Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten

Transkript

1 Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist, heißt Funktion: y = f x. x wird als unabhängig-veränderliche Größe, y als abhängig-veränderliche Größe bezeichnet. Ablesen von einander zugeordneten Werten

2 Wie der Abbildung zu entnehmen ist, wir jedem x ein eindeutiger Wert f x zugewiesen, d.h. die Zuordnung f x ist eine Funktion. Für die Umkehrung gilt dies nicht, da z.b. zum Wert f x = 8 zwei x-werte ( x = 2,52 und x = 8 ) gefunden werden können. Hat eine Funktion f auch die Eigenschaft, dass jedem Wert y B der abhängigen Variablen genau ein Wert x A der unabhängigen Variablen zugewiesen wird, so nennt man f umkehrbar oder bijektiv. Eine Zuordnung, die in beiden Richtungen eine Funktion ist, heißt bijektive Funktion. Definitionsmenge und Wertemenge Die Menge der Zahlen, welche die unabhängig-veränderliche Größe x annehmen kann, nennt man die Definitionsmenge D f der Funktion. Die Menge aller Werte, welche die abhängig-veränderliche Größe y annimmt, nennt man die Wertemenge W f der Funktion.

3 Minimum und Maximum Die größte und der kleinste Wert der Wertemenge W f heißen Maximum bzw. Minimum der Funktion. Eine Funktion kann, aber muss kein Maximum bzw. Minimum haben.

4 Monotonie Gilt für jedes Paar x 1, x 2 der unabhängig-veränderlichen Größe x aus einem Intervall I D f eine der folgenden Aussagen, so hat die Funktion f dort die jeweils angegebene Eigenschaft: x 1 x 2 f x 1 f x 2 f ist in I streng monoton steigend x 1 x 2 f x 1 f x 2 f ist in I monoton steigend x 1 x 2 f x 1 = f x 2 f ist in I konstant x 1 x 2 f x 1 f x 2 f ist in I streng monoton fallend x 1 x 2 f x 1 f x 2 f ist in I monoton fallend

5 Zeichnen von Funktionsgraphen aus Wertetabellen In einer Wertetabelle ist eine endliche Menge von Wertepaaren x, f x einer Funktion f gegeben. Diese werden als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Der Verlauf des Graphen zwischen den einzelnen Punkten ist unbestimmt. Die Darstellung des Graphen ist der Funktion angemessen zu wählen.

6 Termdefinierte Formeln Die Beschreibung von Gesetzmäßigkeiten in der Mathematik und/oder den Naturwissenschaften erfolgt mittels Funktionsgleichungen (auch Zuordnungsvorschrift oder Formel genannt). Die unabhängige Variable heißt Argument, die abhängige Variable heißt Funktionswert. Die korrekte Angabe einer Funktion besteht aus der Angabe der Definitionsmenge D f, der Wertemenge W f und der Zuordnungsvorschrift y = f x. Definitionsmenge und Wertemenge lassen sich nicht immer eindeutig bestimmen, in diesen Fällen verwendet man Obermengen, die dann als Argumentevorrat und Wertevorrat bezeichnet werden. Beispiel: f : N R, y = = D f = W f 1 1 n n

7 Graphisches Lösen von Gleichungen mit einer Variablen Nullstellen einer Funktion Jene Argumente x, deren Funktionswert y = 0 zugeordnet ist, heißen Nullstellen einer Funktion f. Die Lösungen einer Gleichung f x = 0 sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion y = f x. Verallgemeinerung des Verfahrens Es sei die Gleichung folgt um: x 3 = x 2 5 zu lösen. Zunächst formen wir die Gleichung wie x 2 5 = x 3 x 3 x 2 x 2 = 0 Nun bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f x = x 2 x 2. Diese Funktion schneidet die x/achse an den Stellen x 1 = 1 und x 2 = 2. x 1 und x 2 sind also Nullstellen der Funktion f(x) und damit gleichzeitig Lösungen der Gleichung

8 x 2 x 2 = 0 Wir können aber auch die Linke Seite der Gleichung x 3 = x 2 5 als Funktion g x = x 3 und die rechte Seite als Funktion h x = x 2 5 betrachten. Die Lösung der Gleichung x 3 = x 2 5 ergibt sich dann als Schnittpunkte der g x und h x. Die reellen Lösungen einer Gleichung f x = g x sind die x-koordinaten der Schnittpunkte der Funktionsgraphen f(x) und g(x). Lineare Eine Funktion f : R R mit der Funktionsgleichung heißt lineare Funktion. y = k x d mit k, d R 1. Ist d = 0, d.h. y = k x spricht man von einer homogenen linearen Funktion. 2. Ist d 0, d.h. y = k x d spricht man von einer inhomogenen linearen Funktion. 3. Ist k = 0, d.h. y = d spricht man von einer konstanten Funktion.

9 Satz: Der Graph einer reellen linearen Funktion y = k x d ist eine Gerade. Aus obigem Satz folgt, dass zum Zeichnen des Graphen einer linearen Funktion nur zwei Punkte benötigt werden. Zusammenhang lineare Gleichungen lineare a x b = 0, a,b 0 inhomogene Funktion L = {x} a x = 0, a 0 homogene Funktion L = {0} a = 0, b 0 konstante Funktion L = {} a = 0 b = 0 konstante Funktion L = G Eigenschaften der Graphen linearer Stufenformel (allgemeine Form): Wächst das Argument einer linearen Funktion um Funktionswert um y = k x. x, so verändert sich der f x x = y x k x x R ; k R

10 Beweis: f x x = k x x d = = k x k x d = = k x d k x = = y x = y x k x Ändert sich das Argument um x = 1, verändert sich der Funktionswert um y = k 1 = k. Die konstante Größe k wird als Steigung der Geraden bezeichnet. Besondere Steigungen: k = 0 Der Funktionswert bleibt unverändert konstante Funktion k = 1 y = x Anstieg um 45 k = 1 y = x Anstieg um 135 = -45 k = y = Anstieg um 90 Ermitteln des Graphen einer linearen Funktion Aus der Funktionsgleichung y = k x d einer linearen Funktion kann der Funktionsgraph auf zwei Arten bestimmt werden: 1. Berechnung der Koordinaten zweier Punkte. 2. Geometrische Deutung der Funktionsgleichung. Ad 2) Der Funktionswert y 0 = 0 x d = d kann als Abstand der linearen Funktion vom Ursprung verstanden werden, bzw. bezeichnet der Punkt 0, y 0 = 0,d den Schnittpunkt der Geraden mit der y-achse. Beim Zeichnen des Graphen einer linearen Funktion trägt man den Abstand d (unter Berücksichtigung des Vorzeichens) entlang der y-achse auf. Von diesem Punkt geht man dann x Einheiten nach rechts und geht dann (je nach Vorzeichen von k ) x k Einheiten nach oben bzw. unten.

11 Ermitteln der Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus dem Graphen Wir bestimmen aus dem Graphen die Koordinaten von zwei Punkten x 1, y x 1 und x 2, y x 2. Aus den Koordinaten dieser Punkte berechnen wir dann die Parameter k und d.

12 y x 1 = k x 1 d y x 2 = k x 2 d y x 1 k x 1 = d y x 2 k x 2 = d y x 1 k x 1 = y x 2 k x 2 k x 2 y x 1 k x 1 k x 2 = y x 2 y x 1 k x 1 k x 2 = y x 2 y x 1 k x 2 x 1 = y x 2 y x 1 x 2 x 1 k = y x 2 y x 1 x 2 x 1 Die Differenzen der x-koordinaten a = x 2 x 1 und b = y x 2 y x 1 bilden die Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks, das als Steigungsdreieck bezeichnet wird. Wenn k berechnet ist, kann der Parameter d wie folgt berechnet werden:

13 y x 1 = k x 1 d d = y x 1 k x 1 y x 2 = k x 2 d d = y x 2 k x 2 Zusammenfassend gilt: Kennt man die Koordinaten x 1, y x 1 und x 2, y x 2 zweier Punkte, dann berechnen sich die Parameter k und d einer linearen Funktion aus: k = y x 2 y x 1 x 2 x 1 = b a x 1 x 2 d = y x 1 k x 1 = y x 2 k x 2 Der Ausdruck y x = y x y x 2 1 = b x 2 x 1 a wird als Differenzenquotient bezeichnet. Bei jeder linearen Funktion ist der Differenzenquotient y x konstant. Satz: Ist f eine lineare Funktion mit f x = k x d, dann gilt x R und x R : 1. f x 1 f x = k 2. f x x f x = k x 3. f x x f x = k x Deutung der Steigung: 1. Die Steigung einer linearen Funktion entspricht der Änderung der Funktionswerte bei Vermehrung um 1 (Einheitsdeutung der Steigung) 2. Die Steigung einer linearen Funktion entspricht dem Faktor, mit die Änderung der Argumente multipliziert werden muss, um die Änderung der Funktionswerte zu erhalten. Lineares Wachsen (Abnehmen) bedeutet: gleiche Zunahme (Abnahme) der Argumente (um x ) bewirkt stets gleiche Zunahme (Abnahme) der Funktionswerte (um k x ). 3. Die Steigung einer linearen Funktion entspricht dem Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente (Verhältnisdeutung der Steigung). Schieberegeln: Der Graph der Funktion y = f x a entsteht durch Verschieben des Graphen von y = f x um a Der Graph der Funktion y = f x a entsteht durch Verschieben des Graphen von y = f x um a

14 Einheiten parallel zur y-achse. Ist a positiv, so schiebt man nach oben ist a negativ, so schiebt man nach unten Einheiten parallel zur x-achse. Ist a positiv, so schiebt man nach rechts ist a negativ, so schiebt man nach links Direkte Proportionalität und linearer Zusammenhang Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch die homogene lineare Funktion y = k x beschreiben lässt, so sagt man: die Größen x und y stehen in einem direkt proportionale Verhältnis mit dem Proportionalitätsfaktor k zueinander. Satz: Ist f eine direkte Proportionalität mit f x = k x, dann gilt: 4. f a x = a f x 5. f x y = f x f y 6. k = f 1 7. f x = k x für x 0 Sind die Funktionswerte zu den Argumenten direkt proportional, dann sind auch die Argumente zu den Funktionswerten direkt proportional, kurz: die Funktionswerte und die Argumente sind zueinander direkt proportional. v R : y = k x v y = k v x Direkter Schluss von der Einheit auf die Mehrheit Direkter Schluss von der Mehrheit auf die Einheit Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch die inhomogene lineare Funktion y = k x d beschreiben lässt, so sagt man: die Größen x und y stehen in einem linearen Zusammenhang.

15 Indirekte Proportionalität vom Typ y = c x Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch eine Funktion des Typs y = c beschreiben lässt, so sagt man: die Größen x und y stehen in einem x indirekt proportionale Verhältnis zueinander mit der Proportionalitätskonstanten c. Zur Überprüfung, ob zwei Größen zueinander in einem indirekt proportionalen Verhältnis stehen, gibt es zwei Möglichkeiten: 1. Aus der Funktionsgleichung f x = c x x f x = c konstant sein muss. ergibt sich durch Umformung, dass 2. Im Falle einer indirekten Proportionalität muss für je zwei Wertepaare x 1 f x 1 und x 2 f x 2 gelten: f x 1 = c x 1 und f x 2 = c x 2. f x 1 f x 2 = x 2 x 1 Diese Bedingung folgt unmittelbar aus Satz: Ist f eine indirekte Proportionalität mit f x = c x, dann gilt: 1. f a x = f x für a 0 2. c = f 1 3. f x x = c a Sind die Funktionswerte zu den Argumenten indirekt proportional, dann sind auch die Argumente zu den Funktionswerten indirekt proportional, kurz: die Funktionswerte und die Argumente sind zueinander indirekte proportional.

16 vom Typ y = c x a Den roten Graphen der Funktion y = c x a erhält man aus der Funktion f x = c x mit Hilfe der Schieberegeln durch Verschieben um a Einheiten parallel zur x- Achse. Bei a 0 erfolgt eine Verschiebung nach rechts. vom Typ y = Den roten Graphen der Funktion y = c x a d erhält man aus der Funktion f x = c mit Hilfe der x Schieberegeln durch Verschieben um a Einheiten parallel zur x- Achse. c x a d Bei a 0 erfolgt eine Verschiebung nach rechts. Anschließend wird die Funktion y = c um d Einheiten parallel zur y-achse verschoben. Bei d`>`0 erfolgt eine x a Verschiebung nach oben.

17 vom Typ y = a x 2 Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch Funktion vom Typ y = a x 2 mit der Konstanten a 0 beschreiben lässt, so sagt man: y ist zu x 2 direkt proportional. Wenn a > 0, so gilt für x > 0: y nimmt mit dem Quadrat von x zu. Der Graph einer Funktion vom Typ y = a x 2 ist eine Parabel, deren Scheitel im Koordinatenursprung und deren Achse die y- Achse ist. vom Typ y = c x 2 Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch Funktion vom Typ y = c x 2 mit der Konstanten c 0 beschreiben lässt, so sagt man: y ist zu x 2 indirekt proportional. Wenn c > 0, so gilt für x > 0: y nimmt mit dem Quadrat von x ab.

18 Der Graph einer Funktion vom Typ y = c x 2 ist eine Kurve, deren beide Äste symmetrisch zur y- Achse liegen. Die Kurve hat die x- und die y- Achse als Asymptoten. An der Stelle x`=`0 hat die Kurve eine Polstelle. Sie ist dort nicht definiert. vom Typ y = a x 3 Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch Funktion vom Typ y = a x 3 mit der Konstanten a 0 beschreiben lässt, so sagt man: y ist zu x 3 direkt proportional. Wenn a > 0, so gilt für x > 0: y nimmt mit dem Kubus von x zu. Der Graph einer Funktion vom Typ y = a x 3 ist auf der gesamten Grundmenge definiert. Die Funktion ist streng monoton steigend, ihr Graph geht durch den Ursprung und ist zur x-achse symmetrisch.

19 vom Typ y = c x 3 Stehen zwei Größen x und y in einem Zusammenhang, der sich durch Funktion vom Typ y = c x 3 mit der Konstanten c 0 beschreiben lässt, so sagt man: y ist zu x 3 indirekt proportional. Wenn c > 0, so gilt für x > 0: y nimmt mit dem Kubus von x ab. Der Graph einer Funktion vom Typ y = c x 3 ist eine Kurve, deren beide Äste symmetrisch zur x- und zur y-achse liegen. Die Kurve hat die x- und die y-achse als Asymptoten. An der Stelle x = 0 hat die Kurve eine Polstelle. Sie ist dort nicht definiert. vom Typ y = ax 2 bx c Der Graph von y = ax 2 bx c ist eine Parabel, deren Achse parallel zur y-achse ist. 4ac b2 4a. Der Parabelscheitel liegt im Punkt S = b 2a Zusammenhang quadratische Gleichungen vom Typ y = ax 2 bx c Die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen lautet: In Abhängigkeit vom Wert der Diskriminante Lösung: x 1,2 = b 2a ± b2 4ac 2a D = b 2 4ac ergeben sich 2, 1 oder keine

20 D = b 2 4ac 0 2 Lösungen D = b 2 4ac = 0 1 Lösung D = b 2 4ac 0 keine Lösung