1 Spannungs- und Stromtransformation

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1 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/1 1 Spannungs- und Stromtransformation Wir wollen die Leitung in Abb. 1 als Vierpol betrachten. Dann können wir Beziehungen zwischen den Spannungen und Strömen am Anfang U a, I a und am Ende U e und I e herstellen: U a = U h (0) + U r (0) = U 1 + U (1) I a = U h (0) U r (0) = U 1 U () U e = U h (L) + U r (L) = U 1 exp( L) + U exp(+l) (3) I e = U h (L) U r (L) = 1 (U 1 exp( L) U exp(+l)) (4) Abb. 1: Betrachtung der Leitung als Vierpol. Nun kann man Gl. (3) und (4) nach U 1 und U auösen: U 1 = U e + I e U = U e I e exp(+l) (5) exp( L) (6) Gl. (5) und (6) lassen sich nun in Gl. (1) und () einsetzen, so dass man einen Ausdruck für U a erhält: 1 1 U a = U e fexp(l) + exp( L)g + I e fexp(l) exp( L)g } {{}} {{} cosh(l) sinh(l) ) U a = U e cosh(l) + I e sinh(l) (7) Wenn entsprechend Gl. (5) und (6) in Gl. () eingesetzt werden, ergibt sich für den Strom am Anfang der Leitung: I a = U e sinh(l) + I e cosh(l) (8) Zusammengefasst kann man obige Gleichungen als Kettenmatrix schreiben: U a = cosh(l) sinh(l) U e (9) I a sinh(l)= cosh(l) I e Mit solch einer Kettenmatrix lassen sich auch Hintereinanderschaltungen von Leitungen beschreiben. Dann müssen die Matrizen, die die einzelnen Leitungen beschreiben, miteinander multipliziert werden.

2 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/ Widerstandstransformation Der Abschlusswiderstand Z e = U e I e sei bekannt. Gesucht ist dann der transformierte Widerstand Z a = U a I a am Anfang der Leitung. Zur Bestimmung des transformierten Widerstands muss man nur das Verhältnis von Spannung zu Strom am Anfang der Leitung bilden. Aus Gl. (7) und (8) folgt dann mit U e = Z e I e : und damit U a I a = Z a = Z e cosh(l) + sinh(l) Z e sinh(l) + cosh(l) ) Z a = Z e + tanh(l) + Z e tanh(l) (10) (11).1 Spezialfälle 1. Anpassung: Z e = Der Abschlusswiderstand transformiert sich unverändert an den Anfang der Leitung: Z a =.. Sehr lange, verlustbehaftete Leitung mit z 1: ) sinh(l) 1 exp(l) cosh(l) ) tanh(l) 1 ) Z a = D.h. die Welle sieht den Abschlusswiderstand am Ende der Leitung nicht mehr und wird nur durch die Leitung selbst beeinusst. 3. Verlustfreie Leitung mit = 0: Der Leitungswellenwiderstand einer solchen Leitung ist rein reell: =, und für die Ausbreitungskonstante gilt = j, so dass sich ergibt: woraus dann aus Gl. (11) folgt: sinh(l) = sinh(jl) = j sin(l) cosh(l) = cosh(j L) = cos(l) tanh(jl) = j tan(l); (1) Z ) e + j tan(l) Z a = + j Z e tan(l) (13). Spezialfälle einer verlustfreien Leitung bzw. L = charakterisiert. Damit gilt und aus Gl. (13) folgt für die Impedanz am Anfang der Leitung: tan( L)! 1; (14) ) Z a = Z L Z e (15)

3 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/3 Entsprechend Gl. (15) führt damit eine -Leitung zu einer Impedanzinversion. Eine -Leitung 4 4 lässt sich auch zur Impedanzanpassung verwenden. Wenn z.b. Z e = R e und Z a = R a vorgegeben sind, lässt sich die Forderung erfüllen, wenn als geometrischer Mittelwert beider Widerstände gewählt wird: = R a R e (16). -Leitung: Eine -Leitung wird durch L = charakterisiert. Daher ist tan( L) = 0, und aus Gl. (13) folgt einfach: Z a = Z e (17) 3. Kurzschluss: Bei einem Kurzschluss am Leitungsende wird Z a rein reaktiv und aus Gl. (13) folgt: Z a = j tan( L) (18) Der Verlauf der Impedanz Z a ist in Abb. a als Funktion von L dargestellt. Da (zumindest für TEM-Wellen) gemäÿ Gl. (LEI 5) proportional zur Frequenz! ist, lässt sich die L-Achse in Abb. auch als Frequenzachse interpretieren. Für kleine Frequenzen ( L < ) ist danach das Verhalten der kurzgeschlossenen Leitung induktiv während für L das Impedanzverhalten dem eines Parallelschwingkreises entspricht (eine genauere Betrachtung erfolgt in Abschnitt.3). Für gröÿere Frequenzen wird das Verhalten dann kapazitiv, und für L ergibt sich dann das Verhalten eines Serienschwingkreises. Dieses Verhalten setzt sich dann zu höheren Frequenzen hin periodisch fort. 4. Leerlauf: Für Z e! 1 folgt aus Gl. (13) Z a = j cot( L); (19) wobei dieser Verlauf in Abb. b dargestellt ist. Hier ergibt sich für kleine Frequenzen zunächst ein kapazitives Verhalten, während sich bei L ; 3 ; 5 : : : ein Serienschwingkreis und für L ; ; 3 : : : ein Parallelschwingkreis ergibt. Abb. : Eingangsimpedanz einer verlustlosen Leitung bei a) Kurzschluss- bzw. b) Leerlauf am Ende der Leitung.

4 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/4.3 Vergleich zwischen -Leitung und Schwingkreis 4 Als Beispiel für einen Schwingkreis wird eine kurzgeschlossene -Leitung betrachtet. In der Umgebung 4 von L = entspricht dann das Impedanzverhalten dem eines Parallelschwingkreises entsprechend Abb. 3: Abb. 3: Vergleich zwischen kurzgeschlossener Leitung und einem Parallelschwingkreis. Im Folgenden haben wir das Ziel, die Ersatzelemente L 1 ; C 1 ; R des Parallelschwingkreises so zu bestimmen, dass Z a für L korrekt beschrieben wird..3.1 Betrachtung der kurzgeschlossenen Leitung Die Verluste der Leitung sollen jetzt mit berücksichtigt werden, so dass aus Gl. (11) für Z e = 0 folgt: Z a = tanh(l) (0) Für die Extraktion der Ersatzelemente L 1 ; C 1 ; R ist es zweckmäÿiger, die Admittanz zu betrachten: Y a = 1 = 1 coth(l) (1) Z a Wir wollen uns auf kleine Verluste L 1 beschränken, so dass mit L = L + jl () sich mit coth(l) = exp(l) + exp( L) exp(l) exp( L) (3) exp(l) exp(j L)(1 + L) bzw. exp( L) exp( j L)(1 L) ergibt zu: coth(l) = = exp(jl) + exp( jl) + L[exp(jL) exp( jl)] exp(jl) exp( jl) + L[exp(jL) + exp( jl)] cos(l) + jl sin(l) j sin(l) + L cos(l) (4)

5 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/5 Da wir den Schwingkreis in der Nähe von L betrachten, wird cos(l) sehr klein, und für die Admittanz Y a folgt aus Gl. (1) mit (4) für L 1 und L : [ Y a = 1 ] cos(l) j sin(l) + L Mit = p! " r =c 0 bzw. =!=V ph und der Resonanzfrequenz! 0 für L = (d.h.! 0L v ph aus Gl. (5): (5) = ) folgt ( ) Y a = 1 [ j cot(l) + L] = 1!L j cot + L v ph ( ) = 1 (!! 0 )L j cot + + L ; (6) v ph was sich für (!! 0 ) L v ph 1 näherungsweise schreiben lässt als: ( ) Y a 1 j (!! 0)L + L v ph (7).3. Vergleich mit diskretem Schwingkreis Der Gesamtleitwert des Parallelschwingkreises in Abb. 3 kann folgendermaÿen dargestellt werden: ( ) 1 Y a = j!c (8)!L 1 R Wenn man nun die Resonanzfrequenz! 0 = p 1 L1 C 1! 0 ) betrachtet, erhält man folgenden Ausdruck: einführt und Frequenzen in ihrer Nähe (j!! 0 j Y a j(!! 0 ) C R (9) Durch Koezientenvergleich mit Gl. (7) erkennt man, dass sich der Leitungsresonator in der Nähe der Resonanzfrequenz! 0 diskrete Bauelemente folgende Gröÿen haben: durch einen äquivalenten Schwingkreis ersetzen lässt, dessen äquivalente C 1 = L C0 = L; (30) v ph wobei von = L 0 =C 0 p und v ph = 1= L 0 C 0 Gebrauch gemacht wurde. Weiterhin ergibt sich R = L = Die Güte Q des Schwingkreises ergibt sich zu: L 0 C 0 1 L (31) 8L0 L 1 = L: (3) Q =! 0 C 1 R =! 0 v ph (33)

6 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/6.3.3 Beispiel Für f 0 =! 0 = 1000 MHz und v ph = 10 8 m, sowie s = 0; 1 db ergibt sich eine Güte von Q = m Die Länge L des Leitungsschwingkreises wird dann zu L = 5 cm. Es lassen sich umso höhere Güten erreichen, je geringer die Dämpfung und je höher die Resonanzfrequenz wird. 3 Smith-Diagramm Eine Impedanztransformation ist auch mit Hilfe des sog. Smith-Diagramms möglich. Dazu wird die Gl. (WEL 18) zunächst auf den Leitungswellenwiderstand normiert: r = Z e = 1 Z e = + 1 = z 1 z + 1 (34) Hierbei ist z die normierte Impedanz am Ende der Leitung nicht zu verwechseln mit der Ortskoordinate z! Gl. (34) beschreibt eine konforme Abbildung von der z-ebene (z = u + jv) in die r-ebene. Physikalisch realisierbar als passive Abschlüsse sind nur Impedanzen mit <(z) > 0 (nur positive ohm'sche Widerstände). Die rechte z-halbebene mit <(z) > 0 wird in das Innere des Einheitskreises abgebildet. Abb. 4: Das Smith-Diagramm ist die Abbildung der rechten z-halbebene in den Einheitskreis in der r-ebene. 3.1 Abbildung ausgezeichneter Punkte Die imaginäre Achse in der z-ebene wird auf den Einheitskreis in der r-ebene abgebildet: z = j v ) r = jv 1 = exp(j) mit = arctan(v ) jv + 1 Die reelle Achse in der z-ebene wird wiederum auf die reelle Achse der r-ebene abgebildet: z = u ) r = u 1 ) rein reeller Bruch, u + 1 wobei sich für den Bereich u > 0 reelle Werte r zwischen r = 1 (Kurzschluss, u = 0) und r = +1 (Leerlauf, u! 1) innerhalb des Einheitskreises ergeben.

7 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/7 Abb. 5: Smithdiagramm als konforme Abbildung der rechten z-halbebene in den Einheitskreis jr j 1 in der r-ebene gemäÿ r = (z 1)=(z + 1): a) Abbildung der imaginären Achse und der reellen Achse (u > 0) in die r-ebene, b) Abbildung von Geraden mit u = <(z) = const, c) Abbildung von Geraden mit v = =(z) = konst. Weitere ausgezeichnete Punkte: ˆ Anpassung: z = 1 ) r = 0 ˆ Kurzschluss: z = 0 ) r = 1 ˆ Leerlauf: z! 1 ) r = +1 ˆ Impedanzwerte mit konstantem Realteil werden in Kreise abgebildet, deren Mittelpunkte auf der reellen Achse der r-ebene liegen und durch r = 1 gehen. ˆ Impedanzwerte mit konstantem Imaginärteil werden ebenfalls in Kreise abgebildet, die durch r = 1 gehen, deren Mittelpunkte aber auf der mit A bezeichneten Achse liegen.

8 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/8 ˆ Die obere Halbebene der r-ebene zeigt induktives Verhalten: =(r ) > 0, =(z) > 0. ˆ Die untere Halbebene der r-ebene zeigt kapazitives Verhalten: =(r ) < 0, =(z) < 0. Das Innere des Einheitskreises in der r-ebene wird auch als Smith-Diagramm bezeichnet und ist nochmals in Abb. 6 dargestellt. Die Parameter im Smith-Diagramm bezeichnen jeweils u und v aus der z-ebene. Abb. 6: Smith-Diagramm.

9 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/9 4 Impedanztransformation mit dem Smith-Diagramm Mit dem Smith-Diagramm lässt sich in sehr einfacher Form die Impedanztransformation entlang einer Leitung beschreiben. Die Transformation des Reexionsfaktors vom Leitungsende an den Leitungsanfang erfolgt gemäÿ Gl. (WEL 6): r (0) = r (L) exp( L) (35) = r (L) exp( L) }{{} Dämpfung r (L) = Z e = 1 Z e = + 1 = z(l) 1 z(l) + 1 r (0) = Z a = 1 Z a = + 1 = z(0) 1 z(0) + 1 exp( j L) }{{} Phasendrehung zum Generator (36) (37) (38) Somit ist die Vorgehensweise folgendermaÿen: Z e sei vorgegeben, dann ergibt sich die normierte Impedanz am Leitungsende zu: z(l) = Z e (39) z(l) wird nun im Smith-Diagramm eingetragen, so dass r (L) vorliegt. Im Smith-Diagramm wird dann r (L) gemäÿ Gl. (36) in r (0) umgewandelt. Aus r (0) folgt dann die normierte Impedanz z(0), woraus dann schlieÿlich nach Entnormierung die gesuchte Impedanz am Anfang der Leitung entsteht. 4.1 Beispiel: Z e = 5 (1 j ); = 50 ; L = =8. Z e = 5 (1 j) ) z(l) = 1 (1 j) Aus z(l) ergibt sich r (L) in Abb. 7. Mit der Annahme, dass die Verluste exp( L) = 1 betragen, folgt aus Gl. (36) ein jr (0)j = 1 jr (L)j. Die Leitungslänge L = führt zu einer Phasendrehung L =, so dass sich dann r (0) in Abb. 7 8 ergibt. Aus dem Smith-Diagramm lässt sich dann z(0) = 0; 65+j 0; 15 ablesen, woraus sich schlieÿlich ein Z a = 3; 5 + j 7; 5 ergibt. 4. weitere Beispiele 1. verlustlose, am Ende kurzgeschlossene Leitung mit L = 0; 199 ) Z a = 3j. verlustlose, am Ende oene Leitung mit L = 0; 1 ) Z a = 1; 4j 4.3 Vorgehensweise bei komplexeren Fragestellungen Wenn man z.b. eine Impedanztransformation an den Anfang einer verketteten Leitung mit unterschiedlichen Leitungswellenwiderständen vornehmen möchte (siehe Abb. 8), muss man folgendermaÿen vorgehen:

10 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/10 Abb. 7: Smith-Diagramm zum Beispiel 4.1.

11 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/11 1. Z e bezüglich normieren. Mit Smith-Diagramm die Impedanz Z a am Anfang von Leitung ermitteln 3. Die Impedanz Z e1 am Ende von Leitung 1 ist gegeben durch Z e1 = Z a + Z 0 4. Z e1 bezüglich des Leitungswellenwiderstands der Leitung 1, 1 normieren 5. Mit Smith-Diagramm die Impedanz Z a bestimmen Abb. 8: Leitungsanordnung mit zwei seriell verschalteten Elementen Z 0 und Z e. 5 Transformation von Admittanzen mit dem Smith-Diagramm In den letzten Abschnitten wurde der Reexionsfaktor r immer bezüglich der normierten Impedanz z betrachtet. Nun soll beschrieben werden, wie das Smith-Diagramm bezüglich der normierten Admittanz y verwendet werden kann. Dazu soll noch einmal die Abbildungsvorschrift für z und analog dazu von y angegeben werden: r = Z e = z 1 Z e + z + 1 r = Z e = y 1 + Z e y + 1 mit mit z = Z e y = Z e = 1 z Daraus ist ersichtlich, dass sich r zu z verhält, wie r zu y. Graphisch lässt sich dieser Zusammenhang durch eine Punktspiegelung am Koordinatenursprung darstellen. ) Im Smith-Diagramm ist y bei bekannter Impedanz z durch Spiegelung am Ursprung bestimmbar. 5.1 Beispiel Die normierte Impedanz am Ende der Leitung sei z = 0; 15 + j 0; 55: z = 0; 15 + j 0; 55 ) y = 0; 5 j 1; 7

12 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/1 Abb. 9: Smith-Diagramm Spiegelung am Ursprung zur Transformation von Impedanzen zu Admittanzen und umgekehrt.

13 Hochfrequenztechnik I Impedanztransformation, Smith-Diagramm SMI/13 Der Vorgang der Spiegelung ist in Abb. 9 dargestellt. 5. Vorgehensweise bei komplexeren Fragestellungen Die Transformation von y mit dem Smith-Diagramm erfolgt völlig analog zur Transformation von z. Die Betrachtung der Admittanzen ist zweckmäÿig bei Leitungsanordnungen, die parallelgeschaltete Elemente beinhalten, weil sich dann ihre Admittanzen addieren Beispiel für Analyse mit Admittanzen Abb. 10: Leitungsanordnung mit parallelgeschalteten Elementen. Ein Beispiel für eine Anordnung mit parallel verschalteten Elementen ist in Abb. 10 dargestellt. Wir wollen folgende Annahmen machen. Sie sollten dieses Beispiel selbst bearbeiten. L 1 = 0; 176 ; L = 0; 15 ; verlustfreie Leitungen 1 = = ; Y e = 0 (Leerlauf); Z 0 = ) y a = Y a = Z a = 1 j