Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 1 4. Semester ARBEITSBLATT 1 FUNKTIONEN. Was ist eine Funktion?

Transkript

1 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester ARBEITSBLATT FUNKTIONEN Was ist eine Funktion? Stellen wir uns Folgendes vor: Wir stehen vor einem Schaufenster und betrachten die Waren, welche ausgestellt sind. Da wir nicht beliebig viel Geld haben interessiert uns auch der Preis. Jede Ware hat natürlich genau einen Preis, wobei manche Waren natürlich auch gleich hohe Preise haben dürfen. Abstrakt dargestellt, wird also jeder Ware genau ein Preis zugeordnet. Wir veranschaulichen uns diesen Zusammenhang mittels einer Grafik: WAREN PREISE Die Besonderheit an obiger Gegebenheit, ist die Tatsache, dass jeder Ware genau ein Preis zugeordnet wird. Wenn wir also jede Ware mit der Variablen und jeden Preis mit der Variablen bezeichnen, so wird also jedem genau ein zugeordnet. Eine derartige Zuordnung nennt man eine Funktion. Definition: Eine Zuordnung, die jedem genau ein zuordnet, nennt man eine Funktion. Übung: Übungsblatt ; Aufgabe

2 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester Wertetabelle und Funktionsgraphen Betrachten wir zunächst einmal folgendes Pfeildiagramm: Wie man leicht sehen kann, liegt hier wieder eine Funktion dar, wobei jeder Zahl aus der einen Menge eine Zahl aus der zweiten Menge zugeordnet wird. Die Elemente der Ausgangsmenge werden meist mit bezeichnet, jene der zweiten Menge mit. Es wird hier jedem genau ein zugeordnet. Diesen Zusammenhang kann man auch mittels einer Tabelle veranschaulichen: Merke: Eine derartige Tabelle bezeichnet man als Wertetabelle oder Funktionswerttabelle. Nun haben aber Funktionen noch einen weiteren großen Vorteil. Sie lassen sich graphisch darstellen. Nehmen wir dazu unser obiges Beispiel: Zunächst einmal zeichnen wir uns ein Koordinatensstem, wobei wir auf der waagrechten Achse die -Werte, auf der senkrechten Achse die -Werte auftragen wollen. -Achse Achse - Wir können nun jede Zuordnung als einen Punkt im Koordinatensstem verstehen. Dem Wert wird zugeordnet. Folglich ist (/) ein Punkt unserer Funkti-

3 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester on. Dem Wert wird zugeordnet, folglich ist (/) ein Punkt unserer Funktion. Dem Wert wird zugeordnet. Folglich ist (/) ein Punkt unserer Funktion. Nun zeichnen wir unsere Punkte ein: Nun verbinden wir die Punkte, um den Verlauf der Funktion besser verstehen zu können. Anmerkung: Bitte zeichnen Sie die Punkte der Funktion nicht als derartige Knödel wie hier dargestellt ein Damit haben wir den Verlauf unserer Funktion dargestellt. Merke: Die gezeichnete Darstellung von Funktionen nennt man den Funktionsgraphen einer Funktion. Übungen: Übungsblatt, Aufgabe

4 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester a) Bijektivität: Eigenschaften einer Funktion Definition: Eine Funktion heißt bijektiv (=umkehrbar), wenn jedem -Wert genau ein -Wert zugeordnet wird. Erinnern wir uns. Um eine Funktion handelt es sich bei einer Zuordnung, wenn jedem genau ein zugeordnet wird. Bijektiv ist diese Funktion, wenn umgekehrt jedem genau ein - zugeordnet wird. Veranschaulichen wir uns dies an einem Beispiel: Folgendes Pfeildiagramm sei gegeben: Diese Zuordnung stellt zunächst einmal eine Funktion dar, weil jedem genau ein zugeordnet wird. Wenn wir nun untersuchen, ob diese Funktion auch bijektiv ist, müssen wir schauen, ob auch umgekehrt jedem genau ein zugeordnet ist: Wir erhalten folgende Darstellung: Wir sehen, dass auch jedem genau ein zugeordnet wird. Folglich ist diese Funktion bijektiv. Ein weiteres Beispiel noch für eine nicht bijektive Funktion. Folgende Pfeildarstellung sei gegeben:

5 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester Offensichtlich ist dies eine Funktion. Zwecks unserer Untersuchung für die Bijektivität drehen wir die Pfeile wieder um. Wir erkennen, dass es von aus gesehen einen Wert gibt, dem zwei -Werte zugeordnet werden. Folglich ist diese Funktion nicht bijektiv. Übungen: Übungsblatt ; Aufgabe 5

6 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester Normalerweise muss man die Bijektivität einer Funktion anhand des gegebenen Funktionsgrafen ermitteln. Sehen wir uns dazu Beispiele an: 8 6 -,7 -, -, -,8 -,5 -,,,,7,,6, Damit die Funktion bijektiv ist, darf es zu jedem -Wert nur genau einen - Wert geben. Stellen Sie sich also vor, dass Sie parallel zur -Achse Geraden einzeichnen. Jede dieser Geraden darf die Funktion nur genau einmal schneiden. Ist dies der Fall, so ist die Funktion bijektiv. Hat nur eine dieser gedachten Geraden zwei oder mehrere Schnittpunkte, so ist die Funktion nicht bijektiv. Unser Beispiel oben ist also eine bijektive Funktion. 6

7 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester Beispiel für eine nicht bijektive Funktion: ,6, -,8 -, - -,6 -,,,6,,8,,6 - Eine zur -Achse parallele Gerade würde die Funktion in zwei Punkten schneiden, folglich ist diese Funktion nicht bijektiv. Übung: Übungsblatt ; Aufgabe b) Definitions- und Wertemenge Definition: Die Menge aller Zahlen, welche die unabhängige Variable annehmen kann, nennt man Definitionsmenge D. Dieser Begriff ist uns ja bereits bekannt. Die Definitionsmenge gibt wie immer an, welche Werte annehmen kann. Definition: Die Menge aller Zahlen, welche die abhängige Variable annehmen kann, nennt man Wertemenge W. Die Wertemenge gibt also an, aus welchem Zahlenbereich der -Wert sein kann. c) Monotonie 7

8 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester Bei der Monotonie interessiert einen, ob die Funktion steigt oder fällt. Wenn wir dies anhand des Graphen feststellen, betrachten Sie die Funktion immer von links nach rechts, also von den kleineren -Werten zu den größeren. Definition: Werden die -Werte bei größer werdenden -Werten immer größer, so nennt man die Funktion streng monoton steigend. Beispiel: 8 6 -,7 -, -, -,8 -,5 -,,,,7,,6, Die Funktion steigt von links nach rechts betrachtet immer an, die Funktionswerte werden also immer größer. Eine derartige Funktion nennt man streng monoton steigend. Definition: Werden die -Werte bei größer werdenden -Werten immer größer oder bleiben gleich, so nennt man die Funktion monoton steigend. 8

9 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester Beispiel: 5 - -,5 -,5 -,5 - -,5 -,5,5,5,5, Von links nach rechts betrachtet steigt die Funktion immer weiter an oder bleibt gleich. Eine derartige Funktion nennt man monoton steigend. Definition: Werden die -Werte bei größer werdenden -Werten immer kleiner, so nennt man die Funktion streng monoton fallend. Beispiel: 8 6 -,7 -, -, -,8 -,5 -,,,,7,,6,

10 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt. Semester Von links nach rechts betrachtet fällt die Funktion immer weiter nach unten, die -Werte fallen also immer. Eine solche Funktion nennt man streng monoton fallend. Definition: Werden die -Werte bei größer werdenden -Werten immer kleiner oder bleiben gleich, so nennt man die Funktion monoton fallend. Beispiel: 5 - -,5 -,5 -,5 - -,5 -,5,5,5,5 - Fällt der Graph der Funktion von links nach rechts ab oder bleibt gleich, so nennt man die Funktion monoton fallend. Übungen: Übungsblatt ; Aufgaben 5-7