Lizenziert für: Seite 8 Aufgabe 3 Exercise-ID Ex

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1 : Funktionen und ihre Graphen Im Kapitel Funktionen und ihre Graphen lernst du, verschiedene Eigenschaften einer Funktion zu bestimmen. Mit den ausführlichen Lösungswegen von MatheScout siehst du, wie sich Nullstellen berechnen lassen, das Verhalten gegen Unendlich bestimmt wird, wie man vom Term einer Funktion auf den dazugehörenden Graphen schlieÿt und vieles mehr. Der Markenname Lambacher Schweizer ist rechtlich geschützt und wird ausschlieÿlich im Zusammenhang mit den Lösungswegen verwendet. Seite Aufgabe 3 ExerciseID Ex a) Für die Funktionen f(x) = 1 x und g(x) = 1 x soll die gegebene Wertetabelle ergänzt werden. Um die Tabelle zu ergänzen, werden nach und nach die angegebenen xwerte in die Funktionen f(x) = 1 x und g(x) = 1 eingesetzt und die Ergebnisse in die Tabelle eingetragen. x Einsetzen der xwerte in f(x) = 1 x f( 3) = 1 3 = f( ) = 1 = 1 = 0.5 f( 1) = f( 1 ) = 1 f( 1 ) = = 1 1 f(1) = 1 1 = 1 f() = 1 = 0.5 = 1 1 f(3) = = 1 = = 1 1 = 1 = 1

2 Einsetzen der xwerte in g(x) = 1 x g( 3) = 1 ( 3) 1 9 = 0.11 g( ) = 1 ( ) = 1 = 0.5 g( 1) = 1 ( 1) = 1 1 = 1 g( 1 ) = 1 ( 1 = 1 ) 1 = 1 1 = 1 = g( 1 ) = 1 ( 1 = 1 ) 1 = 1 1 = 1 = g(1) = 1 1 = 1 1 = 1 g() = 1 = 1 = 0.5 g(3) = 1 3 = Damit sieht die Wertetabelle für f(x) wie folgt aus: x f(x) Damit sieht die Wertetabelle für g(x) wie folgt aus: x g(x) b) Es soll ein Koordinatensystem erstellt und der Graph der Funktion f(x) = 1 sowie der Graph der x Funktion g(x) = 1 eingezeichnet werden. x Mit den in Teilaufgabe a) berechneten Werten lassen sich die beiden Graphen zeichnen. Dazu werden jeweils die errechneten Punkte in ein Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden. Für die Funktion f(x) = 1 x lauten die ermittelten Punkte P 1( ), P ( 1 ), P 3( 1 1), P ( 1 ), P 5( 1 ), P 6(1 1), P 7 ( 1 ) und P (3 1 3 ). Für die Funktion g(x) = 1 lauten die ermittelten Punkte Q x 1 ( 3 1), Q 9 ( 1), Q 3( 1 1), Q ( 1 ), Q 5 ( 1 ), Q 6(1 1), Q 7 ( 1) und Q (3 1). 9 3

3 f(x) g(x) Es fällt leichter, die Punkte ins Koordinatensystem einzuzeichnen, wenn man sich die Bruchterme in Dezimalform notiert, siehe Teilaufgabe a) y x 3

4 Seite Aufgabe 6 ExerciseID Ex a) Für die Funktion f(x) = 0.1x 3 sollen die Funktionswerte f( ) und f() berechnet werden. Um f( ) zu berechnen, wird x = in die Funktion f(x) = 0.1x 3 eingesetzt und ausgerechnet: f( ) = 0.1 ( ) 3 f( ) = 0.1 f( ) = 0. Um f() zu berechnen, wird x = in die Funktion f(x) = 0.1x 3 eingesetzt und ausgerechnet: f() = 0.1 () 3 f() = 0.1 f() = 0. b) Es soll ermittelt werden, für welchen xwert f(x) = 100 gilt. Um zu berechnen, für welchen xwert f(x) = 100 gilt, wird die Funktion f(x) gleich 100 gesetzt und nach x aufgelöst: 0.1x 3 = x 3 = x = 10 Für x = 10 gilt f(x) = 100.

5 c) Es soll geprüft werden, ob die folgenden Aussagen (1) und () wahr oder falsch sind. 1. Die erste Aussage lautet, dass es kein x mit f(x) = 5 gibt. Um das zu überprüfen, wird die Funktion gleich 5 gesetzt und nach x aufgelöst 0.1x 3 = x 3 = 50 3 x = 3 50 x 3.6 Damit ist die Aussage (1) falsch. Denn für x = 3 50 gilt f(x) = 50.. Die zweite Aussage lautet, dass f( 7) + f(7) = 0 ist. Dazu wird der linke Teil der Gleichung berechnet. Ergibt dieser 0 so ist die Aussage wahr. Für jedes andere Ergebnis gilt, dass die Aussage falsch ist. f( 7) + f(7) =? 0.1 ( 7) (7) 3 =? 0.1 ( 33) =? = 0 Damit ist die Aussage () wahr. 5

6 Seite 9 Aufgabe 17 ExerciseID Ex a) Es sollen f(6), f(7) und f() für die Funktion f(n) bestimmt werden. f(n) ordnet n die kleinste Primzahl zu, die gröÿer als n ist. f(6) : Es wird die nach 6 folgende Primzahl gesucht. Da es sich dabei um 7 handelt, gilt: f(6) = 7 f(7) : Es wird die nach 7 folgende Primzahl gesucht. Da es sich dabei um 11 handelt, gilt: f(7) = 11 f(0) : Es wird die nach 0 folgende Primzahl gesucht. Da es sich dabei um 3 handelt, gilt: f(0) = 3 Darstellung der Primzahlen bis 100 (rot markiert) b) Es soll geprüft werden, ob die Aussage wahr ist. Die Aussage wird geprüft, indem nach einem Gegenbeispiel gesucht wird, das die Aussage widerlegt. Die Aussage ist falsch, da z.b. für n = 7 gilt: f(n) = f(7) = 11. Gleichzeitig gilt für f(n + 3) = f(7 + 3) = f(10) = 11. Damit ist f(n) = f(n + 3) und die Aussage somit widerlegt. 6

7 Seite 1 Aufgabe 5 ExerciseID Ex a) Es sollen die Graphen der Funktionen f(x) = x, g(x) = x + 1, h(x) = x 3 und i(x) = x + in ein gemeinsames Koordinatensystem gezeichnet werden. Den Graphen der Funktion f(x) = x erhält man durch das Einsetzen vereinzelter Werte wie zum Beispiel f(0) = 0, f(1) = 1, f() = und f(9) = 3. Den Graphen der Funktion g(x) = x + 1 erhält man durch das Verschieben der Funktion f(x) um +1 in yrichtung. Den Graphen der Funktion h(x) = x 3 erhält man durch das Verschieben der Funktion f(x) um +3 in xrichtung. Den Graphen der Funktion i(x) = x + erhält man durch das Verschieben der Funktion f(x) um in xrichtung. f(x) g(x) h(x) i(x) y x 7

8 b) Es sollen die Graphen der Funktionen f(x) = x, g(x) = 1.5 x, h(x) = 1.5 x und i(x) = 1 x in ein gemeinsames Koordinatensystem gezeichnet werden. Den Graphen der Funktion f(x) = x erhält man durch das Einsetzen vereinzelter Werte wie zum Beispiel f(0) = 0, f(1) = 1, f() = und f(9) = 3. Den Graphen der Funktion g(x) = 1.5 x erhält man durch das Strecken der Funktion f(x) mit dem Faktor 1.5. Man erhält die Funktionswerte g(0) = 0, f(1) = 1.5, f() = 3 und f(9) =.5. Den Graphen der Funktion h(x) = 1.5 x erhält man durch das Spiegeln der Funktion g(x) an der xachse, da der negative Streckfaktor eine Spiegelung an der xachse bewirkt. Den Graphen der Funktion i(x) = 1 x erhält man durch das Strecken der Funktion f(x) mit dem Faktor 1. Man erhält die Funktionswerte i(0) = 0, i(1) = 0.5, i() = 1 und i(9) = 1.5. f(x) g(x) h(x) i(x) y x

9 Seite Aufgabe 1 ExerciseID Ex a) Es sollen die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x) = x 5x + 6 berechnet werden. f(x) = 1 x + 5 x + 6 = 0 a = 1 b = 5 c = 6 a b x 1, = b ± b a c a x 1, = ( 5) ± ( 5) x 1, = 5 ± x 1, = 5 ± 5 6 x 1, = 5 ± 5 x 1, = 5 ± 1 x 1, = 5 ± 1 x 1 = = 6 = 3 x = 5 1 = = Es existieren somit die Nullstellen: x 1 = 3 x = c 9

10 b) Es sollen die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x) = x x 3 berechnet werden. f(x) = x + x + 3 = 0 a = b = c = 3 a x 1, = b ± b a c a b x 1, = ( ) ± ( ) ( 3) x 1, = ± 16 ( 3) x 1, = ± 16 ( 1) x 1, = ± 16 ( ) x 1, = ± 6 x 1, = ± x 1 = + = 1 = 3 = 1.5 x = = = 1 = 0.5 Es existieren somit die Nullstellen: x 1 = 1.5 x = 0.5 c 10

11 c) Es sollen die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x) = x 3x berechnet werden. f(x) = 1 x + 3 x + = 0 a = 1 b = 3 c = a x 1, = b ± b a c a b x 1, = ( 3) ± ( 3) 1 ( ) 1 x 1, = 3 ± 9 1 ( ) x 1, = 3 ± 9 ( ) x 1, = 3 ± 9 ( 16) x 1, = 3 ± 5 x 1, = 3 ± 5 x 1 = = = x = 3 5 = = 1 Es existieren somit die Nullstellen: x 1 = x = 1 c 11

12 d) Es sollen die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x) = x 5 berechnet werden. f(x) = x + 0 x + 5 = 0 a = b = 0 c = 5 = 6.5 a b x 1, = b ± b a c a 0 ± 0 ( 5) x 1, = 0 ± 0 ( 5) x 1, = x 1, = 0 ± 0 ( 5) x 1, = 0 ± 0 ( 100) x 1, = 0 ± 100 x 1, = 0 ± 10 x 1 = = 10 = 5 = 1.5 x = 0 10 = 10 = 5 = 1.5 Es existieren somit die Nullstellen: x 1 = 1.5 x = 1.5 c 1

13 e) Es sollen die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x) = x 1 5 x f(x) = 1 x + 1 x + 1 = 0 a = 1 b = = 0. c = 1 = a b x 1, = b ± b a c a x 1, = 1 ± ± x 1, = 1 ± x 1, = 1 ± x 1, = x 1, = 1 ± 0 5 c berechnet werden. Da der Wert unter der Wurzel (Diskriminante) gleich Null ist, existiert nur eine Lösung der quadratischen Gleichung: x 1 = 0. = 1 10 = 0.1 Es existiert somit die Nullstelle: x 1 =

14 f) Es sollen die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x) = x f(x) = 1 x + 0 x + 1 = 0 a = 1 b = 0 c = = a x 1, = b ± b a c a 0 ± x 1, = 1 0 ± x 1, = 0 ± x 1, = 0 ± 0 9 x 1, = x 1, = 0 ± 0. b c berechnet werden. Da der Wert unter der Wurzel (Diskriminante) kleiner Null ist, existiert keine Lösung der quadratischen Gleichung. Es existiert somit keine Nullstelle. 1

15 Seite 5 Aufgabe ExerciseID Ex a) Es sollen die Schnittpunkte der Graphen f(x) und h(x) mit f(x) = x und g(x) = x + berechnet werden. Zum Berechnen der Schnittpunkte der Funktionen f(x) und g(x) werden die Funktionen f(x) und g(x) gleich gesetzt: f(x) = g(x) x = x + Es werden alle Summanden auf die linke Seite gebracht, sodass auf der rechten Seite Null steht und anschlieÿend nach den Exponenten sortiert: x ( x + ) = 0 x + x = 0 x = x + ( x + ) x = 0 Die Aufgabe besteht nun darin, die Nullstellen der Gleichung x = 0 zu berechnen. Dazu kann die Gleichung x = 0 nach x aufgelöst werden: x = 0 + x = x = x = ± x 1 = 1.1 x = 1.1 Die xwerte der Schnittpunkte lauten somit: x 1 = x = Um die ywerte und somit die vollständigen Koordinaten der Schnittpunkte angeben zu können, müssen die xwerte x 1 und x in eine der Funktionen f(x) oder g(x) (egal welche) eingesetzt werden: y 1 = f(x 1 ) = ( ) = y = f(x ) = ( ) = Die Schnittpunkte der Graphen f(x) und g(x) lauten somit S 1 ( ) und S ( ). Zur Veranschaulichung werden die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) gezeichnet, um die berechneten Schnittpunkte überprüfen zu können. 15

16 f(x) g(x) Bei der Wahl der Funktion, in die die xwerte eingesetzt werden, ist es sinnvoll, wenn man die einfachere von beiden verwendet (hier f(x)). So spart man sich Rechenarbeit, dies kann vor allen in einer Klassenarbeit von Bedeutung sein! y x 16

17 b) Es sollen die Schnittpunkte der Graphen f(x) und g(x) mit f(x) = x 3 und g(x) = x x berechnet werden. Zum Berechnen der Schnittpunkte der Funktionen f(x) und g(x) werden die Funktionen f(x) und g(x) gleich gesetzt: f(x) = g(x) x 3 = x x Es werden alle Summanden auf die linke Seite gebracht, sodass auf der rechten Seite Null steht und anschlieÿend nach den Exponenten sortiert: x 3 (x x) = 0 x 3 x + x = 0 x 3 = x x (x x) Die Aufgabe besteht nun darin die Nullstellen der Gleichung x 3 x + x = 0 zu berechnen. Jeder Summand der Gleichung x 3 x + x = 0 besitzt die Variable x, somit ist das Ausklammern von x möglich: x 3 x + x x( x x + ) Es ist zu erkennen, dass das Ausklammern der Variable x zu einem Produkt führt, dessen Faktor x eine Nullstelle bei x 1 = 0 erzeugt (Satz vom Nullprodukt). Somit muss nur noch der weitere Faktor x x + auf Nullstellen untersucht werden. f(x) = 1 x + x + = 0 a = 1 b = c = a b x 1, = b ± b a c a x 1, = ( ) ± ( ) ( 1) ( 1) x 1, = ± ( 1) ( ) c x 1, = ± ( ) x 1, = ± ( 3) x 1, = ± 36 x 1, = ± 6 x 1 = + 6 = = x = 6 = = 17

18 Die xwerte der Schnittpunkte lauten somit: x 1 = 0 x = x 3 = Um die ywerte und somit die vollständigen Koordinaten der Schnittpunkte angeben zu können, müssen die xwerte x 1, x und x 3 in einer der Funktionen f(x) oder g(x) (egal welche) eingesetzt werden: y 1 = f(x 1 ) = (x 1 ) 3 = (0) 3 = 0 y = f(x ) = (x ) 3 = ( ) 3 = 6 y 3 = f(x 3 ) = (x 3 ) 3 = () 3 = Die Schnittpunkte der Graphen f(x) und g(x) lauten somit S 1 (0 0), S ( 6) und S 3 ( ). Zur Veranschaulichung werden die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) gezeichnet, um die berechneten Schnittpunkte überprüfen zu können. f(x) g(x) Bei der Wahl der Funktion, in die die xwerte eingesetzt werden, ist es sinnvoll, wenn man die einfachere von beiden verwendet (hier f(x)). So spart man sich Rechenarbeit, dies kann vor allen in einer Klassenarbeit von Bedeutung sein! y x 1

19 c) Es sollen die Schnittpunkte der Graphen f(x) und g(x) mit f(x) = 3 und g(x) = x x berechnet werden. Zum Berechnen der Schnittpunkte der Funktionen f(x) und g(x) werden die Funktionen f(x) und g(x) gleich gesetzt: f(x) = g(x) 3 = x x Es werden alle Summanden auf die linke Seite gebracht, sodass auf der rechten Seite Null steht und anschlieÿend nach den Exponenten sortiert: 3 (x x ) = 0 x + x 3 = 0 3 = x x (x x ) Die Aufgabe besteht nun darin, die Nullstellen der Gleichung x + x 3 = 0 zu berechnen. Es sollen die Nullstellen der biquadratischen Gleichung f(x) = 0 berechnet werden. Da es sich um eine biquadratische Gleichung handelt, ist zunächst eine Subsitution notwendig, sodass im Anschluss die gewöhnliche Mitternachtsformel zur Nullstellenberechnung verwendet werden kann. f(x) = 1 x + x + 3 = 0 a = 1 b = c = 3 a b c Durch Substitution von x = z und x = z ergibt sich: f(z) = 1 z + z + 3 = 0 a = 1 b = c = 3 a b z 1, = b ± b a c a z 1, = ± ( 1) ( 3) ( 1) z 1, = ± 16 ( 1) ( 3) ( ) z 1, = ± 16 3 z 1, = ± 16 1 z 1, = ± z 1, = ± z 1 = + = = 1 z = = 6 = 3 c 19

20 Durch Rücksubstitution x 1, = ± z 1 und x 3, = ± z erhält man: x 1 = z 1 = 1 = 1 x = z 1 = 1 = 1 x 3 = z = 3 = x = z = 3 = Die xwerte der Schnittpunkte lauten somit: x 1 = 1 x = 1 x 3 = 3 x = 3 Um die ywerte und somit die vollständigen Koordinaten der Schnittpunkte angeben zu können, müssen die xwerte x 1, x, x 3 und x in eine der Funktionen f(x) oder g(x) (egal welche) eingesetzt werden: y 1 = f(x 1 ) = 3 y = f(x ) = 3 y 3 = f(x 3 ) = 3 y = f(x ) = 3 Die Schnittpunkte der Graphen f(x) und g(x) lauten somit S 1 (1 3), S ( 1 3), S 3 ( 3 3) und S ( 3 3). Zur Veranschaulichung werden die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) gezeichnet, um die berechneten Schnittpunkte überprüfen zu können. f(x) g(x) y x Bei der Wahl der Funktion, in die die xwerte eingesetzt werden, ist es sinnvoll, wenn man die einfachere von beiden verwendet (hier f(x)). So spart man sich Rechenarbeit, dies kann vor allen in einer Klassenarbeit von Bedeutung sein! 0