Geschichtlicher Hintergrund

Transkript

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2 Geschichtlicher Hintergrund Rolf Nevanlinna ( ) Georg Pick ( ) Den Hintergrund des Spiels PickIt bildet ein altes Problem, das Anfang des 20. Jahrhunderts erstmals von Georg Pick und Rolf Nevanlinna untersucht wurde.

3 Pick-Nevanlinna-Interpolation Pick (1915) und Nevanlinna (1919, 1929) studierten unabhängig voneinander die folgende Aufgabe: Man finde alle Blaschke-Produkte w im Einheitskreis D, die in vorgegebenen Punkten z 1,..., z n gegebene Werte w 1,..., w n annehmen, d. h. w(z k ) = w k (k = 1,..., n). In der klassischen Problemstellung liegen alle Punkte z 1,..., z n im Inneren der Einheitskreisscheibe. Es gibt aber eine Variante, bei der alle (oder einige Punkte) auf dem Rand liegen. Diese Version ist erheblich schwerer und bis heute Gegenstand mathematischer Forschung. Auch PickIt wird sich mit diesem Problem befassen und es auf spielerische Art lösen. Für ein besseres Verständnis der obigen Aufgabenstellung werden im Weiteren komplexe Zahlen und komplexe Funktionen sowie die Blaschke-Produkte erklärt. Was die Aufgabe mit PickIt zu tun hat, wird sich dann am Ende zeigen.

4 Komplexe Zahlen

5 Zahlen und Punkte Reelle Zahlen sind Punkte auf einer Geraden.

6 Zahlen und Punkte Reelle Zahlen sind Punkte auf einer Geraden. Wir wollen jedoch mit Punkten einer Ebene rechnen.

7 Rechnen mit Punkten z w v z z w γ αβ w v v 0 0 Das linke Bild verdeutlicht die Addition zweier Punkte v und w. Es werden einfach die zugehörigen Vektoren addiert, wodurch z = v + w entsteht. Das rechte Bild zeigt, wie diese beiden Punkte multipliziert werden. Dabei entspricht v bzw. w der Länge des Vektors vom Koordinatenursprung 0 zum Punkt v bzw. w. Das Produkt z = v w hat den Abstand z = v w vom Ursprung. Seine Richtung ist die Summe der Richtungen von z und w, also γ = α + β.

8 Die imaginäre Einheit i 1 v =w =i i z = i i z = i Nun werden v = w = i gesetzt. i ist dabei die imaginäre Einheit. Multipliziert man i mit sich selbst ergibt das i i = i 2 = 1. Das heißt aber auch, dass i eine Wurzel aus 1 ist. Die andere ist i, da ( i) 2 = 1. Diese Beziehung ermöglicht das Wurzelziehen aus negativen Zahlen. So gilt z. B. ebenso 4 = ±2i.

9 Punkte und komplexe Zahlen i bi a=re z z = a+bi b =Im z 0 a 1 Wie man sicher schon bemerkt hat, kann man die Punkte der Ebene als komplexe Zahlen schreiben. Eine komplexe Zahl z = a + bi setzt sich aus ihrem Realteil Re z = a und ihrem Imaginärteil Im z = b zusammen.

10 Komplexe Funktionen

11 Komplexe Funktionen f Wir betrachten nun eine Funktion f, die Punkte z aus einer z-ebene auf Punkte w = f (z) einer w-ebene abbildet. Zu jedem Punkt z gibt es genau einen Bildpunkt w = f (z). Auch die Information über die Farbe der Bildpunkte wird mit übertragen.

12 Funktionen als Transformationen von Bildern f Legt man in die z-ebene ein Bild, wird dieses durch die Funktion in ein Bild der w -Ebene transformiert. Einfache Transformationen sind die Identita t, Verschiebungen, oder Drehungen (siehe Bild).

13 Vorwa rtsu bertragung und Zuru ckziehen von Bildern f Die interessanteren Abbildungen sind komplizierter. Es kann passieren, dass mehrere Punkte der z-ebene auf denselben Punkt der w -Ebene abgebildet werden und somit Farbinformationen verloren gehen. Im obigen Bild kommt es durch f offensichtlich zu einer U berlappung.

14 Vorwa rtsu bertragung und Zuru ckziehen von Bildern f Besser funktioniert die U bertragung in der umgekehrten Richtung. Das nennt man Zuru ckziehen ( pull back ). Dadurch ergibt sich z. B. fu r f (z) = z 2 obiges Bild. Auffa llig ist, dass sich z. B. der Punkt in der Mitte der Blume in der z-ebene verdoppelt. Dadurch kann es nicht mehr zu einer U berlappung kommen.

15 Für eine genauere Erklärung des Verfahrens werden standardisierte Muster genutzt. Dabei wird die w-ebene strahlenförmig in Regenbogenfarben gefärbt. Das Prinzip des pull back besagt nun, dass man sich einen Punkt w der w-ebene nimmt und dann die Punkte der z-ebene sucht, die auf diesen Punkt abgebildet werden. All diese Punkte z, die w = f (z) erfüllen, werden nun mit der Farbe des Punktes w gefärbt. Vorwärtsübertragung und Zurückziehen von Bildern f

16 Visualisierungen komplexer Funktionen f Macht man dies mit jedem Punkt der w-ebene ergibt sich z. B. für die Funktion f (z) = z 2, die obige Färbung der z-ebene. Auch hier entstehen Wiederholungen von Farben und Mustern, wie wir sie schon bei der Blume gesehen haben. Das links entstandene Bild nennt man Phasenporträt.

17 Die Punkte in denen sich alle Farben treffen, sind Nullstellen oder Polstellen. Durch die Reihenfolge der Farben im Uhrzeigersinn um solch einen Punkt kann die Art bestimmt werden. Kommt nach rot gleich pink, handelt es sich um eine Nullstelle, wie z. B. bei f (z) = z. Wechselt rot zu orange, handelt es sich um eine Polstelle, wie z. B. bei f (z) = z 1. Potenzfunktionen Die Bilder zeigen Phasenporträts der Funktionen f (z) = 1 (links), z, z 2, z 3 (oben) und z 1, z 2, z 3 (unten).

18 Polynome Aus den Potenzfunktionen 1, z, z 2, z 3... lassen sich Polynome bilden. Sie haben die allgemeine Form f (z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n. Als Beispiel ist hier f (z) = 1 z 2 + z 3 dargestellt. Jedes Polynom hat genau so viele Nullstellen wie die Zahl des höchsten Exponenten, hier also 3. Aus der Ferne sieht das Phasenporträt sehr einfach aus, nämlich wie das Phasenporträt seines führenden Terms, der hier z 3 ist.

19 Die komplexe Funktion hinter PickIt

20 Blaschke-Produkte Ein Blaschke-Faktor ist eine einfache Funktion, z. B. f (z) = z z.

21 Blaschke-Produkte Ein Blaschke-Faktor ist eine einfache Funktion, z. B. f (z) = z z. Eigentlich sind nur die Werte in einem Kreis interessant.

22 Blaschke-Produkte Die allgemeine Form eines Blaschke-Faktors ist f (z) = z z 0 1 z 0 z. Der Punkt z 0 ist eine Nullstelle. Dort treffen sich alle Farben.

23 Blaschke-Produkte Die Lage der Nullstelle z 0 bestimmt die Funktion. Liegt die Nullstelle von f (z) = z z 0 1 z 0 z nah am Rand, hat ihre Wirkung nur eine sehr geringe Reichweite.

24 Blaschke-Produkte Multipliziert man mehrere Blaschke-Faktoren miteinander, erhält man ein Blaschke-Produkt f (z) = z z 1 1 z 1 z...

25 Blaschke-Produkte Multipliziert man mehrere Blaschke-Faktoren miteinander, erhält man ein Blaschke-Produkt f (z) = z z 1 1 z 1 z z z 2 1 z 2 z...

26 Blaschke-Produkte Multipliziert man mehrere Blaschke-Faktoren miteinander, erhält man ein Blaschke-Produkt f (z) = z z 1 1 z 1 z Solche Produkte nutzt PickIt. z z 2 1 z 2 z z z 3 1 z 3 z.

27 Noch einmal die Aufgabenstellung...

28 Pick-Nevanlinna-Interpolation Man finde alle Blaschke-Produkte w im Einheitskreis D, die in vorgegebenen Punkten z 1,..., z n gegebene Werte w 1,..., w n annehmen, d. h. w(z k ) = w k (k = 1,..., n). Nun stellt sich die Frage, wie ein Blaschke-Produkt für eine konkrete Aufgabe bestimmt werden kann. Die Idee, diese Fragestellung in ein Spiel zu verwandeln, entstand nach einem Vortrag zum abgebildeten Paper an der TU München im Jahr 2013.

29 Die Problemstellung von PickIt Im Spiel PickIt haben wir 7 vorgegebene Randpunkte z 1,... z 7, die durch Kreise auf dem Rand des Einheitskreises D repräsentiert werden. Die zu interpolierenden Werte w 1,..., w 7 entsprechen den Farben dieser Kreise. Im Inneren sehen wir das Phasenporträt eines Blaschke-Produkts. Die weißen Punkte repräsentieren seine drei Nullstellen und können von uns bewegt werden. Da ein Blaschke-Produkt durch seine Nullstellen eindeutig bestimmt ist, können wir durch Variation selbiger jenes Blaschke-Produkt finden, welches die Interpolationsbedingungen w(z k ) = w k erfüllt.

30 Die Problemstellung von PickIt Die Größe der Kreise zeigt uns, wie gut unsere Lösung passt. Kleinere Kreise stehen für eine bessere Übereinstimmung. Ziel ist es, dass die Farben der Kreise w k mit den Farben des Phasenporträts am Punkt z k übereinstimmen. So ermöglicht PickIt die schwierige Pick-Nevanlinna-Interpolation mit Interpolationsbedingungen auf dem Rand des Einheitskreises auf spielerische Art und Weise zu lösen.

31 Für alle die es genauer wissen wollen: