = 0 Re Z = ; v = Q = tan δ = 0 = 2 ; v 2 = Q = tan δ Bild 3.5. Ortskurve der Admittanz des Parallelschwingkreises. Bild 3.6. Ortskurve der Impedanz des Parallelschwingkreises.

5 Versuch B2/3: Parallelschwingkreis Strom und Spannung am Parallelschwingkreis Für den in Bild 3.2 dargestellten Schwingkreis berechnen sich die Teilströme î (R), î (L) und î (C) zu und î (R) = R = + jqv, î (L) = jl = jlg( + jqv), î (C) = jc = Im Resonanzfall, d.h. für = 0 bzw. v = 0 folgt und jc G( + jqv). î (R) =, (3.2) î (L) = j 0 L = j 0 LG = jq (3.3) î (C) = j 0 C = j 0C G = jq (3.4) Das bedeutet, im Resonanzfall tritt in der Kapazität und der Induktivität eine Stromüberhöhung um den Faktor Q auf. 3.4 Gütemessung am Parallelschwingkreis (Pauli Verfahren) Mit der Schaltung nach Bild 3.7 läßt sich der unbekannte Verlustleitwert und bei Kenntnis des Kennleitwertes mit Gl. (3.5) die Güte eines Schwingkreises allein durch Spannungsmessungen und mit Hilfe bekannter Widerstände bestimmen. Da bei der Resonanzfrequenz stets die Beziehung = G bzw. / 0 = G gilt, ergibt sich bei Zuschaltung verschiedener äußerer ohmscher Leitwerte G Z der in Bild 3.8 skizzierte Verlauf des Kehrwertes der Spannung als Funktion von G, falls eine Konstantstromquelle verwendet wird, die Messung bei der Resonanzfrequenz durchgeführt wird und der Innenwiderstand des Meßgerätes bekannt oder so groß ist, daß er bei der Messung vernachlässigt werden kann. Aus der gemessenen Abhängigkeit / = f(g Z ) kann auf den gesuchten Wert G x, d.h. den Leitwert des Schwingkreises bei der Resonanzfrequenz durch Extrapolation der Meßkurve, wie in Bild 3.8 gezeigt, geschlossen werden. Bei Kenntnis des Kennleitwertes Y K = 0 C = /( 0 L) ist dann auch die Güte Q des Kreises bekannt. C G x L G Z Bild 3.7. Meßschaltung für das Pauli Verfahren.

6 6 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B2 G x 0 G Z, G Z,2 G Z,3 G Z,4 G Z Bild 3.8. Zur Bestimmung der Güte eines Parallelschwingkreises. 3.5 Ermittlung unbekannter Admittanzen mit Hilfe eines Parallelschwingkreises (Verstimmungsverfahren) Unter Verwendung einer Konstantstromquelle und eines (z.b. durch einen Drehkondensator) in der Resonanzfrequenz abstimmbaren Parallelschwingkreises läßt sich jede Impedanz bzw. Admittanz aus zwei Spannungsmessungen und zwei Resonanzfrequenzmessungen ermitteln. Beispiel: Es sei Y = G + jc eine unbekannte Admittanz. Für den unbelasteten Schwingkreis nach Bild 3.9 gilt bei Resonanz: = 0 G L und 0 2 = LC 0, mit C 0 als dem Wert der Kapazität, der den Resonanzzustand herstellt. Wird die Admittanz Y (über einen idealen Übertrager) parallel zum Schwingkreis geschaltet, so gilt C 0 C L G L w w 2 Y ü = w /w 2 Bild 3.9. Meßschaltung zur Bestimmung unbekannter komplexer Leitwerte.

7 Versuch B2/3: Parallelschwingkreis 7 bei der dann (durch Variation von C auf C 0 C) neu einzustellenden Resonanzfrequenz ( = G + G ü 2 ) und 0 2 = ( C 0 + ü C C 2 ) L mit C = C 0 C. Aus diesen Beziehungen ergibt sich für C und G, falls die Größen 0, und C gemessen werden und C 0 sowie das Übersetzungsverhältnis ü des Übertragers bekannt sind: Somit ist die unbekannte Admittanz bestimmt. ( ) G = ü 2 U0 G, U (3.5) C = ü 2 C = ü 2 (C 0 C ). (3.6) Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung von C besteht darin, die Verschiebung der Resonanzfrequenz beim Zuschalten von Y zu messen. Aus den Gleichungen für die Resonanzfrequenzen vor (f 0 ) und nach (f 02 ) Zuschalten von Y ergibt sich: [ (f0 ) 2 C = ü 2 C 0 ]. (3.7) f Bestimmung des Phasenverlaufs der Spannung als Funktion der Frequenz aus dem Verlauf des Spannungsbetrags Der in Gl. (3.8) angegebene frequenzabhängige Verlauf des Betrags der Spannung läßt sich meßtechnisch relativ einfach ermitteln. Die Bestimmung des Phasenverlaufs ist jedoch mit einfachen Meßgeräten bzw. Versuchsaufbauten nicht möglich. Da der Verlauf des Betrags der Spannung jedoch proportional dem Verlauf des Betrags der Impedanz des Schwingkreises ist, läßt sich unter Verwendung der Ortskurven nach Bild 3.5 und Bild 3.6 ein Bestimmungsverfahren für den Phasenverlauf ableiten; der Phasenverlauf wird graphisch aus dem gemessenen Verlauf des Spannungsbetrags ermittelt. Voraussetzung für eine einfache und richtige Auswertung ist eine normierte Darstellung für den Betrag der Spannung und für die Impedanz, d.h. die Spannung wird auf die Maximalspannung 0 bei Resonanz, die Impedanz auf den Leitwert R = /G (Impedanz im Resonanzfall) bezogen. Wird für die Maximalwerte von / 0 und Z G derselbe Maßstab gewählt, so lassen sich die normierten Spannungsbeträge mit einem Zirkel unmittelbar in die Ortskurve der normierten Impedanz übertragen (siehe Bild 3.0). Aus der Ortskurve lassen sich dann die zugehörigen Phasenwinkel bestimmen, so daß der angegebene Phasenverlauf erhalten wird.

8 8 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B2 / 0 ; Z G Bild 3.0. Zur Ermittlung des Phasenverlaufs der Spannung als Funktion der Frequenz aus dem Verlauf des Betrages der Spannung.

9 Versuch B2/3: Parallelschwingkreis Versuchsablauf 3.7. Bauen Sie einen Schwingkreis nach Bild 3.9 auf. Die Schwingkreiskapazität soll, 8 nf betragen, als Induktivität soll der in der Versuchsschaltung eingebaute Übertrager verwendet werden. Der Schwingkreis wird durch eine in der Versuchsschaltung eingebaute spannungsgesteuerte Konstantstromquelle gespeist, deren Eingang an den Ausgang eines Wobbelgenerators geschaltet werden soll. Die Wechselspannung am Schwingkreis soll auf einem Oszilloskop, die gleichgerichtete Wechselspannung (sie entspricht dem Scheitelwert der Spannung am Schwingkreis) soll auf einem XY Schreiber dargestellt werden Durch Handabstimmung des Wobbelgenerators ist die Resonanzfrequenz des aufgebauten Schwingkreises zu bestimmen. Die Frequenz ist auf einem eingebauten Frequenzmesser abzulesen. Danach ist die Amplitude der Generatorspannung bei Resonanzfrequenz so einzustellen, daß ein sinnvoll auswertbarer Maßstab für eine normierte Darstellung des Betragsverlaufs der Spannung gemäß Bild 3.4 bzw. Bild 3.0 möglich ist (z.b. kann der normierte Betrag von auf dem Schreiber durch 0 cm dargestellt werden). Empfindlichkeit und Verstärkung des X-Kanal-Verstärkers des Schreibers sind so einzustellen, daß man einen gut auswertbaren Frequenzmaßstab erhält, d.h. man wählt nach Kenntnis der Resonanzfrequenz einen sinnvollen Anfangs und Endwert für den Wobbelbereich (die Resonanzkurve sollte mindestens ab 30 % des Maximalwertes beginnen). Zwischen diesen Werten darf linear interpoliert werden, da die frequenzproportionale Gleichspannung des Wobbelgenerators genügend genau linear ist Zeichnen Sie die Resonanzkurve des Schwingkreises auf und ermitteln Sie aus ihr die Bandbreite f sowie die Güte Q unter Verwendung der Gleichung (3.9) für zwei Fälle: a) Übertrager sekundärseitig unbelastet, b) Übertrager sekundärseitig bei ü = 3 mit R =, 2 kω beschaltet Mit dem unter 3.6 erläuterten Verfahren ist der Phasenverlauf der Schwingkreisspannung bei ü = 3 mit, 2 kω belasteten Schwingkreis zu ermitteln Bestimmen Sie den Parallelersatzleitwert des Schwingkreises nach Bild 3.2 mit Hilfe des Pauli Verfahren. Der Übertrager soll bei ü = betrieben werden Bestimmen Sie mit Hilfe des Verstimmungsverfahrens nach 3.5 drei komplexe Leitwerte unter Verwendung eines Parallel Ersatzschaltbildes. Unbedingt mitzubringendes Arbeitsmaterial: Millimeterpapier DIN A 4 Winkelmesser Lineal Zirkel.