Impressum. Autor: Torsten Möller Augustastraße Flensburg. 1. Auflage. c Umschlaggestaltung: Torsten Möller

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2 Impressum Autor: Torsten Möller Augustastraße Flensburg 1. Auflage c 2018 Umschlaggestaltung: Torsten Möller Illustrationen: Torsten Möller Das Werk, einschließlich seiner Teile, ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Autors unzulässig. Dies gilt insbesondere für die elektronische oder sonstige Vervielfältigung, Übersetzung, Verbreitung und öffentliche Zugänglichmachung. 2

3 Inhaltsverzeichnis I Aufgaben: Wasserbecken 3 II Lösungen 6 1 Becken Funktionswerte ablesen momentane Änderungsrate Tangente Verschiebung Funktionsgleichungen Becken Maximum Notwendige Bedingung Hinreichende Bedingung Funktionswerte Randuntersuchung Abnahme des Wasservolumens Anfangsvolumen Becken Funktionenschar Ableitung III Aufgaben: Deichtherme 18 IV Lösungen 21 4 ganzrationale Funktion durchnittliche Steigung Tangentensteigung Funktionsgleichung aufstellen (Steckbriefaufgabe) Abstand Pfeiler permanentes Gefälle Wendepunkt

4 5 e-funktion Skizze Sicherheitsbestimmungen Summenterm Integral

5 Teil I Aufgaben: Wasserbecken Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f, die für 0 t 15 das Volumen des Wassers in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und f(t) das Volumen in Kubikmetern. f(t) f t Abbildung 1: Wasservolumen 3

6 1. Geben Sie mithilfe der Grafik das Volumen des Wassers 5 Stunden nach Beobachtungsbeginn an sowie den Zeitraum, in dem das Volumen mindestens 350 Kubikmeter beträgt. Bestimmen Sie mithilfe der Grafik die momentane Änderungsrate des Wasservolumens 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn. Die 15 Stunden nach Beobachtungsbeginn vorliegende momentane Änderungsrate des Wasservolumens bleibt bis zu dem Zeitpunkt erhalten, zu dem das Becken kein Wasser mehr enthält. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man diesen Zeitpunkt grafisch bestimmen kann. Interpretieren Sie die Gleichung f(t + 6) = f(t) 350 im Sachzusammenhang. Begründen Sie, dass die Funktionsgleichung von f weder die Form I noch die Form II hat: I y = 8.5t t 2 + at + 100, a R II y = 0.3t 4 + bt , b R (16 P) 2. Für ein anderes Becken wird die momentane Änderungsrate des Volumens des enthaltenen Wassers für 0 t 15 durch die Funktion g mit g(t) = 0.4 (2t 3 39t t) beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und g(t) die momentane Änderungsrate in m3. Die Funktion G h mit G(t) = 0.2 (t 4 26t t 2 ) ist eine Stammfunktion von g. Berechnen Sie für den beschriebenen Zeitraum denjenigen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Wasservolumens maximal ist. Ermitteln Sie rechnerisch den Zeitraum, in dem das Volumen des Wassers abnimmt. 4

7 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind im Becken 350 Kubikmeter Wasser enthalten. Bestimmen Sie das Volumen des Wassers zu Beobachtungsbeginn. Untersuchen Sie rechnerisch, ob es nach Beobachtungsbeginn einen Zeitpunkt gibt, zu dem das Wasservolumen ebenso groß ist wie zu Beobachtungsbeginn. (17 P) 3. Bei einem 3. Becken kann die momentane Änderungsrate des Wasservolumens durch ein Ventil reguliert werden. Die Änderungsrate wird je nach Einstellung des Ventils durch eine Funktion h k mit h k (t) = 10k e kt, k > 0 beschrieben werden. Zur Zeit t = 0 befinden sich 3m 3 Wasser in dem Becken. Ermitteln Sie, für welche Parameter k sich nach 2 Stunden genau 8m 3 Wasser in dem Becken befinde. Geben Sie den Term der 103. Ableitung von h k an. (7 P) 5

8 Teil II Lösungen 1 Becken Funktionswerte ablesen Nach der Abbildung (alles sind ungefähre Werte) f(t) f t Abbildung 2: Wasservolumen befinden sich nach 5 Stunden 470 m 3 Wasser im Becken. Zwischen 0.8 und 6.4 6

9 Stunden sind mehr als 350 m 3 Wasser im Becken. Das macht einen Zeitraum von = 5.6 h= 5 h 36 min 1.2 momentane Änderungsrate Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente (siehe Abbildung) an der Stelle t=2. f(t) 600 T angente f 100 t Abbildung 3: momentane Änderungsrate 7

10 Die Steigung berechnen wir mit m = f(t 2) f(t 1 ) t 2 t 1 bei den Punkten P 1 ( ) und P 2 (3 630). Also ist f(t) P P Abbildung 4: Tangentensteigung t m = = = 86 Zur Zeit t = 2 nimmt das Volumen des Wassers mit 86 m3 h zu. 8

11 1.3 Tangente Wenn die Änderungsrate ab t = 15 konstant bleibt bedeutet das ja, dass der weitere Verlauf tangential zu dem Punkt ( 15 f(15) ) ist. f(t) t Abbildung 5: Tangente Wir zeichnen also bei t = 15 eine Tangente an den Graphen. Dort wo diese die x-achse schneidet, in der Abbildun bei t = 18.1, wäre der Zeitpunkt, an dem das Becken leer ist. 9

12 1.4 Verschiebung f(t + 6) bedeutet, dass dieses Wasservolumen 6 Stunden später vorhanden sein soll. f(t+6) = f(t) 350 heißt dann, dass 6 Stunden später 350m 3 weniger Wassers als zum derzeitigen Zeitpunkt im Becken ist. f(t) m 3 350m Stunden 6Stunden t Abbildung 6: Verschiebung Wie hier zu sehen ist, gibt es dafür 2 mögliche t-werte. 10

13 1.5 Funktionsgleichungen Form I ist nicht möglich, da wir 2 Hochpunkte und einen Tiefpunkt haben und damit eine Funktionsgleichung von mindestens 4. Grades haben müssen. Form II ist auch nicht möglich, da dieses eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades aufgrund der geraden Exponenten über den t s ist. Dann müsste die Funktion aber um die y-achse gespiegelt sein und somit 6 Extrempunkte plus einen Extrempunkt auf der y-achse haben. Eine Funktion 4. Grades kann aber höchsten 3 Extrempunkte haben. 2 Becken Maximum Notwendige Bedingung notw. Bed.: g (t) = 0 mit g(t) = 0.4 (2t 3 39t t) = 0.8t t t lautet g (t) = 2.4t t = 2.4t t + 72 : 2.4 auflösen mit der PQ-Formel 0 = t 2 13t + 30 t 1,2 = p 2 ± ( p 2) 2 q t 1,2 = 13 2 ± t 1,2 = 6.5 ± 3.5 t 1 = 10 t 2 = 3 ( )

14 2.1.2 Hinreichende Bedingung hinr. Bed.: g (t) = 0 g (t) = 4.8t 31.2 g (10) = = 16.8 > 0 g (3) = = 16.8 > 0 = T iefpunkt = Hochpunkt Funktionswerte g(10) = 0.4 ( ) = 40 T (10 40) g(3) = 0.4 ( ) = 97.2 H(3 97.2) Randuntersuchung Es bleibt noch zu prüfen, ob es höhere Punkte als den Hochpunkt gibt, was an den Rändern möglich wäre. g(0) = 0.4 ( ) = 0 R 1 (0 0) g(15) = 0.4 ( ) = 270 R 2 (15 270) Die maximale Änderungsrate wäre bei t = 15 mit 270 m3 h. 12

15 2.2 Abnahme des Wasservolumens Die Abnahme des Wasservolumens bedeutet ja, dass die Änderungsrate negativ sein muss. Wir müssen also untersuchen, wo die Nullstellen liegen. f(t) t Abbildung 7: Abnahme des Wasservolumens Mit dem Hochpunkt bei t=3 und dem Tiefpunkt bei t=10 können wir sehen, dass ab dem Hochpunkt die Zunahme des Wasservolumens immer geringer wird bis sie bei der Nullstelle in eine Abnahme des Wasservolumens umschlägt. Die Abnahme ist quasi der Bereich zwischen den Nullstellen, wo auch der Tiefpunkt liegt. g(t) = 0 0 = 0.4 (2t 3 39t t) : = 2t 3 39t t Ausklammern von t 0 = t (2t 2 39t + 180) Fallunterscheidung des Nullprodukts 1. Fall: t 1 = 0 2. Fall: 0 = 2t 2 39t = t t + 90 PQ-Formel t 2,3 = p 2 ± ( p 2) 2 q t 2,3 = ± ( )

16 t 2,3 = 9.75 ± 2.25 t 2 = 12 t 3 = 7.5 In der Zeit von 7.5 bis 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn, also 4.5 Stunden lang, nimmt das Volumen des Wassers ab. 2.3 Anfangsvolumen Eine Stammfunktion der Funktion g(t) lautet G(t) = 0.2 (t 4 26t t 2 ) = 0.2t 4 5.2t t 2 Für das Volumen des Wassers benötigen wir die Stammfunktion, die durch den Punkt (0 C) verläuft, wobei C das Volumen des Wassers zu Beobachtungsbeginn angibt. Wir nehmen also die Stammfunktion G(t) = 0.2 (t 4 26t t 2 ) = 0.2t 4 5.2t t 2 + C, Für das Volumen nach 3 Stunden gilt C R G(3) = C 350 = C = C Zu Beobachtungsbeginn befinden sich 150.2m 3 Wasser im Becken. Einen weiteren Zeitpunkt mit dem gleichen Volumen finden wir, falls vorhanden, mit der Gleichung 14

17 150.2 = 0.2 (t 4 26t t 2 ) = 0.2 (t 4 26t t 2 ) Ausklammern von t 0 = 0.2t 2 (t 2 26t + 180) Fallunterscheidung 1. Fall: 0.2t 2 = 0 : 0.2 t 2 = 0 Wurzel ziehen t 1 = 0 2. Fall: 0 = t 2 26t PQ-Formel t 2,3 = p 2 ± ( p 2) 2 q t 2,3 = 26 2 ± ( ) t 2,3 = 13 ± 11 keine weitere Lösung Es gibt keinen Zeitpunkt, an dem wir den gleichen Wasserstand wie zu Beobachtungsbeginn haben. 3 Becken Funktionenschar Das Volumen des Wassers wird angegeben durch die Stammfunktion H k (t) von der Funktion h k (t) = 10k e kt Wir erhalten die Stammfunkion, indem wir durch die Ableitung des Exponenten kt teilen H k (t) = (10k e kt )dx = 10k k e kt + C, 15 C R

18 H k (t) = 10 e kt + C Mit dem Anfangsvolumen von 3m 3 und nach 2 Stunden einem Volumen von 8m 3 erhalten wir 8 = 8 = 2 0 (10k e kt )dx + 3 [ ] 2 H k (t) = H k (2) H k (0) = H k (2) H k (0) 5 = 10 e 2k ( 10 e k 0 ) mit e 0 = 1 5 = 10 e 2k = 10 e 2k : ( 10) 1 2 = e 2k ln ln ( ) 1 2 ( ) ln = k ln(2) 2 = k = 2k : ( 2) Ableitung h k(t) = 10k 2 e kt h k(t) = 10k 3 e kt h k (t) = 10k 4 e kt h 4 k(t) = 10k 5 e kt Wir können sehen, dass bei dem k vor dem e der Exponent bei jeder weiteren 16

19 Ableitung sich um 1 vermehrt. Also muss der Exponent in der 103. Ableitung = 104 sein. Außerdem wechselt das Vorzeichen vor der Funktion bei jeder weiteren Ableitung, so dass alle geraden Ableitungen positiv und alle ungeraden Ableitungen negativ sind. Allgemein können wir sagen, dass sich das Vorzeichen mit ( 1) n berechnen lässt. Die 103. Ableitung muss demnach lauten h 103 k (t) = ( 1) k e kt h 103 k (t) = 10k 104 e kt 17

20 Teil III Aufgaben: Deichtherme Für die "Deichtherme"wird eine neue Wasserrutsche geplant. Der Graph in der Abbildung modelliert die Rutschbahn. Der Graph beginnt im Punkt A(0 24) mit einer Steigung von 100% und endet im Punkt B(40 0). Ferner verläuft er durch den Punkt C(20 12). Die x-achse stellt den ebenen Boden der Schwimmhalle bzw. die auf gleicher Höhe liegende Wasseroberfläche dar. Eine Längeneinheit entspricht einen Meter in der Wirklichkeit. f(t) f Abbildung 8: Rutschbahn t 1. Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung zwischen Start- und Endpunkt der Rutschbahn und ermitteln Sie mithilfe der Grafik näherungsweise die Steigung im Punkt C. 18

21 Der abgebildete Graph gehört zu einer ganzrationalen Funktion dritten Grades. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f. (8 P) 2. Verwenden Sie im Folgenden die Funktion f mit f(x) = x x 2 x + 24 mit 0 x 40. Die Rutsche soll durch zwei vertikale Pfeiler abgestützt werden. Der Architekt plant einen 10 Meter und einen 15 Meter hohen Pfeiler. Berechnen Sie, wie weit die Pfeiler voneinander entfernt stehen. Zeigen Sie rechnerisch, dass f (x) < 0 für alle x [0; 40] gilt, und interpretieren Sie dies im Sachzusammenhang. Zeigen Sie, dass der Punkt C ein Wendepunkt des Graphen von f ist. (11 P) 3. Die Rutschen eines anderen Planungsbüros werden für 0 x 40 durch die Graphen der Funktionenschar g a mit g a (x) = 24 e 0.05ax, a > 0 beschrieben. Skizzieren Sie den Graphen g 1.5 und bestimmen Sie die Höhe, aus der ein Badegast am Ende dieser Rutsche ins Wasser fällt. Zwei neue Sicherheitsbestimmungen lauten: (a) Die Höhe, aus der ein Badegast am Ende der Rutsche ins Wasser fällt, darf höchstens 1.5 Meter betragen. (b) Der Neigungswinkel darf im Startpunkt nicht größer als 55 sein. Untersuchen Sie, ob es Parameter a gibt, für die beide Bedingungen erfüllt sind. 19

22 Gegeben ist der folgende Term 3 ( ( ) ) g (i + 1) g1.5 (10i) i=0 Veranschauliche Sie den zweiten Summanden dieses Terms in Ihrer Skizze aus Teilaufgabe 3. Interpretieren Sie den gesamten Term im Sachzusammenhang. (15 P) 4. Die Funktion G ist gegeben durch G(a) = 40 0 g a (x)dx mit a>0. Berechnen Sie G(5). Zeigen Sie, dass für jedes a > 0 gilt: G(a) < 480 a (6 P) 20

23 Teil IV Lösungen 4 ganzrationale Funktion 4.1 durchnittliche Steigung Die durchschnittliche Steigung im Intervall [0; 40] wird berechnet mit m = y 2 y 1 x 2 x 1 mit den Punkte A(0 24) und B(40 0) m = = = 3 5 m = Tangentensteigung f(t) C T angente Abbildung 9: Tangente im Punkt C t 21

24 Nach dem Steigungsdreieck beträgt die Steigung im Punkt C m = y x = = Funktionsgleichung aufstellen (Steckbriefaufgabe) Für die Funktionsgleichung von f brauchen wir die 3 Punkte A, B und C sowie die Steigung m = 100% im Punkt A. Ein Gefälle von 12% 12% Abbildung 10: Schild Gefälle bedeutet, dass pro 100 Meter waagerecht zurückgelegte Strecke es 12 Meter tiefer geht. 12m 100m Abbildung 11: Gefälle Für die Steigung von -100% gilt dann also m = 100% = = 1 22

25 Für die Funktion f benötigen wir zunächst die allgemeine Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades sowie deren Ableitung. f(x) = a x 3 + b x 2 + c x + d f (x) = 3a x 2 + 2b x + c Es folgt A(0 24) f(0) = 24 I 24 = a b c 0 + d B(40 0) f(40) = 0 II 0 = a b c 40 + d C(20 12) f(20) = 12 III 12 = a b c 20 + d m = 1 f (0) = 1 IV 1 = 3a b 0 + c bei x = 0 I 24 = d II 0 = 64000a b + 40c + d III 12 = 8000a + 400b + 20c + d IV 1 = c c,d in II 0 = 64000a b + 40 ( 1) + 24 c,d in III 12 = 8000a + 400b + 20 ( 1) + 24 II 0 = 64000a b III 12 = 8000a + 400b

26 II 16 = 64000a +1600b III 8 = 8000a +400b ( 4) + 16 = 32000a : = a a = a in III : 8 = 8000 ( ) + 400b 8 = b = 400b : = b 100 b = 0.03 f(x) = x x 2 x

27 4.4 Abstand Pfeiler f(t) f Abbildung 12: Rutschbahn mit Pfeiler t Um die Stellen zu berechnen, wo die Pfeiler aufgestellt werden, müssen wir wissen, wo die Rutsche 10 bzw. 15 Meter hoch ist. f(x) = = x x 2 x = x x 2 x + 9 Der Taschenrechner liefert den Wert x = f(x) = = x x 2 x = x x 2 x + 14 x = Der Abstand der Pfeiler beträgt = Meter. 25

28 4.5 permanentes Gefälle f (x) < 0 über den ganzen Definitionsbereich der Rutsche bedeutet, dass die Steigung immer negativ ist. Wir starten im Punkt A mit einer negativen Steigung. Damit sich diese ändert, müssten wir einen Tiefpunkt haben. Falls kein Tiefpunkt existiert, bleibt die Steigung negativ. Es reicht im Grunde zu zeigen, dass die Steigung nie Null ist, was ja auch ausgeschlossen wird. Bedingung: f (x) 0 Wir nehmen das Gegenteil an, also f (x) = 0 f (x) = x x 1 0 = x x 1 : ( ) lösen mit PQ-Formel 0 = x 2 40x x 1,2 = p 2 ± ( p 2) 2 q x 1,2 = 40 2 ± ( ) x 1,2 = 20 ± x 1,2 = 20 ± x 1,2 = 20 ± x 1,2 = 20 ± Der Wurzelinhalt ist negativ. Es gibt also keine Lösung. Somit existiert keine Stelle mit der Steigung Null. Also bleibt die Steigung negativ und es gilt f (x) < 0 für alle x [0; 40] 26

29 4.6 Wendepunkt notwendige Bedingung notw. Bed.: f (x) = 0 f (x) = 0.003x x 0.003x = 0.06 : x = 20 hinreichende Bedingung hinr. Bed.: f (x) 0 f (x) = f (20) = = Wendepunkt Funktionswert f(20) = x + 24 = 12 Der Wendepunkt ist der Punkt C(20 12). 27

30 5 e-funktion 5.1 Skizze Mit der Wertetabelle von g 1.5 = 24 e x = 24 e x x g 1.5 (x) bekommen wir den Graphen: g a (t) g Abbildung 13: Rutschbahn als e-funktion t 28

31 5.2 Sicherheitsbestimmungen Mit g 1.5 (40) = m (aus der Wertetabelle) wird die Höchstgrenze eingehalten. Der Neigungswinkel errechnet sich aus der Steigung im Startpunkt.Die Steigung ist m = g 1.5(0) g 1.5(x) = e x = g 1.5(x) = 1.8 e x g 1.5(0) = 1.8 e g 1.5(0) = 1.8 g a (t) g 1.5 α Abbildung 14: Neigungswinkel im Startpunkt t Wir haben also eine negative Steigung. Das bedeutet für den Steigungswinkel, dass er von der Horizontalen aus gesehen nach unten geht. Mit m = tan(α) = 1.8 folgt α = tan 1( 1.8) = Der zulässige Neigungswinkel von maximal 55 wird also nicht eingehalten. 29

32 a=1.5 erfüllt also nicht die Sicherheitsbestimmungen. Was muss nun gelten? tan(55 ) Es gilt m = g a(0) tan( 55 ) Weiter gilt g a (40) < 1.5 Fangen wir mit der Ableitung bei x=0 an. g a(0) tan( 55 ) 1.2 ae 0.05a 0 tan( 55 ) 1.2 ae 0 tan( 55 ) 1.2 a tan( 55 ) : ( 1.2) Für die Fallhöhe bei x=40 gilt a tan( 55 ) g a (40) e 0.05a e 2a 1.5 : 24 e 2a ln 2a ln(0.0625) : ( 2) a ln(0.0625) a und a 1.19 ist ein Widerspruch. Also gibt es kein eindeutiges a, so dass die Sicherheitsbestimmungen eingehalten werden können. 30

33 5.3 Summenterm 3 Der Term i=0 ( ( ) ) 2 g (i + 1) g1.5 (10i) drückt eine Summe aus, wobei das i die Werte von 0 bis 3 annimmt. So ergibt sich für i = 0 g 1.5 ( 10(0 + 1) ) = g1.5 (10) g 1.5 (10 0) = g 1.5 (0) i = 1 g 1.5 ( 10(1 + 1) ) = g1.5 (20) g 1.5 (10 1) = g 1.5 (10) i = 2 g 1.5 ( 10(2 + 1) ) = g1.5 (30) g 1.5 (10 2) = g 1.5 (20) i = 3 g 1.5 ( 10(3 + 1) ) = g1.5 (40) g 1.5 (10 3) = g 1.5 (30) In der großen Klammer haben wir die Differenz g 1.5 ( 10(i + 1) ) g1.5 (10i), in der Abbildung Rot dargestellt als Höhenunterschied. g a (t) 26 g 1.5 (0) g (10) 10 8 g (20) 4 g 1.5 (30) 2 g 1.5 (40) g 1.5 (0) g 1.5 (10) g 1.5 g 1.5 (10) g 1.5 (20) g 1.5 (20) g 1.5 (30) g 1.5 (30) g 1.5 (40) Abbildung 15: Höhenunterschied t 31

34 Die ganze Wurzel erinnert stark an den Satz des Pythagoras. c 2 = a 2 + b 2 Wurzel ziehen c = a 2 + b 2 mit ( ) a = 10 und b = g (i + 1) g1.5 (10i) sowie c als Hypothenuse. 3 Der Term i=0 mit ( g 1.5 ( 10(i + 1) ) g1.5 (10i)) 2 berechnet die Hypothenuse i=0 ( g 1.5 ( 10(i + 1) ) g1.5 (10i)) 2 = ( ( ) ) 2 g (0 + 1) g1.5 (10 0) ( ( ) ) 2 g (1 + 1) g1.5 (10 1) ( ( ) ) 2 g (2 + 1) g1.5 (10 2) ( ( ) ) 2 g (3 + 1) g1.5 (10 3) i=0 ( g 1.5 ( 10(i + 1) ) g1.5 (10i)) 2 = ( g 1.5 (10) g 1.5 (0) ) ( g 1.5 (20) g 1.5 (10) ) ( g 1.5 (30) g 1.5 (20) ) ( g 1.5 (40) g 1.5 (30) ) 2 32

35 und wird dargestellt durch die schwarzen Hypothenusen. g a (t) g Abbildung 16: angenäherte Länge der Rutsche t Die Summe der Hypothenusen gibt dabei die ungefähre Länge der Rutsche an. 5.4 Integral G(5) = G(5) = G(5) = g 5 (x)dx G(5) (24 e x )dx (24 e 0.25x )dx 33

36 G(a) = G(a) = G(a) = G(a) = g a (x)dx mit a > 0 (24 e 0.05 ax )dx [ ] a e 0.05 ax [ 480 a e 0.05 ax ] G(a) = 480 a e 0.05 a 40 ( 480 a e 0.05 a 0 ) G(a) = 480 a e 2 a ( 480 a e0 ) G(a) = 480 a e 2 a a mit G(a) < 480 a folgt 480 a e 2a < a a a 480 a e 2a < 0 :( 480) Vorzeichenwechsel! 1 a e 2a > 0 1 > 0 a e 2a 1 > 0 mit der Voraussetzung a > 0 ist eine wahre Aussage und damit a e 2a allgemein gültig. Die Annahme G(a) < 480 a für alle a > 0. ist somit bestätigt. 34