, a n 2. p(x) = a n x n + a n 1. x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0. reelles Polynom in der Variablen x vom Grad n. Man schreibt deg p(x) = n

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1 . Graphen gebrochen rationaler Funktionen ==================================================================. Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken Sind a n, a n, a n 2,..., a 2, a, a 0 R reelle Zahlen und a n 0, dann heißt der Term p() = a n n + a n n a a + a 0 reelles Polynom in der Variablen vom Grad n. Man schreibt deg p(). = n p() = ist ein Polynom vom Grad 3 mit a 3 =, a 2 = 0, a = und a 0 = 2. Ein Zahl 0 R heißt Nullstelle des Polynoms p(), wenn p( 0 ) = 0 ist. 0 = ist Nullstelle des Polynoms p() = , denn p( ) = ( ) 3 ( ) = + 2 = 0 Lässt sich der Funktionsterm f() einer Funktion f in vereinfachter Form als f() = p() q() mit zwei Polynomen p() und q() mit deg q() darstellen, dann heißt f eine gebrochen rationale Funktion mit dem Zählerpolynom p() und dem Nennerpolynom q(). Ist deg p(), dann heißt f eine < deg q() echt gebrochen rationale Funktion. Ist deg p() deg q(), dann heißt f eine unecht gebrochen rationale Funktion.

2 Beispiele: a) f : 2 + mit der maimalen Definitionsmenge D ma = R ist eine echt gebrochen rationale Funktion. b) f : mit der maimalen Definitionsmenge D ma = R ist eine unecht gebrochen rationale Funktion. Bemerkungen: a) Die maimale Definitionsmenge einer gebrochen rationalen Funktion besteht aus allen reellen Zahlen mit Ausnahme der Nullstellen des Nennerpolynoms. Man nennt die Nullstellen des Nennerpolynoms deshalb auch Definitionslücken der gebrochen rationalen Funktion. Beispiele: a) f : hat die maimale Definitionsmenge. 2 D ma = R + b) f : hat die maimale Definitionsmenge D ma = R\{ } c) f : hat die maimale Definitionsmenge. 2 D ma = R\{ ; } d) f : hat die maimale Definitionsmenge. 2 2 = D ( 2) ma = R\{0; 2} b) Die Summe aus einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochen rationalen Funktion ist eine unecht gebrochen rationale Funktion. f() = + 2 = ( 2) + 2 = = ( )2 2.

3 Werden die Funktionswerte einer Funktion f bei rechts- bzw. linksseitiger Annäherung an eine Definitionslücke beliebig groß bzw. beliebig klein, dann schreibt man f() = 0 +0 sowie bzw. 0 f() = 0 +0 f() = bzw. f() = und bezeichnet Die Gerade 0 als Polstelle von f. = 0 heißt dann senkrechte Asymptote des Graphen von f. Bemerkungen: a) Gilt f() = 0 +0 dann heißt 0 und f() = bzw. f() = und 0 0 eine Polstelle ungerader Ordnung An einer Polstelle ungerader Ordnung wechselt die Funktion f ihr Vorzeichen. Die Funktion f: 2 mit D = R\{0} f() = 0 0 hat an der Definitionslücke 0 = 0 einen Pol ungerader Ordnung Die y-achse mit der Gleichung = 0 ist eine senkrechte Asymptote des Graphen von f.

4 b) Gilt f() = 0 +0 dann heißt 0 und f() = bzw. f() = und 0 0 eine Polstelle gerader Ordnung f() = 0 0 An einer Polstelle ungerader Ordnung findet kein Vorzeichenwechsel von f statt. Die Funktion f: mit 2 ( ) 2 D = R\{} hat an der Definitionslücke 0 = einen Pol gerader Ordnung Die Gerade mit der Gleichung = ist eine senkrechte Asymptote des Graphen von f. c) Eine Definitionslücke ist nicht zwangsläufig eine Polstelle. f : Es ist f : = ( 2) ( + 2) ( 2) = + 2 Also f() = f() = 2. 4 = Man schreibt zusammenfassend f() = und sagt, dass f an der Stelle den 2 0 = 2 Grenzwert 2 besitzt. 2

5 Definitionslücken gebrochen rationaler Funktionen Ist eine Definitionslücke 0 einer Funktion f eine Nullstelle des Nennerpolynoms ungerader bzw. gerader Ordnung im gekürzten Funktionsterm von f, dann hat f bei 0 einen Pol ungerader bzw. ungerader Ordnung. Andernfalls besitzt die Funktion f bei 0 einen endlichen Grenzwert.

6 .2 Verhalten im Unendlichen Nähern sich die Funktionswerte einer gebrochen rationalen Funktion für bzw. immer mehr einer Zahl a an, dann schreibt man f() = a bzw. f() = a und bezeichnet a als Grenzwert von für im Unendlichen. Die Gerade y = a nennt man dann ein horizontale Asymotote des Graphen von f. Werden die Funktionswerte von f beliebig klein bzw. beliebig groß, dann schreibt man f() = bzw. f() = sowie f() = bzw. f() = Fallunterscheidung:. deg p() < deg q() f() = = 2 + = 0 und = 2 + = 0 Die -Achse mit der Gleichung y = 0 ist horizontale Asymptote des Graphen von f.

7 2. deg p() = deg q() f : = 2 und + = = = 2 Die Gerade mit der Gleichung y = 2 ist horizontale Asymptote des Graphen von f. 3. Die gebrochen rationale Funktion lässt sich als Summe einer linearen Funktion und einer echt gebrochen rationalen Funktion darstellen. Beispiel : f : f() = Dann gilt zwar und, aber wegen = = = 0 und = 0 nähert sich der Graph im Unendlichen der Geraden y = an 2 +

8 Man nennt die Gerade y = eine 2 + schiefe Asymptote des Graphen.

9 .3 Kurvendiskussion rationaler Funktionen I a) f : 2. Definitionsmenge 2 = 0 ( + ) ( ) = 0 = = und damit D = R\{ ; } 2. Symmetrie f( ) = ( ) 2 + = 2 + = f() Der Graph G von f ist also punktsymmetrisch zum Ursprung O 0 0 des Koordinatensys- tems. 3. Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs f() = 0 0 f() = =, da = und ( 2 ) = =, da = und ( 2 ) = f() = 2 = Wegen der Punktsymmetrie gilt = f() = 0 f() = f() = Senkrechte Asymptoten: 2 = 2 = Waagrechte Asymptote: y = 0 = und =

10 4. Nullstellen f() = 0 2 = 0 = 0 5. Vorzeichen 6. Graph < < < < 0 0 < < < < f() + + Aufgabe in der Handreichung Das Bild zeigt den Graphen der Funktion f : mit D f = R\{2} Das Bild lässt vermuten, dass G f symmetrisch zum Schnittpunkt seiner Asymptoten ist. Zum Nachweis wird die Funktion g betrachtet, deren Graph G g aus G f durch eine Verschiebung um 2 Einheiten in Richtung der negativen -Achse und um Einheit in Richtung der negativen y-achse hervorgeht. Bestimmen Sie einen Term für g und weisen Sie mithilfe von Symmetriebetrachtungen für G g nach, dass symmetrisch zum Schnittpunkt seiner Asymptoten. G f

11 Lösung g() = 2 ( + 2) 2 2 ( + 2) 4 = = 2 (2 + 2) 2 2 = g( ) = = = g() d.h. der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die Asymptoten des Graphen von f haben die Gleichungen = 2 und y = Der Schnittpunkt der Asymptoten von f ist also S 2 und wird durch die Verschiebung auf den Koordinatenursprung abgebildet. Also ist der Graph von f zu S punktsymmetrisch.