HTBLA VÖCKLABRUCK STET

Transkript

1 HTBLA VÖCKLABRUCK STET

2 Relationen und Funktionen 2 INHALTSVERZEICHNIS 1. RELATIONEN FUNKTIONEN LINEARE FUNKTION... 6

3 Relationen und Funktionen 3 1. RELATIONEN Def.: Eine Relation zwischen den Mengen A und B ist beschreibbar durch eine Menge R geordneter Paare (x,y) mit x A und y B. Ist (x,y) R, so sagt man: Die Relation trifft auf das geordnete Paar zu und schreibt: x R y Bsp.: A = {3,4,8} B = {4,16} Relationsvorschrift: x ist Teiler von y ==> R = {(4,4 ),(4,16),(8,16)} Bildet man die Produktmenge: A x B = {(3,4),(3,16),(4,4),(4,16).(8,4),(8,16)} ==> R A x B Festlegung einer Zuordnung: a) Mengendiagramm b.) Durch geordnete Paare: Bsp.: A = {3,4,8} B = {4,16} Relationsvorschrift: x ist Teiler von y ==> R = {(4,4 ),(4,16),(8,16)} c.) Durch graphische Darstellung mit Hilfe der Produktmenge:

4 Relationen und Funktionen 4 Festlegung:Eine Zuordnungsvorschrift heißt eindeutig, wenn jedem Element der Menge A genau ein Element der Menge B zugeordnet wird. Bspe.: Bemerkung: Eindeutige Zuordnungen nennt man Funktionen. 2. FUNKTIONEN Bsp.: Untersucht man das Verhalten eines Körpers beim freien Fall, so stellt man fest, daß die Geschwindigkeit v des fallenden Körpers mit der verstreichenden Zeit t ständig zunimmt. Zwischen Geschwindigkeit v und Zeit t besteht ein bestimmter Zusammenhang. Jeder bestimmten Zeit t ist eine bestimmte Geschwindigkeit v zugeordnet. v = g. t Bsp.: Wird eine Schraubenfeder belastet, so verändert sich ihre Länge. Innerhalb bestimmter

5 Relationen und Funktionen 5 Grenzen gehört zu jeder Belastung P eine bestimmte Länge l der Schraubenfeder. ==> l = c. P + l o ( c fester, vom Material her bestimmter Wert, l o ist die Länge der unbelasteten Feder) Def.: Eine Funktion f ist eine Zuordnung zwischen den Elementen der Menge D und W, wobei jedem Element x D genau ein y W zugeordnet ist. Schreibweise: f : D W x a f ( x) Sprechweise: f ist eine Funktion von D nach W; jedem Element x ( D) wird genau ein Element f(x) zugeordnet. D...Definitonsbereich (-menge) W...Wertebereich (-menge) f(x)...bild von x oder Funktionswert an der Stelle x Bemerkung: Eine Funktion kann durch eine Funktionsgleichung der Form y = f(x) angegeben werden. Wenn man die geordneten Paare, die die Funktionsgleichung erfüllen, in ein kartesisches Koordinatensystem einträgt, erhält man den sogenannten Funktionsgraphen oder die Kurve der Funktion. Bsp.: Die Funktion f deren Funktionsgleichung y = x 2 zu zeichnen. lautet, ist für D = {x/ x R -2<x<2}

6 Relationen und Funktionen LINEARE FUNKTION Bsp.: Zeichnen Sie die Graphen der Funktion f mit y = k.x für : k = 0.5, 1, 3, Def.: P 1 (x 1 / y 1 ) und P 2 (x 2 / y 2 ) seien zwei verschiedene Punkte einer Geraden. Unter der Steigung oder dem Anstieg der Geraden versteht man folgenden Quotienten k: k = y x y x α heißt Steigungswinkel Bemerkung: Der Anstieg k bestimmt den Verlauf der Geraden. Es gilt für: a.) k > 0: Die Gerade steigt b.) k < 0: Die Gerade fällt c.) k = 0: Die Gerade ist horizontal

7 Relationen und Funktionen 7 Bemerkung: Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt. Def.: Eine Funktion von der Form x k. x + d heißt lineare Funktion oder Funktion ersten Grades. Der Graph der linearen Funktion ist eine Gerade. Bsp.: Zeichnen Sie den Graph der linearen Funktion f(x) = 4. x +2 Es gilt: Das Glied d der sogenannten Normalform y = kx + d gibt an, in welcher Höhe die Gerade die y - Achse schneidet. Für d = 0 geht die Gerade durch den Ursprung. Bsp.: Zeichne die Graphen von f(x) = -2x +1 und g(x) = -2x +3.

8 Relationen und Funktionen 8 Es gilt: Parallele Geraden haben gleichen Anstieg. Umgekehrt: Gerade mit gleichem Anstieg sind parallel oder identisch. Bsp.: Liegen die Punkte A (1/1) und B (2/3) auf der Geraden mit der Gleichung y = -2x +3? 1. Möglichkeit: Gerade in einem Koordinatensystem einzeichnen und schauen ob die Punkte auf der Geraden liegen. 2. Möglichkeit: Punkte in die Geradengleichung einsetzen. Es gilt: Ein Punkt P liegt auf einer Kurve mit der Funktionsgleichung y = f(x) genau dann, wenn seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. Bsp.: Von einer Geraden sind zwei Punkte A (1/1) und B (7 / -5) bekannt. Gesucht: a.) Graph b.) Funktionsgleichung c.) Schnittpunkt der Geraden mit der x - Achse

9 Relationen und Funktionen 9 Def.: Jede Stelle x o einer Funktion x f(x) heißt Nullstelle der Funktion f, wenn f(x o ) = 0 ist. ANWENDUNGEN DER LINEAREN FUNKTION: a.) Weg - Zeit - Funktion: s = s o + v.t b.) Lineare Kosten: c.) Lineare Tarife: K = k x + F R = k x + G usw.