Mathe - Lernzettel: Nullstellen, Monotonie und Ableitungen

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1 Mathe - Lernzettel: Nullstellen, Monotonie und Ableitungen Leun4m 29. April 2015 Version: 0 Ich kann nicht für Richtigkeit garantieren! Inhaltsverzeichnis 1 Themenübersicht 1 2 Funktionen und Graphen 2 1 Lineare Funktionen (Geraden) Quadratische Funktionen (Parabeln) Verschieben eines Graphen Weitere Funktionen Ableitungen Monotonie Mögliche Aufgaben Bestimmung einer Monotonie Nullstellenberechnung Direktes Auflösen nach x Anwenden pq-formel Substitution Themenübersicht Folgende Themen sind für die Arbeit vorgesehen: Nullstellenberechnung nach x auflösen pq-formel Polynomdivision Horner-Schema Substitution Monotonie 1

2 streng/nicht streng monoton steigend/fallend Funktionsterme aufstellen Ableiten Jeweils auch umgekehrt Von einer Funktion zu deren Ableitungsfunktion Von einem Graphen auf dessen Ableitungsgraphen schließen 2 Funktionen und Graphen 1 Lineare Funktionen (Geraden) Um das Ganze zu verstehen sollte zunächst der Bezug zwischen Funktion und Graph deutlich gemacht werden. Nun, in der 6. / 7. Klasse, wenn das erste Mal Funktionen im Unterricht auftauchen, hat man zunächst Geraden mit dem allgemeinen Term: f(x) = m x + b m steht dabei für den Steigungsfaktor, b steht für den y-achsenabschnitt. Es handelt sich bei Funktionen und den daraus folgenden Graphen immer um Zuordnungen: Einem x-wert wird ein y-wert zugeordnet. 0 Abbildung 1: Einfache lineare Funktionen In Abb. 1 sehen wir die Graphen f(x) = x (die schwarze Gerade), g(x) = 2x (die orange Gerade) und h(x) = 0.5x (die blaue Gerade). f(x) = x kann man auch einfach als y = x sehen und dann wird klar, wenn ich x=5 setze, dann ist auch y=5. Wenn ich x=3,3 setze, ist auch y=3,3. Bei Funktion g, also 2x, muss demzufolge x einfach doppelt genommen werden um auf y zu schließen. Für x=1 erhalten wir also y=2, für x=50 dann y=100. Bei Funktion h (0,5x) ist y dann halt immer die Hälfte von x. Also wenn x=2, dann ist y=1 und wenn x=25, dann ist y=12,5. Ein negativer Wert, also ein Wert unter 0, führt dabei zu einer fallenden Gerade (negative Steigung). Das b in der Funktion ist der sogenannte y-achsenabschnitt, damit lässt sich der Punkt, an dem der Graph die y-achse schneidet mit positiven Werten nach oben und mit negativen Werten nach unten verschieben. Das bedeutet für die Rechnung also, dass ein Wert von dem m x addiert bzw. subtrahiert wird. So haben wir in Abb. 2 bei Funktion g 3 dazu addiert und bei h 2 subtrahiert. 2

3 Abbildung 2: Verschiedene Werte für b 2 Quadratische Funktionen (Parabeln) Es folgte in späteren Jahren eine neue Art von Funktionen um quadratische Zusammenhänge zu verdeutlichen. Zum Beispiel die Höhe und Weite eines Wurfes. Die Grundformel einer quadratischen Funktion lautet: f(x) = ax 2 + bx + c Abbildung 3: Die Normalparabel Die einfachste quadratische Funktion ist somit: f(x) = x 2 (siehe Abb. 3). 3 Verschieben eines Graphen Oft braucht man den Graphen nicht durch den Ursprung, sondern irgendwie anders. Es stellt sich also die Frage: Wie kann ein Graph verschoben werden? Auf der y-achse: Wie bereits bei linearen Funktionen angesprochen kann durch einfaches addieren - um den Graphen nach oben zu schieben - und subtrahieren - um den Graphen nach unten zu verschieben - des gewünschten y-wertes zu der Funktion erreicht werden. Ein Beispiel: Wir haben die Funktion f(x) = x 2 und sollen diese um drei nach oben schieben. Also fügen wir ein +3 an die gegebene Gleichung und erhalten somit: f 2 (x) = x Auf der x-achse: In dem wir zu dem x der Gleichung noch einen Wert addieren bzw. 3

4 subtrahieren. Paradoxerweise wird der Graph bei einer Addition nach links verschoben und bei einer Subtraktion nach rechts. Ein Beispiel: Wir haben nun die Funktion f 2 (x) = x und sollen den Graphen noch um zwei nach links verschieben. Da wir nach links verschieben sollen, müssen wir also zwei zu x addieren: f 3 (x) = (x + 2) Weitere Funktionen In Abb. 4 wird erkennbar, dass alle Funktionsgraphen mit geraden Exponenten einen solchen Bogen - von oben nach unten und wieder nach oben - machen. Mit zunehmender Größe wird der Graph dabei "eckiger". Bei Funktionen mit ungeraden Exponenten hingegen entstehen Graphen von links unten nach recht oben (siehe Abb. 5) und nähert sich ebenfalls, je höher der Exponent, der x-achse an. Insgesamt lässt sich also sagen: Je größer der Exponent, desto mehr nähert sich der Graph an der x-achse. Ein Minus vor den Funktionen lässt die Graphen an der x-achse spiegeln Abbildung 4: Graphen mit geradem Exponenten von x 2 bis x 10 5 Ableitungen Ableitungen von Funktionen beschreiben den Steigungsverlauf dieser Funkktion. Durch Ableitungen wird somit niemals die Position eines 4

5 Abbildung 5: Graphen mit ungeradem Exponenten von x 3 bis x 11 Graphen beschrieben, sondern lediglich dessen Verlauf beschrieben. Allgemein lautet die Form wie folgt: f(x) = x n f (x) = n x n 1 3 Monotonie Wenn ein Intervall einer Funktion (auch ein Intervall, dass sich über die ganze Funktion erstreckt) an allen Punkten des Graphen eine Steigung >=0 hat, dann gilt diese als monoton steigend. Ist die Steigung an allen Punkten des Graphen <=0, gilt diese als monoton fallend. Diese Monotonien gelten dann als streng, wenn sie an keiner Stelle m=0 haben. Steigung an allen Punkten m 0 m > 0 m 0 m < 0 Monotoniebezeichnung monoton steigend streng monoton steigend monoton fallend streng monoton fallend Tabelle 1: Die Monotonie 5

6 Abbildung Mögliche Aufgaben Bestimmung einer Monotonie Ein Graph wird vorgelegt und der Schüler soll einen gegebenen Intervall auf seine Monotonie untersuchen. Eine mögliche Frage wäre z.b.: "Liegt eine Monotonie in Intervall I im Graphen von Abb. 6 [-2;2] vor? Wenn ja welche?" Antwort: Es handelt sich im Intervall I [-2;2] um eine streng monotone Steigung, denn alle Punkte in I haben eine Steigung m > 0. 4 Nullstellenberechnung Die Berechnung von Nullstellen kann auf verschiedenen Weisen erfolgen. Hier sollen noch einmal einige Varianten vorgestellt werden: 4.1 Direktes Auflösen nach x Angenommen, wir haben die Funktion: f(x) = 2x 3. Da wir wissen, dass die y-stelle einer Nullstelle 0 ist, können wir schreiben: 0 = 2x 3 6

7 Abbildung 7: Ein Graph mit drei Nullstellen Nun haben wir eine einfache Gleichung mit einer Variablen, die wir, wenn wir die Lösung nicht gleich sehen, dann nach x auflösen können: 4.2 Anwenden pq-formel 0 = 2x = 2x : 2 1, 5 = x Erfüllt eine Funktion die Form: x 2 +px+q = 0, dann kann die pq-formel angewandt werden: p 2 ± ( p 2 )2 q 4.3 Substitution Wenn eine Funktion die pq-formel nicht direkt erfüllt und zwei Exponenten mit dem Verhältnis 2:1 auftreten, wie beispielsweise bei der Funktion: f(x) = x 4 5x 2, dann kann stattdessen eine neue Variable eingesetzt werden. Wir setzen also x 2 = z und so erhalten wir f(x) = z 2 5z, also eine Funktion die die pq-formel erfüllt. Berechnung: z = 5 2 ± ( 5 2 )2 z = 5 z = 0 Dieses Ergebnis muss jetzt wieder auf x gebracht werden. Das erreichen wir durch das ziehen der Wurzel, denn es gilt ja: x = (z). Wir erhalten somit also: x 1/2 = ± 5 x 3 = 0. Ein zugegeben etwas ungewöhnliches Ergebnis im Hinblick auf drei Nullstellen, aber mit Blick auf den Graphen (Abb. 7) verständlich... 7

8 Fachbegriffe Intervall Ein bestimmter Abschnitt einer Funktion, oft im Zusammenhang mit einem Graphen. Das Intervall [-2;3] meint also der Graph wird vom x-wert -2 bis zum x-wert 3 betrachtet. Nullstellen Nullstellen sind alle x-werte mit dem y-wert 0. Achtung: Nullstellen einer Funktion sind nicht die Stellen, an denen die Steigung 0 ist. Dies sind Nullstellen der Ableitung. 8