Quadratische Funktionen

Transkript

1 Quadratische Funktionen Mag. DI Rainer Sickinger HTL v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 1 / 33

2 Definition Quadratische Funktion Definition (Quadratische Funktion) Sei D R und f : D R mit f (x) = ax 2 + bx + c wobei a 0 und a, b, c R dann ist f eine quadratische Funktion. Definition (Parabel) Den Graphen einer quadratischen Funktion nennt man Parabel. Beispiele für quadratische Funktionen: f (x) = x 2 f (x) = 4x 2 + 2x 3 f (x) = 2x v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 2 / 33

3 Definition Quadratische Funktion Grundparabel f (x) = x 2 v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 3 / 33

4 Definition Quadratische Funktion Eigenschaften der Grundparabel Die Parabel ist nach oben offen geht durch den Koordinatenursprung liegt oberhalb der x-achse (hat nur positive y-werte) ist symmetrisch zur y-achse (y-achse ist Symmetrieachse der Funktion) ist für negative x-werte streng monoton fallend und für positive y-werte streng monoton steigend v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 4 / 33

5 Definition Quadratische Funktion Sei fürs Erste b = 0 wir betrachten also f (x) = ax 2 + c. Wie sieht die Parabel aus wenn wir a und c verändern? T 2, GeoGebra v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 5 / 33

6 Parameter von quadratischen Funktionen Zusammenfassung der Beobachtungen: Sei nun f (x) = ax 2 + c so gilt: a > 0: die Parabel ist nach oben geöffnet. a < 0: die Parabel ist nach unten geöffnet. 1 < a < 1: die Parabel ist gestaucht. a > 1: die Parabel ist gestreckt. c 0: Parabel ist um c an der y-achse verschoben. b = 0: Parabel ist symmetrisch zur y-achse. v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 6 / 33

7 Definition Maximum Definition ((Globales) Maximum) Sei D R und f : D R eine Funktion. x 0 D nennt man ein (globales) Maximum von f wenn für alle x D gilt: f (x 0 ) f (x). GeoGebra v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 7 / 33

8 Definition Minimum Definition ((Globales) Minimum) Sei D R und f : D R eine Funktion. x 0 D nennt man ein (globales) Minimum von f wenn für alle x D gilt: f (x 0 ) f (x). GeoGebra v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 8 / 33

9 Definition Scheitelpunkt einer Parabel Definition (Scheitelpunkt einer Parabel) Sei D R und f : D R eine quadratische Funktion. Weiters sei x 0 D ein Minimum oder Maximum von f. Dann nennt man x 0 den Scheitelpunkt der Parabel. v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 9 / 33

10 Problem Angenommen wir haben eine quadratische Funktion ϕ : R R mit ϕ(x) = 1 3 x 2 2 3x 1 und wir wollen die Nullstellen der Funktion wissen. D.h. wir wollen alle x R berechnen, für die gilt: ϕ(x) = 0. Folglich müssen wir folgende Gleichung lösen: 1 3 x x 1 = 0 v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 10 / 33

11 Lösung I Wir wollen folgende Gleichung lösen: 1 3 x x 1 = 0 Allgemeine Form: a x 2 + b x + c = 0 (Für die Gleichung 1 3 x x 1 = 0 ist a = 1 3, b = 2 3 und c = 1.) v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 11 / 33

12 Lösung II Allgemeine Form: a x 2 + b x + c = 0 Wir lösen das Problem nun allgemein um eine Formel für die Lösung aller quadratischen Gleichungen zu finden. T 1 v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 12 / 33

13 Lösung III Allgemeine Form: a x 2 + b x + c = 0 Lösungen x 1 und x 2 unserer allgemeinen quadratischen Gleichung: x 1,2 = b± 2a (Mitternachtsformel) b 2 4ac T 1 v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 13 / 33

14 Endgültige Lösung unseres Problems Wir lösen nun 1 3 x x 1 = 0 a = 1 3, b = 2 3 und c = 1 In die Mitternachtsformel einsetzen: x 1,2 = ( 2 3 )± ( 2 3 )2 4( 1 3 )( 1) 2( 1 3 ) Mitternachtsformel lösen: x 1,2 = 2 3 ± = 2 3 ± = ± = 1 ± 2 Somit bekommen wir die zwei Lösungen: x 1 = = 3 und x 2 = 1 2 = 1. Folglich ist die Lösungsmenge unserer quadratischen Gleichung: L = { 1, 3}. v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 14 / 33

15 Beispiel Finde die Lösung für folgende quadratische Gleichung: 3x 2 + 5x + 1 = 0 v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 15 / 33

16 Lösung v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 16 / 33

17 Beispiel 1 3x 2 10x + 3 = 0, L = {1/3; 3} 2 5x 2 36x + 55 = 0, L = {11/5; 5} 3 6x x + 6 = 0, L = { 3/2; 2/3} 4 3x 2 2x 8 = 0, L = { 4/3; 2} 5 2x x + 30 = 0, L = { 6; 2, 5} 6 8x 2 85x = 0, L = {5; 5, 625} v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 17 / 33

18 Beispiel Textbeispiele v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 18 / 33

19 Lösungen einer Quadratischen Funktion x 1,2 = b± b 2 4ac 2a Betrachten wir den Term unter der Wurzel D = b 2 4ac Wenn wir dieses D kennen, können wir Aussagen über die Anzahl der Lösungen machen! D > 0: Es gibt 2 verschiedene Lösungen. D == 0: Es gibt 2 gleiche Lösungen x 1 = x 2. D < 0: Es gibt keine Lösungen L = {}. v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 19 / 33

20 Die kleine Mitternachtsformel Allgemeine Form: x 2 + p x + q = 0 Lösungen x 1 und x 2 unserer quadratischen Gleichung: x 1,2 = p 2 ± ( p 2 )2 q (kleine Mitternachtsformel) T 2 v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 20 / 33

21 Wiederholung Definition (Monome) Monome sind eingliedrige Terme. z.b: 4x, 3 4 x 2, 5b 2 a 2, r Definition (Binome) Binome sind zweigliedrige Terme. z.b: 9x + 13, 8y 12y, y + 5r Definition (Polynome) Binome sind mehrgliedrige Terme. z.b: 5x + 14y 2 + a + 5b v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 21 / 33

22 Definiton Polynom etwas abstrakter Definition (Polynom) Seien a 0, a 1, a 2,..., a n R mit a n 0 dann ist ein Polynom. a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + a n x n Definition (Grad eines Polynoms) Sei a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + a n x n ein Polynom dann ist n der Grad des Polynoms. v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 22 / 33

23 Definiton Polynomfunktion Definition (Polynomfunktion) Sei P : R R, weiter sei n 0 dann ist P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + a n x n eine Polynomfunktion wobei a 0, a 1, a 2,..., a n R und a n 0. Definition (Grad einer Polynomfunktion) Sei P(x) eine Polynomfunktion: P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + a n x n dann ist n der Grad der Polynomfunktion. Man schreibt auch Grad P = n oder deg P = n. v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 23 / 33

24 die wir schon kennen des Grades 0 nennen wir konstante Funktionen: P(x) = 4 1 nennen wir lineare Funktionen: P(x) = 3x nennen wir quadratische Funktionen: P(x) = 3x 2 + 5x 3 v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 24 / 33

25 die wir schon kennen Polynomfunktion von Grad 0 v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 25 / 33

26 die wir schon kennen Polynomfunktion von Grad 1 v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 26 / 33

27 die wir schon kennen Polynomfunktion von Grad 2 v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 27 / 33

28 die wir schon kennen Polynomfunktion von Grad 3 v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 28 / 33

29 die wir schon kennen Polynomfunktion von Grad 4 v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 29 / 33

30 Nullstellen von Satz über Nullstellen von Satz (Nullstellen von ) Sei P(x) eine Polynomfunktion dann hat P(x) höchstens Grad P Nullstellen. v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 30 / 33

31 Aus den Nullstellen das Polynom generieren Angenommen man kennt die Nullstellen x 1,..., x n der Polynomfunktion P(x), dann kann man mögliche Funktionsterme von P(x) wie folgt generieren: wobei φ R. P(x) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )... (x x n ) φ v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 31 / 33

32 Üben Übungszettel v 2 Mag. DI Rainer Sickinger Quadratische Funktionen 32 / 33