g 2 g 1 15/16 I Übungen 2 EF Be Sept. 15 p 1 p 2

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1 15/16 I Übungen EF Be Sept. 15 Nr. 1: a) Funktion oder Relation? Welcher Graph gehört zu einer Funktion, welcher nicht? Begründe Deine Antwort kurz. a) und d) sind keine Funktionen, da die Zuordnungen nicht eindeutig sind. Einem x-wert werden hier zwei y-werte zugeordnet. b) und c) sind Funktionen : Jede Parallel zur y-achse schneidet den Graph nur einmal b) Nr. : Skizzieren Sie wie im Beispiel rechts den funktionalen Zusammenhang zwischen den folgenden Zuordnungen: Beispiel: Brenndauer(x) Höhe einer brennenden Kerze (y) (1) Zeit Temperatur im Verlauf eines Tages () Alter eines Menschen Gewicht (3) Monate im Jahr Tageslänge (4) Gekaufte kg Kartoffeln Gesamtpreis Funktionsgraphen Nachstehend folgen einige Graphen, die den Zusammenhang zwischen dem Volumen und der Höhe des Flüssigkeitsstands in Gefäßen beschreiben. Nenne zu jedem Gefäß (a), (b), (c), (d) einen der Graphen (A) (F), der den Zusammenhang zwischen Höhe der Flüssigkeit und Volumen am besten beschreibt. Begründe deine Entscheidung jeweils kurz! (a) E, da der Querschnitt des Messbechers konstant bleibt (b) A od. D, der Querschnitt der Vase wird immer größer, also steigt das Wasser immer langsamer (c) B, da der Querschnitt erst wie bei a) konstant bleibt, dann aber viel kleiner wird schnelleres Höhenwachstum (d) C, da der Querschnitt der Kugel bis zur Mitte größer und dann wieder kleiner wird zunächst gebremstes Höhen wachstum, dann beschleunigtes Nr. 3: Geraden und Parabelgleichungen bestimmen 3 a) Bestimmen Sie ohne Rechnung zu den Geraden g 1 p 1 g 1 Funktionsgleichungen p und Parabeln in der Skizze links die b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte P( - -1 ) und Q(3 1) läuft. c) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Parabel mit der Gleichung: f(x) = 1 3 x + 6 x -.

2 U nb Input a) g 1 : y = -1 x - ; g : y = x - 1 ; 3 p 1 : f(x) = 0.5 (x - 1) - 1 = 0.5 x - 1. x ; p : f(x) = - (x - 3) + = - x + 1 x - 16 b) allgem. Form : g : y = m x + b ( Punkte bekannt, einsetzen) P( - -1 ) und Q(3 1) -1 = m (-) + b 1 = m (3) + b (abziehen) - = -5 m -1 = m = 5 (-) + b (einsetzen) 5 b = -1 5 Also: Gleichung : g : y = 5 x = 0.4 x - 0. c) Scheitelpunktform: f(x) = 1 3 x + 6 x - = 1 3 x + 18 x = 1 3 (x + 9) = 1 3 (x + 9) - 9 S (-9-9) oder kürzer mit der Formel: x s = - p Hierbei ist p das p aus der p-q-formel. Also erst anfangen wie bei den Nullstellen: 1 3 x + 6 x - = 0 x + 18 x - 6 = 0 ; 18 = p ; Also gilt für x S = - 18 = -9 Diesen Wert in die Funktionsgleichung einsetzen um den y-wert des Scheitelpunktes zu bekommen. f (-9) = 1 3 (-9) + 6*(-9) - = -9 Also gilt wieder: S (-9-9) Nr. 4: a) Gerade und Parabel Gegeben sind die Paralel f mit der Gleichung: f (x) = 1 x - x +1 und die Gerade g mit: g(x) = x - 7. Bestimmen Sie die Nullstellen der Parabel und die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen. Welche besondere Lage hat die Gerade g im Bezug zur Parabel? Nullstellen der Parabel: f(x) = 0 0 = 1 x - x = x - 4 x + x 1, = ± 4 - x 1 = +. = ; x = -. = N 1 ( ); N ( ) Schnittpunkte: f(x) = g(x) 1 x - x + 1 = x x - 4 x + 8 = 0 x - 8 x + 16 = 0 x 1, = 4 ± x 1, = 4 (doppelte Nullstelle) g(4) = 4-7 = 1 S 1, (4 1) Da es nur einen Schnittpunkt gibt, ist die Gerade eine Tangente der Parabel. b) Die Gerade h geht durch den Punkt P(4 1) und steht senkrecht auf der Geraden g. Bestimmen Sie eine Geradengleichung von h. allgem. Form : h : y = m x + b ; Kriterium für senkrecht: m 1 *m = -1 ; m 1 = m = -1 P(4 1) liegt auf h 1 = -1 *4 + b b = 3 h: y = -1 x + 3 ;

3 c) Fertigen Sie eine Zeichnung mit allen Graphen an. Input Nr. 5: a) Gerade und Parabel Gegeben sind die Parabel mit: f (x) = 0.5 x - x und die Gerade g mit: g : y = 0.5 x Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h, die parallel zu g verläuft und durch den Punkt P(4 Gleiche Steigung m = 0.5, dann in: y = m x + b den Punkt P(4 4) einsetzen: 4 = 0.5*4 + b b = Parallele: y = 0.5 x + 4) geht. b) (1) Bestimmen Sie rechnerisch die Nullstelle der Geraden g und die Nullstellen der Parabel f. () Bestimmen Sie rechnerisch die Schnittpunkte von f und g. (1) Nullstelle von g: 0 = 0.5 x x = -1 ; N(-1 0) Nullstellen von f: 0 = 0.5 x - x = x - x - 3 x 1, = 1 ± x 1, = 1 ± x 1 = -1 ; x = 3 N 1 (-1 0) ; N (3 0) () Schnittpunkt durch Gleichsetzen: f (x) = g(x) 0.5 x - x = 0.5 x x - 3 x - 4 = 0 x 1, = 1.5 ± x 1, = 1.5 ±.5 x 1 = -1 ; x = 4 y-werte: y 1 = f (x 1 ) = g(x 1 ) = 0.5 (-1) = 0 ; y = f (x ) = g(x ) = 0.5 (4) =.5 S 1 (-1 0) ; S (4.5) Nr. 6: Aufstellen von Funktionsgleichungen a) (1) Gegeben sind drei Punkte A(1 5), B(3-3) und C(5 1). Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel, die durch die Punkte A, B und C verläuft. () Berechnen Sie mit dem GTR die Nullstellen und die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel. (1) In der Normalform: f (x) = a x + b x + c müssen die drei Parameter a, b und c bestimmt werden. Die Punkte einsetzen und lineares Gleichungssystem aufstellen und mit GTR lösen: (I) f(1) = 5 5 = a 1 + b 1 + c (II) f(3) = -3-3 = a 3 + b 3 + c (III) f(5) = 1 1 = a 5 + b 5 + c 5 = 1 a + 1 b + 1 c -3 = 9 a + 3 b + 1 c 1 = 5 a + 5 b + 1 c (GTR) a = 1.5 b = -10 c = 13.5

4 4 U nb Gleichung: f(x) = 1.5 x - 10 x () Nullstellen: f(x) = x - 10 x = 0 1. x - 6 x + 9. = 0 (GTR) 3 x 1 = ; x = N 1 (1.88 0) ; N (4.79 0) Scheitelpunkt: Der Scheitelpunkt liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen: x s = = Einsetzen in f ergibt den y-wert: y s = f(3.3333) = 1.5*(3.3333) - 10* = S ( ) b) Eine andere Parabel. Grades hat den Scheitelpunkt S( -3) und geht durch den Punkt P(-1 15). Bestimmen Sie die Parabelgleichung in Normalform. f (x) = (x - ) - 3 = x - 8 x + 5 = (x - ) - 3 In die Scheitelpunktform: f (x) = a(x - d) + e den Scheitelpunkt S ( -3) und den Punkt P(-1 15) einsetzen, um den fehlenden Parameter a zu bekommen. 15 = a(-1 - ) - 3 = a = 9 a a = Scheitepunktform mit bin.formel in Normalform wandeln: f (x) = (x - ) - 3 = x - 4 x = x - 8 x + 5 Nr. 7: Ball über Mauer a) f (x) = -0.4 x x Ein Ball wird über eine 8 m hohe Mauer geschossen. Seine Flugbahn kann näherungsweise durch den Graphen der Funktion f mit f (x) = -0.4 x x beschrieben werden (vgl. Graph links). a) Von welchem Punkt der x-achse aus wird der Ball geschossen? b) Die Mauer steht bei x = 4. Fliegt der Ball tatsächlich wie in der Skizze links über die Mauer? c) Berechnen Sie den höchsten Punkt der Flugbahn des Balles. d) Berechnen Sie den Punkt, auf welchen ein Ball hinter der Mauer aufträfe, wenn dort der Boden um m höher wäre, als vor der Mauer (vgl. Skizze). 1.Nullstelle N 1 (1 0) ; N (11 0) b) f (4) = -0.4 * = 8.4 Er fliegt über die Mauer. c) Scheitelpunkt zwischen den Nullstellen, also: Nullstellen: x 1 = 1 ; x = 11 x s = 1+11 = 6 f (6) = -0.4* *6-4.4 = 10 S (6 10) d) Stelle (x-wert) mit f (x) = bestimmen) Solve -0.4 x x - 4.4, x = {{x }, {x }} Also nach ca m landet der Ball vor dem Baum. Nr. 8: Brückenbogen quadratische Funktionen

5 a) Der Brückenbogen hat die Form einer Parabel.Denk dir ein Koordinatensystem, bei dem die x-achse auf der Wasserlinie verläuft und die y-achse durch den Scheitelpunkt der Parabel geht. Bestimme von den folgenden Gleichungen diejenige, die den Verlauf des Brückenbogens beschreiben könnte. Begründe auch, warum die anderen nicht in Frage kommen. (1) y = 1 40 x + 5 () y = x + 5 (3) y = x - 5 (4) y = 1 50 x + 5 Es ist () ; (1) ist nach oben geöffnet, ebenso (4). Bei (3) liegt der Scheitel unte der x-achse (-5) b) Der Brückenbogen überspannt auf Höhe der Wasserlinie eine Entfernung von 1 m. Der höchste Punkt des Brückenbogens liegt 4,05 m über der Wasserlinie. Bestimme die Gleichung, die den Verlauf des Brückenbogens beschreibt, und stelle die zugehörige Parabel im Koordinatensystem in der Anlage dar. Scheitelpunktform: f(x) = a(x - d) + e ; S(0 0 = a * a = = = ) und f(6) = 0 f (x) = x c) Das Schiff Goldbek ist 4,96 m breit und über der Wasserlinie auf seiner ganzen Breite immer,50 m hoch. Überprüfe durch Rechnung, ob das Schiff unter der Brücke hindurchfahren kann. Wenn das Schiff mittig unter der Brücke hindurchfährt, reicht es in der Breite bis zu x = 4.96 =.48 Die Höhe der Brücke an dieser Stelle beträgt: f(.48) = * = m Es kann also noch gut unter der Brücke her fahren. Nr. 9: Flugbahn eines Basketballs Die Skizze links zeigt den Korbwurf eines Basketballspielers. Die Flugbahn des Balles wird beschrieben durch die Funktion f mit: f(x) = -0.5 x + 3 x a) Der Ball verließ die Hand des Spielers beim x-wert 1.5 Wie hoch war die Hand beim Abwurf? b) Der Korb hängt nur in einer Höhe von.50 m. Bei welchem x-wert wurde er angebracht? c) Berechne den höchsten Punkt der Flugbahn des Balles. a) Höhe zum x-wert 1.5 gesucht: f(1.5) = -0.5 * * = m Er war dann 1.85 m hoch. b) x-wert zur Höhe.5 m : f(x) =.5 = -0.5 * x + 3 * x = -0.5 * x + 3 * x = x - 6 x + 8 x 1, = 3 ± 9-8 x 1 = 4 ; x = x entfällt, da der Ball dort noch am aufsteigen ist. Der Korb wurde am x-wert 4 angebracht. c) Scheitelpunkt gesucht: f(x) = -0.5 * x + 3 * x f (x) -0.5 = x - 6 x + 3 f(x) = x - 6 x f(x) = (x - 3) + 3 f (x) -0.5 = (x - 3) - 6 f(x) = -0.5 (x - 3) + 3 S (3 3) Der höchste Punkt ist: S(3 3). Nr. 10: Symmetrieverhalten und Nullstellen ganzrationaler Funktionen Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten und berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen

6 6 U nb Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten und berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen soweit es rechnerisch möglich ist. Nur bei drei Funktionen könnn Sie die Nullstellen mit dem GTR bestimmen. (1) f(x) = x 3 + x - 5 x - 6 () f(x) = x x 3-6 x - 8 x - 4 (3) f(x) = x x (4) f(x) = ( x - 3) x -6 x +5 (5) f(x) = x x x (6) f(x) = x 3-38 x + 60 (1) Symmetrie: Keine Symmetrie erkennbar ( gerade und ungerade Exponenten ). 0 = x 3 + x - 5 x - 6 (x 3 keine Lösungsformel, Lösung mit dem GTR:) N 1 ( 0) ; N (-1 0) N 3 (-3 0) () Symmetrie: Keine Symmetrie erkennbar ( gerade und ungerade Exponenten ). Nullstellen: N 1 ( 0) ; N (-3 0) ; (3) Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-achse, da nur gerade Exponenten vorkommen. 0 = x x (da nur gerade Exponenten vorkommen, kann man hier substituieren z = x ) 0 = z z z z +.5 = 0 z 1, = 4.65 ± z 1, = 4.65 ± z 1 = z 1 = 9. x = 9 x 1, = ± 3 ; z = z = 0.5 x = 0.5 x 3,4 = ±0.5 Nullstellen: N 1, (±3 0) ; N 3,4 (±0.5 0) (4) Symmetrie: Funktionsterm muss ausmultipliziert werden: f(x) = ( x - 3) x - 6 x + 5 f(x) = x 3-15 x + 8 x - 15 Keine Symmetrie erkennbar, es kommen gerade und ungerade Exponenten vor. Nullstellen: 0 = ( x - 3) x -6 x +5 (von der Produktdarstellung ausgehen) Ein Produkt wird 0, wenn ein Faktor 0 wird. ( x - 3) = 0 x 1 = 1.5 Für x,3 muss die. Klammer 0 werden: 0 = x - 6 x + 5 x,3 = 3 ± 9-5 x = 5 ; x 3 = 1 Nullstellen: N 1 (1.5 0) ; N (5 0) ; N 1 (1 0) ; (5) Symmetrie: Keine Symmetrie erkennbar ( gerade und ungerade Exponenten ). Nullstellen: 0 = x x x (Hier kann man x ausklammern) 0 = x x + 1 x x 1, = 0 (doppelte Nullstelle) Noch zu bestimmen: 0 = x + 1 x x,3 = -0.5 ± x = = 1.5 ; x 3 = -.5 Nullstellen: N 1, (0 0) ; N 3 (1.5 0) ; N 4 (-.5 0) ; (6) Symmetrie: Keine Symmetrie erkennbar ( gerade und ungerade Exponenten ). 0 = x 3-38 x + 60 (x 3 keine Lösungsformel,Lösung mit GTR) N 1 ( 0) ; N (3 0) N 3 (-5 0) Nr. 11: Untersuchung ganzrationaler Funktionen Transformationen

7 6 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung: f (x) = 1 3 x3 - x + 3 x + 4. Der Graph der Funktion f ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt. a) Ermitteln Sie durch Ablesen den lokalen Hochpunkt und den lokalen Tiefpunkt des Graphen. Input Ablesen ergibt: H ; T (3 4) b) Der Graph der Funktion f wird nacheinander zwei Transformationen unterzogen. Dadurch ergibt sich der Graph einer Funktion g, für die Folgendes gilt: 1. Die Stellen x = und x = 4 sind ExtremsteIlen von g.. Die x-achse ist eine Tangente an den Graphen von g. Geben Sie begründet eine mögliche Funktionsgleichung von g an. [Hinweis: Hier ist keine Rechnung erforderlich.] 1 und 3 sind ExtremstelIen des Graphen von f. Nun sollen die Extrema bei und 4 liegen, also jeweils um 1 weiter nach rechts. Daher wird der Graph von f zunächst um eine Einheit nach rechts verschoben. Wird der verschobene Graph nun noch so weit nach unten verschoben, bis einer der beiden Extrempunkte auf der x-achse liegt, so ist auch die x-achse Tangente. Es gibt also die beiden Lösungen: g (x) = f(x - 1) oder: g (x) = f(x - 1) - 4 c) Ein Schüler versucht den Funktionsterm von f als ein Produkt darzustellen und wählt dazu den Ansatz f (x) = (x + 1) q (x), wobei q eine quadratische Funktion ist. Begründen Sie, dass eine solche Darstellung nicht möglich ist. Ließe sich f darstellen als: f (x) = (x + 1) q (x), so wäre -1 eine Nullstelle von f. (Eine Gleichung wird 0, wenn ein Faktor 0 wird.) Am Graphen kann man aber erkennen, dass f dort keine Nullstelle hat. Viel Erfolg!!!