R. Brinkmann Seite Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di SG10 D Gruppe A NAME: Lösungen
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- Gerda Raske
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1 R. Brinkmann Seite 8..0 Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di.06. SG0 D Gruppe A NAME: Lösungen Hilfsmittel: Taschenrechner Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen.. A Wissensfragen a) Was wissen Sie im Allgemeinen über die Symmetrie ganzrationaler Funktionen? Was bedeutet das speziell für die nachfolgende Funktion? 5 = x x + x Wodurch wird im Allgemeinen der Verlauf einer ganzrationalen Funktion bestimmt? Was bedeutet das speziell für die nachfolgende Funktion? = x + x x+ c) Was wissen Sie im Allgemeinen über die Anzahl der Nullstellen ganzrationaler Funktionen? Was bedeutet das speziell für die nachfolgende Funktion? f x = x x + x en a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn alle Exponenten in der Funktionsgleichung gerade sind. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn alle Exponenten in der Funktionsgleichung ungerade sind. 5 f(x) = x x + x Punktsymmetrie, da alle Exponenten ungerade sind Der Verlauf einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt, also durch a n x n. f(x) = x + x x + n = (gerade) an = > 0 II I c) Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle. = x x + x hat mindestens eine und höchstens Nullstellen.. ( x 5x 5x + 6 ) : ( x 7) Führen Sie die Polynomdivision durch. A ( x x ) x 5x 5x + 6 : x 7 = x + 6x 9 6x 5x ( 6x x) 9x + 6 ( 9x 6) + Erstellt von R. Brinkmann sg0d_0 ka_0_e : Seite von 8
2 R. Brinkmann Seite A A. Berechnen Sie mit einem Ihnen geeignetem Verfahren die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen und stellen Sie die Funktionsgleichung als Produkt aus Linearfaktoren dar. a) = x 6x + 9x 75 = x + x 6 a) = x 6x + 9x f ( x) = 0 x 6x + 9x = 0 den Faktor x ausklammern x x 6x + 9 = 0 x = 0 x 6x + 9 = 0 quadratische Gleichung p p = 6 ; q = 9 D = q = 9 9 = 0 Darstellung als Produkt von Linearfaktoren: = ( )( ) = ( ) f x x x x x x 75 = 0 = x + x 6 = 0 75 Substitution: x = z z + z 6 = 0 z 5z + = 0 Normalform der quadratischen Gleichung p p = 5;q= D = q= = D = = 5 7 z = + = = 6 p z / = ± D z = = = 9 z = 6;z = 9 x = ± ;x = ± / / f x x x x x = ( )( + )( )( + ) Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion lautet: = x + x 9x+ Der Graph verläuft durch die Punkte P ; P 0 ; P 6 ; P 8 a) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte. Berechnen Sie die Funktionswerte für folgende x- Werte: x 0;;;5;7 { } und tragen Sie alle bekannten Werte in eine Wertetabelle ein. c) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. Tiefpunkt: P Hochpunkt: P 6 Erstellt von R. Brinkmann sg0d_0 ka_0_e : Seite von 8
3 R. Brinkmann Seite 8..0 A A f 0 = P 0 a) / y P 0 x = ist Nullstelle. Horner-Schema mit x = 9 x = 8 0 = f( ) x = Restpolynom: x + x = 0 ( ) x 8x + = 0 p p = 8;q= D = q 6 = = D = x x = + 7,6 Px + 7,6 0 p = ± D x = 0,5 P 0,5 0 PTP P PHP P Px Px x ,6 0,5 f x,5,75 0,75, x = = f =,5 9 x = 7 7 x () 9 9 = f =,75 9 x = = f 5 =,75 9 x = = f 7 =,5 Erstellt von R. Brinkmann sg0d_0 ka_0_e : Seite von 8
4 R. Brinkmann Seite 8..0 A c) 5 Y xx, Erstellt von R. Brinkmann sg0d_0 ka_0_e : Seite von 8
5 R. Brinkmann Seite Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di.06. SG0 D Gruppe B NAME: Lösungen Hilfsmittel: Taschenrechner Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen.. A Wissensfragen a) Was wissen Sie im Allgemeinen über die Symmetrie ganzrationaler Funktionen? Was bedeutet das speziell für die nachfolgende Funktion? = x + x Wodurch wird im Allgemeinen der Verlauf einer ganzrationalen Funktion bestimmt? Was bedeutet das speziell für die nachfolgende Funktion? = x + x + c) Was wissen Sie im Allgemeinen über die Anzahl der Nullstellen ganzrationaler Funktionen? Was bedeutet das speziell für die nachfolgende Funktion? f x = x + x en a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn alle Exponenten in der Funktionsgleichung gerade sind. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn alle Exponenten in der Funktionsgleichung ungerade sind. f(x) = x + x Achsensymmetrie, da alle Exponenten gerade sind Der Verlauf einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt, also durch a n x n. f(x) = x + x + n = (ungerade) an = < 0 II IV c) Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle. = x + x hat höchstens Nullstellen.. ( x 5x 5x + 6 ) : ( x ) Führen Sie die Polynomdivision durch. A ( x x ) x 5x 5x + 6 : x = x x 6 x 5x ( x x) + 6x + 6 ( 6x 6) + Erstellt von R. Brinkmann sg0d_0 ka_0_e : Seite 5 von 8
6 R. Brinkmann Seite A Berechnen Sie mit einem Ihnen geeignetem Verfahren die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen und stellen Sie die Funktionsgleichung als Produkt aus Linearfaktoren dar. a) f ( x) = x + x + 8x = x x + 8 a) f ( x) = x + x + 8x f ( x) = 0 x + x + 8x = 0 den Faktor x ausklammern x x + x + 8 = 0 x = 0 x + x + 8 = 0 : quadratische Gleichung Normalform der quadratischen Gleichung x x = 0 p 9 9 p = ; q = D == q D = + = = = x = + = p x/ = ± D x = = Darstellung als Produkt von Linearfaktoren: f x x x x = ( )( + ) A = 0 = x x + 8 = 0 Substitution: x = z z x + 8 = 0 z z + 6 = 0 Normalform der quadratischen Gleichung p p = ;q= 6 D = q= = D = = 5 8 z = + = = 9 p z/ = ± D 5 8 z = = = z = 9;z = x =± ;x =± / / f x x x x x = ( )( + )( )( + ) Erstellt von R. Brinkmann sg0d_0 ka_0_e : Seite 6 von 8
7 R. Brinkmann Seite Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion lautet: = x x + 9x Der Graph verläuft durch die Punkte P ; P 0 ; P 6 ; P 8 a) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte. Berechnen Sie die Funktionswerte für folgende x- Werte: x 0;;;5;7 { } und tragen Sie alle bekannten Werte in eine Wertetabelle ein. c) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. Hochpunkt: P Tiefpunkt: P 6 A f 0 = P 0 a) / y P 0 x = ist Nullstelle. Horner-Schema mit x = 9 x = 8 0 = f x = Restpolynom: x x + = 0 x 8x + = 0 p p = 8;q= D = q= 6 = D = x = + ( + ) = 0,5 Px ( 0,5 0) x 7,6 Px 7,6 0 p = ± D x Erstellt von R. Brinkmann sg0d_0 ka_0_e : Seite 7 von 8
8 R. Brinkmann Seite A A PHP P PTP P Px Px x ,6 0,5 f x,5,75 0,75, x = 5 () 5 9 = f=,5 9 x = = f =,75 9 x = = f 5 =,75 9 x = = f( 7) =,5 c) 5 Y xx, Erstellt von R. Brinkmann sg0d_0 ka_0_e : Seite 8 von 8
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