Mathematik 9. Quadratische Funktionen

Transkript

1 Mathematik 9

2 Funktionen Eine Zuordnung f, die jedem x einer Menge D (Definitionsmenge) genau ein Element y = f(x) einer Menge Z (Zielmenge) zuordnet, heißt Funktion. Dabei heißt y = f(x) Funktionswert von x. Die Menge aller Funktionswerte heißt Wertemenge.

3 Eine quadratische Funktion (ganzrationale Funktion zweiten Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsvorschrift ein Polynom vom Grad 2 besitzt: f x = ax 2 + bx + c mit a 0. (Normalform) y Der Graph der Funktion ist eine Parabel. Die Abbildung zeigt eine Normalparabel. x

4 Die Scheitelpunktform Der Graph der Funktion f x = x x s 2 + y s ist eine Parabel, die aus der Normalparabel durch Verschiebung um x s längs der x-achse und um y s längs der y-achse entsteht. Der Scheitelpunkt S(x s y s ) dieser Funktion kann dabei direkt abgelesen werden. Beispiele: a) f x = x b) f x = x c) f x = x S(3 4) S( 2 3) S(1 1)

5 Scheitelpunktbestimmung y a) f x = x S 2 0 b) f x = x S 4 2 x c) f x = x S 4 3 d) f x = x S 3 4

6 Formänderung der Normalparabel Gegeben seien die Funktionen f x = x 2, g x = 2 x 2, k x = x 2 und h x = 0,5 x 2. a) Zeichnen Sie mit Hilfe von Wertetabellen die Funktionsgraphen der Funktionen. b) Vergleichen Sie diese mit der Normalparabel. c) Was können Sie über den Einfluss des Parameters a sagen? x f(x) g(x) k(x) h(x)

7 Formänderung der Normalparabel y a) f x = x 2 b) f x = 2 x 2 c) f x = x 2 x d) f x = 0, 5 x 2

8 Formänderung der Normalparabel Der Faktor a bestimmt die Form und die Öffnungsrichtung einer Parabel zur Funktion f x = a x 2. a > 0 Die Parabel ist nach oben geöffnet. a < 0 Die Parabel ist nach unten geöffnet. a = 1 Es liegt eine Normalparabel vor. 0 < a < 1 Die Parabel wird in y-richtung gestaucht. a > 1 Die Parabel wird in y-richtung gestreckt.

9 Scheitelpunktform Normalform Gegeben sei die Funktion f x = x Geben Sie die Funktion in der Normalform an. f x = x Binomische Formeln f x = x 2 6x Terme zusammenfassen f x = x 2 6x + 11

10 Normalform Scheitelpunktform Gegeben sei die Funktion f x = x 2 8x Geben Sie die Funktion in der Scheitelpunktform an. f x = x 2 8x f x = x f x = x S 4 3

11 Scheitelpunktform Normalform Gegeben sei die Funktion f x = 2 x Geben Sie die Funktion in der Normalform an. f x = 2 x Binomische Formeln f x = 2 (x 2 6x + 9) + 4 Ausmultiplizieren f x = 2x 2 12x Terme zusammenfassen f x = 2x 2 12x + 22

12 Die Nullstellen einer quadratischen Funktion Eine Nullstelle ist die x-koordinate des Schnittpunktes des Graphen mit der x-achse. Die Nullstellen einer quadratischen Funktion erhält man, indem man f x = 0 setzt. y Beispiel: f x = x 2 + 5x + 6 G f x 2 + 5x + 6 = 0 x 1,2 = 2,5 ± 2,5 2 6 x 1 = 3 x 2 = 2 x

13 Der Parabelbogen einer Brücke Der Parabelbogen einer Brücke lässt sich durch die Funktionsgleichung beschreiben. f x = 1 8 x2 + 9 a) Berechnen Sie die Höhe der Brücke b) Berechnen Sie die Länge der Brücke. Skizze: y x

14 Parabeln und Geraden Schneidet eine Gerade eine Parabel in zwei Punkten, so heißt sie eine Sekante. Schneidet eine Gerade, die nicht vertikal verläuft, die Parabel in einem Punkt, so nennt man sie eine Tangente. Der Schnittpunkt heißt dann Berührungspunkt. Existiert kein Schnittpunkt, so liegt eine Passante vor.

15 Parabeln und Geraden Gegeben sei die quadratische Funktion f x = x 2 2x + 3. Prüfen Sie welche Lage die Gerade g relativ zum Graphen von f einnimmt. a) g x = x + 3 b) g x = 2x 1 c) g x = 2x 1 Bestimmen Sie den Scheitelpunkt von f und zeichnen Sie alle Graphen in ein Koordinatensystem.

16 Parabeln und Geraden g b y S 2 g c f x = x 2 2x + 3 S 1 2 S 1 B a) g x = x + 3 x b) g x = 2x 1 g a c) g x = 2x 1

17 Trainingsaufgaben für die Klassenarbeit ( )

18 Funktionsgraphen zeichnen Gegeben ist der Scheitelpunkt der Funktion f. Bestimmen Sie die Scheitelpunktform und zeichnen Sie den Funktionsgraphen in einem Koordinatensystem. a) S ( 2 3) b) S (3 0) c) S (1 2) d) S ( 4 2) e) S (0 3) f) S (5 4)

19 Scheitelpunktform Normalform Gegeben ist der Scheitelpunktform der Funktion f. Geben Sie die Funktionsgleichung in der Normalform an. a) f x = x b) f x = x 3 2 c) f x = x d) f x = x e) f x = x 2 3 f) f x = x 5 2 4

20 Formänderung der Normalparabel Gegeben seien die Funktionen f x = 2x 2 4. a) Zeichnen Sie mit Hilfe von Wertetabellen dem Funktionsgraphen der Funktion. x 2 1, , 5 2 f(x) 4 0, ,5 4 b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion.

21 Formänderung der Normalparabel y G f x

22 Scheitelpunkt aus der Normalform ableiten Gegeben ist die Normalform der Funktion f. Geben Sie die den Scheitelpunkt an. a) f x = x 2 2x + 4 b) f x = x 2 + 6x + 3 c) f x = x 2 1 d) f x = x 2 + 2x + 1 e) f x = x 2

23 Wasserfontäne Die Aqua AG möchte eine neue Wasserattraktion installieren. Diese wird durch die Funktionsgleichung f x = 0,2x 2 + 2x beschrieben. a) Bestimmen Sie rechnerisch die Reichweite der Wasserfontäne. b) Berechnen Sie die Höhe der Wasserfontäne. y x

24 Viel Erfolg!