Quadratische Funktion Aufgaben und Lösungen
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- Evagret Scholz
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1 Quadratische Funktion Aufgaben und Lösungen Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Graph und Eigenschaften. y = a x + b x + c Aufgaben Lösungen Aufgaben Lösungen Parabelgleichung aufstellen und umformen 0. Punkte und Formfaktor Aufgaben Lösungen Scheitel und Formfaktor Aufgaben Lösungen Scheitel und Punkt Aufgaben Lösungen Nullstellen - Faktorisierte Form Aufgaben Lösungen Parabel - Gerade 0. Parabel-Gerade Aufgaben Lösungen Parabel - Parabel. Parabel-Parabel Aufgaben Lösungen
2 Graph und Eigenschaften p : y = x p : y = x p : y = x p : y = x p : y = x + p : y = x p : y = (x ) p : y = (x + ) p9 : y = (x + ) Formen der Parabelgleichung Normalparabel y = x Allgemeine Form y = ax + bx + c Scheitelform y = a(x xs) + ys faktorisierte Form y = a(x x )(x x ) a Formfaktor a > 0 nach oben geöffnet a < 0 nach unten geöffnet a > gestreckt a < gestaucht x s y s S(x s /y s ) x, x Verschiebung in x-richtung Verschiebung in y-richtung Scheitelkoordinaten Nullstellen p : y = x S(0/0) Normalparabel nach oben geöffnet p : y = x S(0/0) Normalparabel nach unten geöffnet p : y = x S(0/0) a = gestreckt p : y = x S(0/0) a = gestaucht p : y = x + S(0/) nach oben verschoben p : y = x S(0/ ) nach unten verschoben p : y = (x ) S(/0) nach rechts verschoben p : y = (x + ) S( /0) nach links verschoben p9 : y = (x + ) S( / ) nach links verschoben und nach unten verschoben Definitions- und Wertebreich D = R a > 0 W = [y-wert des Scheitels; [ a < 0 W =] ; y-wert des Scheitels] p : y = x S(0/0) D = R W =] ; 0] p9 : y = (x + ) S( / ) D = R W = [ ; [
3 Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-achse y = ax + bx + c y = 0 ax + bx + c = 0 x / = b ± b a c a Diskriminante: D = b a c D = 0 eine Nullstelle D > 0 zwei Nullstellen D < 0 keine Nullstelle p9 : y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± = ± x = + x = x = x = D > 0 zwei Nullstellen p9 : y = x + x + = (x + )(x + ) p : y = x + = 0 x / = 0 ± 0 x / = 0 ± D < 0 keine Nullstelle p : y = x + x + 9 = 0 x / = ± 9 x / = ± 0 x / = ± 0 x / = D = 0 eine Nullstellen Schnittpunkt mit der y-achse p : y = ax + bx + c x = 0 p : y = a 0 + b 0 + c p(x) = c Q(0/c) p9 : y = x + x + y = y = Q(0/) Allgemeine Form in Scheitelform Allgemeine Form y = ax + bx + c Scheitelform y = a(x xs) + ys Quadratische Ergänzung: y = ax + bx + c y = a(x + b a x) + c y = a(x + b a x + ( b a ) ( b a ) ) + c y = a[(x + b a ) ( b a ) ] + c y = a(x + b a ) a b a + c y = a(x + b a ) b a + c x s = b a y s = c b a Scheitelformel: S(x s /y s ) S( a b b /c a ) p9 : y = x + x + p9 : y = (x + x + ) p9 : y = (x + x + + ) p9 : y = [(x + ) + ] p9 : y = [(x + ) 9 + ] p9 : y = [(x + ) ] p9 : y = (x + ) Scheitel(-/-) Scheitelformel y = x + x + xs = xs = ys = ys = Scheitel( / ) p9 : y = (x + )
4 y = a x + b x + c. y = a x + b x + c.. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben: Koeffizient c Koeffizient b Koeffizient a Variable x Gesucht: Funktionswert y () c = b = 9 a = x = () c = b = a = x = () c = b = a = x = () c = 9 b = 0 9 a = x = () c = b = a = x = () c = b = 9 a = x =
5 y = a x + b x + c.. Lösungen y = a x + b x + c c = b = 9 a = x = y = y = Aufgabe () y = a x + b x + c c = 9 b = 0 9 a = x = y = y = y = a x + b x + c c = b = a = x = y = + + y = Aufgabe () y = a x + b x + c c = b = a = x = y = + + y = 9, 0 Aufgabe () y = a x + b x + c c = b = a = x = y = + + y = Aufgabe () y = a x + b x + c c = b = 9 a = x = y = y =, 99 Aufgabe () Aufgabe ()
6 ... Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:y = ax + bx + c Gesucht: Scheitel und Scheitelform Definitions- und Wertebereich Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-achse Faktorisiere Form Scheitel () y = x () y = x () y = x () y = x () y = 0 x () y = x + () y = x () y = x + x + (9) y = x + x (0) y = x + () y = x () y = x + () y = x () y = x () y = x () y = x + () y = x () y = x x + 9 (9) y = x + x + 9 (0) y = x x + () y = x x () y = x + x () y = x x + () y = x + x + () y = x x () y = x + x () y = x x () y = x x + (9) y = x + x (0) y = x x + () y = x + x () y = x + x () y = x + x + () y = x + x + () y = x + x + () y = x x + () y = x x + () y = x x + (9) y = x + x + (0) y = x x + () y = x x () y = x x () y = x x + () y = x + x () y = x + 9 () y = x + x () y = x + x + () y = x + x + (9) y = x + x (0) y = x + x + () y = x + x () y = x + x () y = x + x + () y = x + x + () y = x + x () y = x + x () y = x + x () y = x + x + (9) y = x + x + (0) y = x + x + () y = x + x + () y = x + x + () y = x + x + () y = x x + () y = x + x + () y = x + x + () y = x + x + () y = x + x (9) y = x + x
7 .. Lösungen Aufgabe () f = x Scheitelberechnung Scheitel(0/0) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [0; [ Funktion y = x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x = 0 Ablesen x = 0 x / = 0 x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x f (x) x ] ; 0[ ]0; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse Aufgabe ()
8 f = x Scheitelberechnung Scheitel(0/0) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; 0] Funktion y = x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x = 0 Ablesen x = 0 / : ( ) x / = 0 x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x f (x) 0 x ] ; 0[ ]0; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe ()
9 f = x Scheitelberechnung Scheitel(0/0) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [0; [ Funktion y = x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x = 0 Ablesen x = 0 / : x / = 0 x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x f (x) x ] ; 0[ ]0; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse Aufgabe () 9
10 f = x 0 Scheitelberechnung Scheitel(0/0) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [0; [ Funktion y = x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x = 0 Ablesen x = 0 / : x / = 0 x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x f (x) x ] ; 0[ ]0; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse Aufgabe () 0
11 f = 0 x Scheitelberechnung Scheitel(0/0) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; 0] Funktion y = 0 x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = 0 x = 0 Ablesen ( ) 0 x = 0 / : 0 x / = 0 x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x f (x) 0 x ] ; 0[ ]0; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe ()
12 f = x + Scheitelberechnung Scheitel(0/) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [; [ Funktion y = x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + = 0 Umformen x + = 0 / x = / : x = keine Lösung x + 0x + = 0 Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse x / = 0 ± 0 x / = 0 ± Diskriminante negativ keine Lösung x + 0x + = 0 x / = 0 ± ( 0 ) x / = 0 ± Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe ()
13 f = x Scheitelberechnung Scheitel(0/( )) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion y = x = (x + )(x ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x = 0 Umformen x = 0 / + x = / : x = x = ± x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x + 0x = 0 x / = 0 ± 0 ( ) x / = 0 ± x / = 0 ± x = 0 + x = 0 x = x = x + 0x = 0 x / = 0 ± ( 0 ) ( ) x / = 0 ± x / = 0 ± x = x = Vorzeichentabelle: x < < x < < x f (x) x ] ; [ ]; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe ()
14 f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x + x + ) y = (x + x + xs = + ) y = [(x + ) xs = + ] y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + 0] y = (x + ) + 0 Scheitel( /0) Scheitelformel y = x + x + ys = ys = 0 Scheitel( /0) y = (x + ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [0; [ Funktion y = x + x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± 0 x / = ± 0 x = + 0 x = 0 x = x = x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x f (x) x + x + = 0 x / = ± ( ) x / = ± 0 x / = ± 0 x = x = x ] ; [ ] ; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse Aufgabe (9)
15 f = x + x Scheitelberechnung y = x + x y = (x + x ) y = (x + x + xs = ) y = [(x + ) xs = ] y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = (x + ) Scheitel( / ) Scheitelformel y = x + x ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion y = x + x = (x + )(x ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = 0 x + x = 0 x / = ± ( ) x / = ± x / = ± x = + x = x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < < x f (x) x + x = 0 x / = ± ( ) ( ) x / = ± x / = ± x = x = x ] ; [ ]; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse
16 f = x + Scheitelberechnung Scheitel(0/) Aufgabe (0) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x + = (x +, )(x, ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + = 0 Umformen x + = 0 / x = / : ( ) x = x = ± x =, x =, x =, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle x + 0x + = 0 x / = 0 ± 0 ( ) ( ) x / = 0 ± 0 ±, x / = 0 +, x = x = x =, x =, 0, x + 0x + = 0 x + 0x = 0 / : x / = 0 ± ( 0 ) ( ) x / = 0 ± x / = 0 ±, x =, x =, Vorzeichentabelle: x <, < x <, < x f (x) x ], ;, [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ;, [ ], ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe ()
17 f = x Scheitelberechnung Scheitel(0/0) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; 0] Funktion y = x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x = 0 Ablesen x = 0 / : ( ) x / = 0 x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x f (x) 0 x ] ; 0[ ]0; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe ()
18 f = x + Scheitelberechnung Scheitel(0/) 0 0 Definitions- und Wertebereich: D = R W = [; [ Funktion y = x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + = 0 Umformen x + = 0 / x = / : x = keine Lösung x + 0x + = 0 Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse x / = 0 ± 0 x / = 0 ± Diskriminante negativ keine Lösung x + 0x + = 0 x / = 0 ± ( 0 ) x / = 0 ± Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe ()
19 f = x Scheitelberechnung Scheitel(0/( )) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ( )] Funktion y = x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x = 0 Umformen x = 0 / + x = / : ( ) x = keine Lösung x + 0x = 0 Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) < 0 unterhalb der x-achse x / = 0 ± 0 ( ) ( ) ( ) x / = 0 ± Diskriminante negativ keine Lösung x + 0x = 0 x + 0x + = 0 x / = 0 ± ( 0 ) / : x / = 0 ± Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe () 9
20 f = x Scheitelberechnung Scheitel(0/0) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [0; [ Funktion y = x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x = 0 Ablesen x = 0 / : x / = 0 x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x f (x) x ] ; 0[ ]0; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse Aufgabe () 0
21 f = x 0 Scheitelberechnung Scheitel(0/0) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; 0] Funktion y = x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x = 0 Ablesen ( ) x = 0 / : x / = 0 x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x f (x) 0 x ] ; 0[ ]0; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe ()
22 f = x + Scheitelberechnung Scheitel(0/) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x + = (x +, )(x, ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + = 0 Umformen x + = 0 / x = / : ( ) x = x = ± x =, x =, x =, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle x + 0x + = 0 x / = 0 ± 0 ( ) ( ) x / = 0 ± 0 ±, x / = 0 +, 0, x = x = x =, x =, x + 0x + = 0 x + 0x = 0 / : x / = 0 ± ( 0 ) ( ) x / = 0 ± x / = 0 ±, x =, x =, Vorzeichentabelle: x <, < x <, < x f (x) x ], ;, [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ;, [ ], ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe ()
23 f = x Scheitelberechnung Scheitel(0/( )) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion y = x = (x +, )(x, ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x = 0 Umformen x = 0 / + x = / : x = x = ± x =, x =, x =, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle x + 0x = 0 x / = 0 ± 0 ( ) x / = 0 ± x / = x = 0 ±, 0 +, x = x =, x =, 0, x + 0x = 0 / : x + 0x = 0 x / = 0 ± ( 0 ) ( ) x / = 0 ± x / = 0 ±, x =, x =, Vorzeichentabelle: x <, < x <, < x f (x) x ] ;, [ ], ; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ], ;, [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe ()
24 f = x x + 9 Scheitelberechnung y = x x + 9 y = (x x + 9) y = (x x + xs = + 9) y = [(x ) xs = + 9] y = [(x ) 9 + 9] y = [(x ) + 0] y = (x ) + 0 Scheitel(/0) Scheitelformel y = x x + 9 ys = 9 ( ) ys = 0 Scheitel(/0) y = (x ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [0; [ Funktion y = x x + 9 Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x + 9 = 0 x x + 9 = 0 x / = + ± x / = + ± 0 x / = ± 0 x = + 0 ( ) 9 x = 0 x = x = x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x f (x) x x + 9 = 0 ( x / = ) ( ) ± 9 x / = ± 0 x / = ± 0 x = x = x ] ; [ ]; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse Aufgabe (9)
25 f = x + x + 9 Scheitelberechnung y = x + x + 9 y = (x + x + 9) y = (x + x + xs = + 9) y = [(x + ) xs = + 9] y = [(x + ) 9 + 9] y = [(x + ) + 0] y = (x + ) + 0 Scheitel( /0) Scheitelformel y = x + x + 9 ys = 9 ys = 0 Scheitel( /0) y = (x + ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [0; [ Funktion y = x + x + 9 Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + 9 = 0 x + x + 9 = 0 x / = ± 9 x / = ± 0 x / = ± 0 x = + 0 x = 0 x = x = x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x f (x) x + x + 9 = 0 x / = ± ( ) 9 x / = ± 0 x / = ± 0 x = x = x ] ; [ ] ; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse Aufgabe (0)
26 f = x x Scheitelberechnung y = x x + y = (x x + ) y = (x x + + ) y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = (x ) + Scheitel( / ) Scheitelformel y = x x + xs = xs = ys = ( ) ys = Scheitel( / ) y = (x ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ; [ Funktion y = x x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x + = 0 x x + = 0 ( ) + ± x x + = 0 x / = x / = + ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung x / = ± Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse ( ) Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe ()
27 f = x x Scheitelberechnung y = x x y = (x + x + ) y = (x + x + + ) y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + 0] y = (x + ) + 0 Scheitel( /0) y = x x y = (x + x) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = (x + ) + y = (x + ) + 0 Scheitel( /0) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; 0] Funktion y = x x Scheitelformel y = x x xs = ( ) xs = ys = ( ) ( ) ys = 0 Scheitel( /0) y = (x + ) + 0 Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x = 0 x x = 0 x / = + ± ( ) ( ) ( ) ( ) x / = + ± 0 x / = ± 0 x = + 0 x = 0 x = x = x = ; -fache Nullstelle x x = 0 x + x + = 0 x / = ± ( ) x / = ± 0 x / = ± 0 x = x = / : Vorzeichentabelle: x < < x f (x) 0 x ] ; [ ] ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe ()
28 f = x + x Scheitelberechnung y = x + x y = (x x + ) y = (x x + + ) y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = [(x ) + 0] y = (x ) + 0 Scheitel(/0) y = x + x y = (x x) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) ] y = (x ) + y = (x ) + 0 Scheitel(/0) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; 0] Funktion y = x + x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = 0 x + x = 0 x / = ± ( ) ( ) ( ) x / = ± 0 x / = ± 0 x = + 0 x = 0 x = x = x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x f (x) x + x = 0 / : x x + = 0 ( x / = ) ( ) ± x / = ± 0 x / = ± 0 x = x = x ] ; [ ]; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Scheitelformel y = x + x xs = ( ) xs = ys = ( ) ys = 0 Scheitel(/0) y = (x ) + 0 Aufgabe ()
29 f = x x + Scheitelberechnung y = x x + y = (x x + ) y = (x x + xs = + ) y = [(x ) xs = + ] y = [(x ) 9 + ] y = [(x ) + ] y = (x ) + Scheitel(/) Scheitelformel y = x x + ys = ( ) ys = Scheitel(/) y = (x ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [; [ Funktion y = x x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x + = 0 x x + = 0 x / = + ± ( ) x x + = 0 ( x / = + ± x / = ) ( ) ± Diskriminante negativ keine Lösung x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse Aufgabe () 9
30 f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x + x + ) y = (x + x + xs = + ) y = [(x + ) xs = + ] y = [(x + ) 9 + ] y = [(x + ) ] y = (x + ) Scheitel( / ) Scheitelformel y = x + x + ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion y = x + x + = (x + )(x + ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± x / = ± x = + x = x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < < x f (x) x + x + = 0 x / = ± ( ) x / = ± x / = ± x = x = x ] ; [ ] ; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse 0
31 f = x x Scheitelberechnung y = x x y = (x + x + ) y = (x + x + + ) y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + ] y = [(x + ) ] y = (x + ) + Scheitel( /) Aufgabe () 0 0 y = x x y = (x + x) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = (x + ) + y = (x + ) + Scheitel( /) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x x = (x +, )(x +, 9) Scheitelformel y = x x xs = ( ) xs = ys = ( ) ( ) ys = Scheitel( /) y = (x + ) + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x = 0 x x = 0 x / = + ± ( ) ( ) ( ) ( ) x / = + ± ±, x / = +,, x = x = x =, x =, 9 x =, ; -fache Nullstelle x =, 9; -fache Nullstelle x x = 0 x + x + = 0 x / = ± ( ) / : x / = ± x / = ±, x =, 9 x =, Vorzeichentabelle: x <, < x <, 9 < x f (x)
32 x ], ;, 9[ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ;, [ ], 9; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse f = x + x Scheitelberechnung y = x + x y = (x x + ) y = (x x + + ) y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = (x ) Scheitel(/ ) Aufgabe () y = x + x y = (x x) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) ] y = (x ) + y = (x ) Scheitel(/ ) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ( )] Funktion y = x + x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = 0 x + x = 0 x / = ± x + x = 0 / : ( ) ( ) x x + = 0 ( ) ( x / = ± x / = ) ( ) ± Diskriminante negativ keine Lösung x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) < 0 unterhalb der x-achse Scheitelformel y = x + x xs = ( ) xs = ys = ( ) ys = Scheitel(/ ) y = (x ) Aufgabe ()
33 f = x x Scheitelberechnung y = x x y = (x + x) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = (x + ) + Scheitel( /) y = x x + 0 xs = ( ) xs = ys = 0 ( ) ( ) ys = Scheitel( /) y = (x + ) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x x = (x + )x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x = 0 x-ausklammern x x = 0 x( x ) = 0 x = 0 / + x = / : ( ) x = x = 0 x = x = ; -fache Nullstelle x = 0; -fache Nullstelle x x + 0 = 0 x / = + ± ( ) ( ) 0 ( ) x / = + ± x / = ± x = + x = x = x = 0 x x + 0 = 0 x + x + 0 = 0 x / = ± ( ) 0 x / = ± x / = ± x = 0 x = / : Vorzeichentabelle: x < < x < 0 < x f (x) x ] ; 0[ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ ]0; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse
34 f = x x + Scheitelberechnung y = x x + y = (x + x 9) y = (x + x + 9) y = [(x + ) 9] y = [(x + ) 9 9] y = [(x + ) ] y = (x + ) + Scheitel( /) Aufgabe () x f (x) 0 y = x x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) 9] + y = (x + ) + + y = (x + ) + Scheitel( /) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x x + = (x +, )(x, ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x + = Scheitelformel y = x x + xs = ( ) xs = ys = ( ) ( ) ys = Scheitel( /) y = (x + ) + x x + = 0 + ± ( ) x / = ( ) x / = + ± ±, x / = +, x = x = ( ), x =, x =, x =, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle x x + = 0 / : x + x 9 = 0 x / = ± ( ) ( 9) x / = ± x / = ±, x =, x =, Vorzeichentabelle:
35 x <, < x <, < x f (x) x ], ;, [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ;, [ ], ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe (9) f = x + x Scheitelberechnung y = x + x y = (x x) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) 9] y = (x ) + Scheitel(/) y = x + x + 0 xs = ( ) xs = ys = 0 ( ) ys = Scheitel(/) y = (x ) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x + x = x(x ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = 0
36 x-ausklammern x + x = 0 x( x + ) = 0 x + = 0 / ) ( x = / : x = x = 0 x = x = 0; x = ; -fache Nullstelle -fache Nullstelle x + x + 0 = 0 ( ± x / = ( ) x / = ± x / = ± x = + x = 0 x = x = ) 0 x + x + 0 = 0 / : x x + 0 = 0 ( x / = ) ( ) ± 0 x / = ± 9 x / = ± x = x = 0 Vorzeichentabelle: x < 0 < x < < x f (x) x ]0; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0[ ]; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe (0) f = x x + Scheitelberechnung y = x x + y = (x x + ) y = (x x + xs = + ) y = [(x ) xs = + ] y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = (x ) + Scheitel(/) Scheitelformel y = x x + ys = ( ) ys = Scheitel(/) y = (x ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [; [
37 Funktion y = x x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x + = 0 x x + = 0 x / = + ± ( ) x x + = 0 ( x / = + ± x / = ) ( ) ± Diskriminante negativ keine Lösung x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse f = x + x Scheitelberechnung y = x + x y = (x x + ) y = (x x + + ) y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = (x ) Scheitel(/ ) Aufgabe () y = x + x y = (x x) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) ] y = (x ) + y = (x ) Scheitel(/ ) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ( )] Funktion y = x + x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = Scheitelformel y = x + x xs = ( ) xs = ys = ( ) ys = Scheitel(/ ) y = (x )
38 x + x = 0 x / = ± ( ) ( ) ( ) x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) < 0 unterhalb der x-achse x + x = 0 / : x x + = 0 ( x / = ) ( ) ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe () f = x + x Scheitelberechnung y = x + x y = x + x + 0 y = (x + x) xs = y = (x + x + ) xs = y = [(x + ) ] ys = 0 y = [(x + ) ] ys = y = (x + ) Scheitel( / ) Scheitel( / ) y = (x + ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion y = x + x = (x + )x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = 0
39 x-ausklammern x + x = 0 x(x + ) = 0 x + = 0 / x = / : x = x = 0 x = x = ; -fache Nullstelle x = 0; -fache Nullstelle x + x + 0 = 0 x / = ± 0 x / = ± x / = ± x = + x = x = 0 x = x + x + 0 = 0 / : x + x + 0 = 0 x / = ± ( ) 0 x / = ± x / = ± x = 0 x = Vorzeichentabelle: x < < x < 0 < x f (x) x ] ; [ ]0; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0[ f (x) < 0 unterhalb der x-achse f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x x 0) y = (x x + 0) y = [(x ) 0] y = [(x ) 0] y = [(x ) ] y = (x ) + Scheitel(/) Aufgabe () 9 0 y = x + x + y = (x x) + y = (x x + ) + y = [(x ) ] + y = [(x ) ] + y = (x ) + + y = (x ) + Scheitel(/) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x + x + = (x +, )(x, ) 0 Scheitelformel y = x + x + xs = ( ) xs = ys = ( ) ys = Scheitel(/) y = (x ) + 9
40 Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 ( ± x / = ( ) x / = ± ±, x / = +, x = x = x =, x =, x =, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle ), x + x + = 0 / : x x 0 = 0 ( x / = ) ( ) ± ( 0) x / = ± x / = ±, x =, x =, Vorzeichentabelle: x <, < x <, < x f (x) x ], ;, [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ;, [ ], ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x x ) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) 9 ] y = [(x ) 9 ] y = (x ) + Scheitel( / ) Aufgabe () x f (x) y = x + x + y = (x x) + y = (x x + ) + y = [(x ) ] + y = [(x ) 9 ] + y = (x ) + + y = (x ) + Scheitel( / ) Scheitelformel y = x + x + xs = ( ) xs = ys = ( ) ys = Scheitel( / ) y = (x ) + 0
41 Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x + x + = (x + 0, )(x, ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± ( ) ( ) x / = ± ±, x / = +, x = x = x = 0, x =,, x = 0, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle x + x + = 0 / : x x = 0 ( ) x / = ± x / = ± 9 x / = ±, x =, x = 0, ( ) Vorzeichentabelle: x < 0, < x <, < x f (x) x ] 0, ;, [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0, [ ], ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe () f = x + x + Scheitelberechnung
42 y = x + x + y = (x x ) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) 9 ] y = [(x ) ] y = (x ) + Scheitel(/) y = x + x + y = (x x) + y = (x x + ) + y = [(x ) ] + y = [(x ) 9] + y = (x ) + + y = (x ) + Scheitel(/) Scheitelformel y = x + x + xs = ( ) xs = ys = ( ) ys = Scheitel(/) y = (x ) + Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x + x + = (x +, 9)(x, 9) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 ( ± x / = ( ) x / = ± 0 ±, x / = +, x = x = x =, 9 x =, 9 x =, 9; -fache Nullstelle x =, 9; -fache Nullstelle ), x + x + = 0 / : x x = 0 ( x / = ) ( ) ± ( ) x / = ± x / = ±, 9 x =, 9 x =, 9 Vorzeichentabelle: x <, 9 < x <, 9 < x f (x) x ], 9;, 9[ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ;, 9[ ], 9; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe ()
43 f = x x + Scheitelberechnung y = x x + y = (x x + ) y = (x x + + ) y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = [(x ) ] y = (x ) Scheitel(/ ) y = x x + y = (x x) + y = (x x + ) + y = [(x ) ] + y = [(x ) ] + y = (x ) + y = (x ) Scheitel(/ ) Scheitelformel y = x x + xs = xs = ys = ( ) ys = Scheitel(/ ) y = (x ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion y = x x + = (x )(x ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x + = 0 x x + = 0 x / = + ± ( ) x / = + ± x / = ± x = + x = x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < < x f (x) x x + = 0 / : x x + = 0 ( x / = ) ( ) ± x / = ± x / = ± x = x = x ] ; [ ]; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse
44 x ]; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse f = x x + Scheitelberechnung y = x x + y = (x + x ) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = (x + ) + Scheitel( / ) Aufgabe () y = x x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) ] + y = (x + ) + + y = (x + ) + Scheitel( / ) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x x + = (x + )(x ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x + = 0 x x + = 0 x / = + ± ( ) ( ) ( ) x / = + ± 9 x / = ± x = + x = x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x x + = 0 x + x = / : x / = ± ( ) ( ) x / = ± x / = ± x = x = Scheitelformel y = x x + xs = ( ) xs = ys = ( ) ( ) ys = Scheitel( / ) y = (x + ) +
45 x < < x < < x f (x) x ] ; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ ]; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse f = x x + Scheitelberechnung y = x x + y = (x + x ) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = (x + ) + Scheitel( /) Aufgabe () 0 0 y = x x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) ] + y = (x + ) + + y = (x + ) + Scheitel( /) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x x + = (x + )(x ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x + = 0 x x + = 0 x / = + ± ( ) ( ) ( ) x / = + ± x / = ± x = + x = x = x = x x + = 0 x + x = / : x / = ± ( ) ( ) x / = ± x / = ± x = x = Scheitelformel y = x x + xs = ( ) xs = ys = ( ) ( ) ys = Scheitel( /) y = (x + ) +
46 x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < < x f (x) x ] ; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ ]; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe (9) f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x + x + ) y = (x + x + + ) y = [(x + ) + ] y = [(x + ) 9 + ] y = [(x + ) ] y = (x + ) Scheitel( / ) y = x + x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) 9] + y = (x + ) + y = (x + ) Scheitel( / ) Scheitelformel y = x + x + xs = xs = ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion y = x + x + = (x + )(x + ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0
47 x + x + = 0 x / = ± x / = ± x / = ± x = + x = x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x + x + = 0 / : x + x + = 0 x / = ± ( ) x / = ± x / = ± x = x = Vorzeichentabelle: x < < x < < x f (x) x ] ; [ ] ; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse f = x x + Scheitelberechnung y = x x + y = (x x + ) y = (x x + + ) y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = (x ) + Scheitel( / ) Aufgabe (0) y = x x + y = (x x) + y = (x x + ) + y = [(x ) ] + y = [(x ) ] + y = (x ) + y = (x ) + Scheitel( / ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ; [ Funktion 0 0 Scheitelformel y = x x + xs = xs = ys = ( ) ys = Scheitel( / ) y = (x ) +
48 y = x x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x + = 0 x x + = 0 x / = + ± ( ) x x + = 0 / : x x + = 0 ( ( ) x / = + ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse x / = ± x / = ± ) Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe () f = x x 00 0 Scheitelberechnung y = x x y = (x x ) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) ] y = [(x ) ] y = (x ) Scheitel( / ) y = x x y = (x x) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) ] y = (x ) y = (x ) Scheitel( / ) Scheitelformel y = x x xs = xs = ys = ( ) ys = Scheitel( / ) y = (x ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion y = x x = (x + 0, )(x, ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x = 0
49 x x = 0 ( x / = + ± ) ( ) x / = + ± 9 x / = ±, 0 +, 0, 0 x = x = x =, x = 0, x = 0, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle x x = 0 / : x x = 0 ( ) x / = ± ( ) x / = ± x / = ±, 0 x =, x = 0, Vorzeichentabelle: x < 0, < x <, < x f (x) x ] ; 0, [ ], ; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] 0, ;, [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe () f = x x Scheitelberechnung y = x x y = (x x ) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) ] y = [(x ) ] y = (x ) Scheitel( / ) y = x x y = (x x) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) ] y = (x ) y = (x ) Scheitel( / ) Scheitelformel y = x x xs = xs = ys = ( ) ys = Scheitel( / ) y = (x ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ 9
50 Funktion y = x x = (x + 0, )(x, ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x = 0 x x = 0 x / = + ± ( ) ( ) x / = + ± ±, x / = +,, x = x = x =, x = 0, x = 0, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle x x = 0 / : x x = 0 ( ) x / = ± x / = ± x / = ± 0, 90 x =, x = 0, ( ) Vorzeichentabelle: x < 0, < x <, < x f (x) x ] ; 0, [ ], ; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] 0, ;, [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe () f = x x + Scheitelberechnung
51 y = x x + y = (x x + ) y = (x x + + ) y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = (x ) + Scheitel( / ) y = x x + y = (x x) + y = (x x + ) + y = [(x ) ] + y = [(x ) ] + y = (x ) + y = (x ) + Scheitel( / ) Scheitelformel y = x x + xs = xs = ys = ( ) ys = Scheitel( / ) y = (x ) + Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ; [ Funktion y = x x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x + = 0 x x + = 0 x / = + ± ( ) x / = + ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse x x + = 0 / : x x + = 0 ( ) x / = ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe () f = x + x Scheitelberechnung
52 y = x + x y = (x x + ) y = (x x + + ) y = [(x ) + ] y = [(x ) + ] y = [(x ) + 0] y = (x ) + 0 Scheitel(/0) y = x + x y = (x x) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) ] y = (x ) + y = (x ) + 0 Scheitel(/0) Scheitelformel y = x + x xs = ( ) xs = ys = ( ) ys = 0 Scheitel(/0) y = (x ) + 0 Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; 0] Funktion y = x + x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = 0 x + x = 0 x / = ± ( ) ( ) ( ) x / = ± 0 x / = ± 0 x = + 0 x = 0 x = x = x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x f (x) 0 x + x = 0 / : x x + = 0 ( x / = ) ( ) ± x / = ± 0 x / = ± 0 x = x = x ] ; [ ]; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe () f = x + 9 Scheitelberechnung
53 Scheitel(0/9) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; 9] Funktion y = x + 9 = (x + )(x ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + 9 = 0 Umformen x + 9 = 0 / 9 x = 9 / : ( ) x = 9 x = ± 9 x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle x + 0x + 9 = 0 x / = 0 ± 0 ( ) 9 ( ) x / = 0 ± x / = 0 ± x = 0 + x = 0 x = x = x + 0x + 9 = 0 x + 0x 9 = 0 / : x / = 0 ± ( 0 ) ( 9) x / = 0 ± 9 x / = 0 ± x = x = Vorzeichentabelle: x < < x < < x f (x) x ] ; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ ]; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe () f = x + x Scheitelberechnung
54 y = x + x y = (x x + ) y = (x x + + ) y = [(x ) + ] y = [(x ) 9 + ] y = [(x ) ] y = (x ) + Scheitel(/) y = x + x y = (x x) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) 9] y = (x ) + y = (x ) + Scheitel(/) Scheitelformel y = x + x xs = ( ) xs = ys = ( ) ys = Scheitel(/) y = (x ) + Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x + x = (x )(x ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = 0 x + x = 0 x / = ± ( ) ( ) ( ) x / = ± x / = ± x = + x = x = x = x = ; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < < x f (x) x ]; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ ]; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse x + x = 0 / : x x + = 0 ( x / = ) ( ) ± x / = ± x / = ± x = x = Aufgabe ()
55 f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x x ) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) 9 ] y = [(x ) ] y = (x ) + Scheitel(/) y = x + x + y = (x x) + y = (x x + ) + y = [(x ) ] + y = [(x ) 9] + y = (x ) + + y = (x ) + Scheitel(/) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x + x + = (x +, 9)(x, 9) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 0 Scheitelformel y = x + x + xs = ( ) xs = ys = ( ) ys = Scheitel(/) y = (x ) + x + x + = 0 ( ± x / = ( ) x / = ± 0 ±, x / = +, x = x = x =, 9 x =, 9 x =, 9; -fache Nullstelle x =, 9; -fache Nullstelle ), x + x + = 0 / : x x = 0 ( x / = ) ( ) ± ( ) x / = ± x / = ±, 9 x =, 9 x =, 9 Vorzeichentabelle: x <, 9 < x <, 9 < x f (x)
56 x ], 9;, 9[ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ;, 9[ ], 9; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe () f = x x + x Scheitelberechnung y = x + x + y = y = (x x 9 ) x + x + y = (x x) + y = (x x + ) + y = [(x ) ] + y = (x x + 9 ) y = [(x ) 9 ] y = [(x ) 9 9 ] y = [(x ) ] y = (x ) + Scheitel( /) y = [(x ) 9 ] + y = (x ) + + y = (x ) + Scheitel( /) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x + x + = (x + 0, )(x, ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 ( ± x / = ( ) x / = ± ±, x / = +, x = x = x = 0, x =, ), f (x) x + x + = 0 / : x x 9 = 0 ( ) x / = ( ± ) 9 x / = ± x / = ± 0, x =, x = 0, Scheitelformel y = x + x + xs = ( ) xs = ys = ( ) ys = Scheitel( /) y = (x ) +
57 x = 0, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0, < x <, < x f (x) x ] 0, ;, [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0, [ ], ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe (9) f = x + x Scheitelberechnung y = x + x y = (x + x) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) 9 ] y = (x + ) Scheitel( / ) 9 00 y = x + x + 0 xs = xs = ys = 0 ys = Scheitel( / ) y = (x + ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion y = x + x = (x + )x Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = 0
58 x-ausklammern x + x = 0 x(x + ) = 0 x + = 0 / x = / : x = x = 0 x = x = ; -fache Nullstelle x = 0; -fache Nullstelle x + x + 0 = 0 x / = ± 0 x / = ± x / = ± x = + x = 0 x = x = x + x + 0 = 0 / : x + x + 0 = 0 x / = ) ( ± 0 x / = ± 9 x / = ± x = 0 x = Vorzeichentabelle: x < < x < 0 < x f (x) x ] ; [ ]0; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0[ f (x) < 0 unterhalb der x-achse f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x + x + ) y = (x + x + + ) y = [(x + ) + ] y = [(x + ) 9 + ] y = [(x + ) + 9 ] y = (x + ) + Scheitel( / ) Aufgabe (0) y = x + x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) 9 ] + y = (x + ) + y = (x + ) + Scheitel( / ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ; [ Funktion Scheitelformel y = x + x + xs = xs = ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) +
59 y = x + x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse x + x + = 0 / : x + x + = 0 x / = ) ( ± x / = ± 9 Diskriminante negativ keine Lösung f = x + x Scheitelberechnung y = x + x y = (x + x ) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) 9 ] y = [(x + ) 9 ] y = (x + ) Scheitel( / ) Aufgabe () y = x + x y = (x + x) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) 9 ] y = (x + ) y = (x + ) Scheitel( / ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion y = x + x = (x +, )(x 0, 9) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = Scheitelformel y = x + x xs = xs = ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) 9
60 x + x = 0 x / = ± ( ) x / = ± ± 9, x / = + 9, 9, x = x = x = 0, 9 x =, x =, ; x = 0, 9; -fache Nullstelle -fache Nullstelle x + x = 0 / : x + x = 0 x / = ) ( ± ( ) x / = ± 9 x / = ±, x = 0, 9 x =, Vorzeichentabelle: x <, < x < 0, 9 < x f (x) x ] ;, [ ]0, 9; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ], ; 0, 9[ f (x) < 0 unterhalb der x-achse f = x + x Scheitelberechnung y = x + x y = (x + x ) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) 9 ] y = [(x + ) 9 ] y = (x + ) Scheitel( / ) Aufgabe () y = x + x y = (x + x) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) 9 ] y = (x + ) y = (x + ) Scheitel( / ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion Scheitelformel y = x + x xs = xs = ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) 0
61 y = x + x = (x +, )(x 0, 9) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = 0 x + x = 0 x / = ± ( ) x / = ± ± 9, x / = + 9, 9, x = x = x = 0, 9 x =, x =, ; x = 0, 9; -fache Nullstelle -fache Nullstelle x + x = 0 / : x + x = 0 x / = ) ( ± ( ) x / = ± 9 x / = ±, x = 0, 9 x =, Vorzeichentabelle: x <, < x < 0, 9 < x f (x) x ] ;, [ ]0, 9; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ], ; 0, 9[ f (x) < 0 unterhalb der x-achse f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x + x + ) y = (x + x + + ) y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + ] y = (x + ) + Scheitel( /) Aufgabe () 0 y = x + x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) ] + y = (x + ) + y = (x + ) + Scheitel( /) 0 0 Scheitelformel y = x + x + xs = xs = ys = ys = Scheitel( /) y = (x + ) +
62 Definitions- und Wertebereich: D = R W = [; [ Funktion y = x + x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse x + x + = 0 / : x + x + = 0 x / = ± ( ) x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x + x + ) y = (x + x + + ) y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + ] y = (x + ) + Scheitel( / ) Aufgabe () y = x + x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) ] + y = (x + ) + y = (x + ) + Scheitel( / ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ; [ Funktion y = x + x Scheitelformel y = x + x + xs = xs = ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) +
63 Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse x + x + = 0 / : x + x + = 0 x / = ) ( ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung f = x + x Scheitelberechnung y = x + x y = (x + x ) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = (x + ) Scheitel( / ) Aufgabe () 0 0 y = x + x y = (x + x) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = (x + ) y = (x + ) Scheitel( / ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion y = x + x = (x +, )(x 0, 0) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = Scheitelformel y = x + x xs = xs = ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + )
64 x + x = 0 x / = ± ( ) x / = ± 9 ± 9, x / = + 9, 9, x = x = x = 0, 0 x =, x =, ; x = 0, 0; -fache Nullstelle -fache Nullstelle x + x = 0 / : x + x = 0 x / = ) ( ± ( ) x / = ± x / = ±, x = 0, 0 x =, Vorzeichentabelle: x <, < x < 0, 0 < x f (x) x ] ;, [ ]0, 0; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ], ; 0, 0[ f (x) < 0 unterhalb der x-achse f = x + x Scheitelberechnung y = x + x y = (x + x ) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = (x + ) Scheitel( / ) Aufgabe () 0 y = x + x y = (x + x) y = (x + x + ) y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = (x + ) y = (x + ) Scheitel( / ) Scheitelformel y = x + x xs = xs = ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [ Funktion y = x + x = (x +, )(x 0, )
65 Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = 0 x + x = 0 x / = ± ( ) x / = ± ±, 9 x / = +, 9, 9 x = x = x = 0, x =, x =, ; -fache Nullstelle x = 0, ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x <, < x < 0, < x f (x) x + x = 0 / : x + x = 0 x / = ± ( ) ( ) x / = ± x / = ±, x = 0, x =, x ] ;, [ ]0, ; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ], ; 0, [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe () f = x + x Scheitelberechnung y = x + x y = (x + x ) y = (x + x + xs = ) y = [(x + ) xs = ] y = [(x + ) ] y = [(x + ) ] y = (x + ) Scheitel( / ) Scheitelformel y = x + x ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [( ); [
66 Funktion y = x + x = (x +, )(x, ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x = 0 x + x = 0 x / = ± ( ) x / = ± 0 ±, x / = +,, x = x = x =, x =, x =, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x <, < x <, < x f (x) x + x = 0 x / = ± ( ) ( ) x / = ± x / = ±, x =, x =, x ] ;, [ ], ; [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x ], ;, [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe () f = x + x + Scheitelberechnung
67 y = x + x + y = (x + x + ) y = (x + x + + ) y = [(x + ) + ] y = [(x + ) 9 + ] y = [(x + ) + 9 ] y = (x + ) + Scheitel( / ) y = x + x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) 9 ] + y = (x + ) + y = (x + ) + Scheitel( / ) Scheitelformel y = x + x + xs = xs = ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) + Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ; [ Funktion y = x + x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse x + x + = 0 / : x + x + = 0 x / = ) ( ± x / = ± 9 Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe (9) f = x + x + Scheitelberechnung
68 y = x + x + y = (x + x + ) y = (x + x + + ) y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + ] y = (x + ) + Scheitel( / ) y = x + x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) ] + y = (x + ) + y = (x + ) + Scheitel( / ) Scheitelformel y = x + x + xs = xs = ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) + Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ; [ Funktion y = x + x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse x + x + = 0 / : x + x + = 0 x / = ) ( ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe (0) f = x + x + Scheitelberechnung
69 y = x + x + y = (x + x + ) y = (x + x + + ) y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + ] y = (x + ) + Scheitel( /) y = x + x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) ] + y = (x + ) + y = (x + ) + Scheitel( /) Scheitelformel y = x + x + xs = xs = ys = ys = Scheitel( /) y = (x + ) + Definitions- und Wertebereich: D = R W = [; [ Funktion y = x + x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse x + x + = 0 / : x + x + = 0 ( x / = ) ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe () f = x + x + Scheitelberechnung
70 y = x + x + y = (x x ) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) ] y = [(x ) ] y = (x ) + Scheitel(/) y = x + x + y = (x x) + y = (x x + ) + y = [(x ) ] + y = [(x ) ] + y = (x ) + + y = (x ) + Scheitel(/) Scheitelformel y = x + x + xs = ( ) xs = ys = ( ) ys = Scheitel(/) y = (x ) + Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x + x + = (x + 0, )(x, ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± ( ) ( ) x / = ± ±, x / = +, x = x = x = 0, x =, x = 0, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle, Vorzeichentabelle: x < 0, < x <, < x f (x) x ] 0, ;, [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse x + x + = 0 / : x x = 0 ( x / = ) ( ) ( ± ) x / = ± x / = ±, x =, x = 0, x ] ; 0, [ ], ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe () 0
71 f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x x ) y = (x x + ) y = [(x ) ] y = [(x ) 9 ] y = [(x ) 9 ] y = (x ) + Scheitel( / ) x f (x) y = x + x + y = (x x) + y = (x x + ) + y = [(x ) ] + y = [(x ) 9 ] + y = (x ) + + y = (x ) + Scheitel( / ) Definitions- und Wertebereich: D = R W =] ; ] Funktion y = x + x + = (x + 0, )(x, ) Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = Scheitelformel y = x + x + xs = ( ) xs = ys = ( ) ys = Scheitel( / ) y = (x ) + x + x + = 0 x / = ± ( ) ( ) x / = ± ±, x / = +, x = x = x = 0, x =,, x = 0, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle x + x + = 0 / : x x = 0 ( ) x / = ± x / = ± 9 x / = ±, x =, x = 0, ( ) Vorzeichentabelle: x < 0, < x <, < x f (x) x ] 0, ;, [ f (x) > 0 oberhalb der x-achse
72 x ] ; 0, [ ], ; [ f (x) < 0 unterhalb der x-achse Aufgabe () f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x + x + ) y = (x + x + + ) y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + ] y = [(x + ) + ] y = (x + ) + Scheitel( /) y = x + x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) ] + y = (x + ) + y = (x + ) + Scheitel( /) Scheitelformel y = x + x + xs = xs = ys = ys = Scheitel( /) y = (x + ) + Definitions- und Wertebereich: D = R W = [; [ Funktion y = x + x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse x + x + = 0 / : x + x + = 0 x / = ± ( ) x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Aufgabe ()
73 f = x x + Scheitelberechnung y = x x + y = (x x + ) y = (x x + + ) y = [(x ) + ] y = [(x ) 9 + ] y = [(x ) + ] y = (x ) + Scheitel(/) y = x x + y = (x x) + y = (x x + ) + y = [(x ) ] + y = [(x ) 9] + y = (x ) + y = (x ) + Scheitel(/) 0 Scheitelformel y = x x + xs = xs = ys = ( ) ys = Scheitel(/) y = (x ) + Definitions- und Wertebereich: D = R W = [; [ Funktion y = x x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x x + = 0 x x + = 0 x x + = 0 / : x / = + ± ( ) x x + = 0 ( x / = + ± x / = ) ( ) ± Diskriminante negativ keine Lösung x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse Aufgabe ()
74 f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x + x + ) y = (x + x + + ) y = [(x + ) + ] y = [(x + ) 9 + ] y = [(x + ) + ] y = (x + ) + Scheitel( / ) y = x + x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) 9 ] + y = (x + ) + y = (x + ) + Scheitel( / ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ; [ Funktion y = x + x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse Scheitelformel y = x + x + xs = xs = x + x + = 0 / : x + x + = 0 x / = ) ( ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) + Aufgabe ()
75 f = x + x + Scheitelberechnung y = x + x + y = (x + x + ) y = (x + x + + ) y = [(x + ) + ] y = [(x + ) 9 + ] y = [(x + ) + ] y = (x + ) + Scheitel( / ) y = x + x + y = (x + x) + y = (x + x + ) + y = [(x + ) ] + y = [(x + ) 9 ] + y = (x + ) + y = (x + ) + Scheitel( / ) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ; [ Funktion y = x + x + Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: y = x + x + = 0 x + x + = 0 x / = ± x / = ± 0 0 Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f (x) > 0 oberhalb der x-achse Scheitelformel y = x + x + xs = xs = x + x + = 0 / : x + x + = 0 x / = ) ( ± x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung ys = ys = Scheitel( / ) y = (x + ) + Aufgabe ()
Lineare Funktion Aufgaben und Lösungen
Lineare Funktion Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. November 0 Inhaltsverzeichnis Ursprungsgerade. y = m x...................................................... Aufgaben.................................................
Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen
Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben...................................................
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Gleichungen Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. Januar 3 Inhaltsverzeichnis Lineare Gleichung. a x + b = c....................................................... Aufgaben....................................................
Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und Lösungen
Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 7. September 0 Inhaltsverzeichnis Gebrochenrationale Funktion Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad
Leitprogramm Funktionen
3. Quadratische Funktionen (Zeit 10 Lektionen) Lernziel: Grundform y = ax + bx + c und Scheitelform y = a(x + m) + n der Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen kennen. Bedeutung der Parameter a,
x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1 2. Die Quadratfunktion ist für x 0 streng monoton fallend und für x 0 streng monoton steigend.
Quadratische Funktionen ================================================================= 1. Die Normalparabel Die Funktion f : x y = x 2, D = R, heißt Quadratfunktion. Ihr Graph heißt Normalparabel. Wertetabelle
3 Lineare und quadratische Funktionen
3 Lineare und quadratische Funktionen 31 Lineare Funktion Eine Funktion der Art f : mx + t, sind reelle Zahlen) x D heißt lineare Funktion (m und t Man kann die Funktionsgleichung auf zwei verschiedene
Wertetabelle : x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1. y = f(x) = x 2 0 0,25 1 4 9 16 0,25 1. Graph der Funktion :
Quadratische Funktionen ================================================================= 1. Die Normalparabel Die Funktion f : x y = x, D = R, heißt Quadratfunktion. Wertetabelle : x 0 0,5 1 3 4 0,5 1
Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1
Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1 Spezielle quadratische Funktion Die Funktionsgleichung einer speziellen quadratischen Funktion hat die Form y = 3 x 2. Der dazugehörige Graph heißt Parabel. Bei einer
1 Analysis Kurvendiskussion
1 Analysis Kurvendiskussion 1.1 Allgemeingültige Betrachtungen Die folgenden aufgezeigten Betrachtungen und Rechenschritte gelten für alle Arten von Funktionen. Funktion (z.b. Polynom n-ten Grades) Schreibweise
f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1
III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare
4.2. Quadratische Funktionen
Definition: Normalform der Parabelgleichung.. Quadratische Funktionen Eine Funktion mit der Gleichung f() = a + b + c mit a R* und b,c R heißt quadratische Funktion oder ganzrationale Funktion. Grades
f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5
11. Lineare Funktionen Übungsaufgaben: 11.1 Zeichne jeweils den Graphen der zugehörigen Geraden a. y = 0,5x 0,25 b. y = 0,1x + 2 c. y = 2x 2 d. 2x + 4y 5 = 0 e. y = x f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y =
Funktionsgleichung in ABC-Form Funktionsgleichung in Scheitelform Funktionsgleichung in Nullstellenform. y 2 x 2x 3 2 ausklammern. Binom.
Parabel zeichnen Parabel zeichnen Schritt für Schrittanleitungen unter www.fraengg.ch Klasse, GeoGebra) Funktionsgleichung in ABC-Form Funktionsgleichung in Scheitelform Funktionsgleichung in Nullstellenform
Einfache quadratische Funktionen und Gleichungen. x y Wertetabelle. y-achse
Einfache quadratische Funktionen und Gleichungen Eine quadratische Funktion hat allgemein die Funktion: y = ax 2 + bx + c Dabei gilt: a, b und c R und a 0 Der Graph, der hierbei entsteht ist eine Parabel.
Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mi SG26 D Gruppe A NAME: c) Überprüfen Sie das Ergebnis von a) mit dem Wurzelsatz von Vieta.
R. Brinkmann Seite 8..03 Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mi 6..06 SG6 D Gruppe A NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner. Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen.. Lösen
Nullstellen. Somit ergibt sich x = 4 oder x = -4, da das Quadrat beider Zahlen 16 ergibt. Man schreibt
Nullstellen Aufgabe 1 Gegeben ist die folgende quadratische Funktion: Bestimme die Nullstellen. f( x) x² 3 x² 3 : x² 16 16 x² 16 Somit ergibt sich x = 4 oder x = -4, da das Quadrat beider Zahlen 16 ergibt.
Quadratische Funktionen Die Normalparabel
Quadratische Funktionen Die Normalparabel Kreuze die Punkte an, die auf der Normalparabel liegen. A ( 9) B ( ) C ( 9) D ( ) E (9 ) F (0 0) Die Punkte A bis J sollen auf der Normalparabel liegen. Gib, falls
y x oder y 3x. Nenne eine Gleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt im Ursprung hat und nach oben geöffnet ist.
Parabeln Magische Wand Parabeln Magische Wand 10.1 10. 10.3 10.4 10.5 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 30.1 30. 30.3 30.4 30.5 50.1 50. 50.3 50.4 50.5 70.1 70. 70.3 70.4 70.5 100.1 100. 100.3 100.4 100.5 10.1 10.1 10.1
Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner. 17. Oktober Technische Universität München. Die abc-formel. W. Kinzner. Problemstellung.
Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner Technische Universität München 17. Oktober 2013 1 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2 2 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2 3 2 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2
Aufgabe Welche Bedingungen müssen für die Koeffizienten der Funktion f(x) = x 2 + a 1 x + a 0 erfüllt sein, damit f(x) keine Nullstellen besitzt?
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.0 Lösungen Parabeln aus gegebenen Bedingungen I en: A A A A Welche Bedingungen müssen für die Koeffizienten der Funktion f() = + a + a 0 erfüllt sein, damit
+ 2. Bruchgleichungen
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