hat den maximalen Definitionsbereich R\{0}.

Transkript

1 Wir nennen f() die Zuordnungsvorschrift und G f = {(,y) D(f) R : y = f()} den Graph von f. Viele Zuordnungsvorschriften haben einen natürlichen maimalen Definitionsbereich. Oft wird dann nur die Zuordnungsvorschrift angegeben, und es ist dann die zugehörige Funktion auf dem maimalen Definitionsbereich gemeint. Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was die Funktion f ist, schreiben wir auch einfach D statt D(f). Beispiel hat den maimalen Definitionsbereich R. 1 hat den maimalen Definitionsbereich R\{0}. Die schon vorher betrachtete Kostenfunktion K() = hat als Definitionsbereich R. In dem betrachteten Beispiel sind allerdings nur nicht-negative ganze Zahlen interessant (: Anzahl der Waschmaschinen) 74

2 und nur bis zu einer gewissen Höhe, die durch die Maimalauslastung des Unternehmens gegeben ist. Dieses Beispiel zeigt, dass nicht alle Werte für, die mathematisch sinnvoll sind, auch im ökonomischen Sinn sinnvoll sind. In vielen Fällen ist f eine Funktion aus S nach T, wobei S,T R Teilmengen von R sind. In dem Fall schreibt man f : S T, f(). Die Elemente f() müssen in T liegen. Der Definitionsbereich von f ist in diesem Fall D(f) = { S : Es gibt y T mit y = f().} Ein Hilfsmittel zur Veranschaulichung einer Funktion f und ihres Graphen ist eine Wertetabelle, in der ausgewählte Werte von zusammen mit ihrem Funktionswert f() eingetragen werden. Beispiel 2.2 Wir setzen unser Beispiel K() = fort: K()

3 Beispiel 2.3 f() = : f() Eine genauere Methode ist das Zeichnen der Graphen in ein Koordinatensystem. Der Graph zur oben angegebenen Funktion ist Wir wollen uns in den folgenden Beispielen überlegen, ob die jeweiligen Funktionen f : R R injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Achtung: Es gibt Funktionen, die weder injektiv noch surjektiv noch bijektiv sind! 76

4 Injektivität bedeutet, dass der Graph jeder Gerade mit der Gleichung y = a (a R) den Graphen G f von f höchstens einmal schneidet. Beachte, dass Gleichungen y = a Geraden parallel zur -Achse beschreiben. Surjektiv heißt, dass jede solche Gerade den Graphen mindestens einmal trifft, und bijektiv schließlich bedeutet, dass jede solche Gerade den Graphen genau einmal trifft, und dass gleichzeitig D(f) = R gilt. SiemüssenSurjektivitätetwasandersinterpretieren,wennf : R AmitA R gilt. Surjektivität bedeutet dann, dass jede Gerade mit der Gleichung y = a mit a A den Graphen G f mindestens einmal trifft. Beispiel 2.4 f() = :

5 Diese Funktion ist weder injektiv noch surjektiv. Beispiel 2.5 f() = y AuchdieseFunktionistnichtsurjektiv,dennf()istniemals0.Sieistauchnicht injektiv, weil stets f( ) = f() gilt. Beispiel 2.6 S() = , D(S) = R + 78

6 y Diese Funktion ist injektiv und nimmt alle positiven Werte > 500 an. Wenn wir S also auffassen als eine Abbildung R + { R : > 500}, so ist S surjektiv (sogar bijektiv!). Beispiel 2.7 f() = 7 79

7 Diese Funktion heißt konstant Allgemein heißt eine Funktion mit der Vorschrift f() = c, wobei c eine Zahl unabhängig von ist, konstant. Konstante Funktionen sind nicht injektiv und nicht surjektiv. Beispiel 2.8 f() = 10 3: 80

8 Die Abbildung f ist injektiv und surjektiv. Eine Funktion der Form f() = a +b heißt linear. Dabei sind a und b feste reelle Zahlen. Die Kostenfunktion K() = ist beispielsweise eine lineare Funktion. Beispiel 2.9 Ein Kopierladen erhebt die Kosten pro Fotokopie in Abhängigkeit von der Gesamtzahl der getätigten Kopien. Hierbei gelten folgende Preise: Anzahl der Kopien 0 bis ab 100 Preis pro Kopie 0,05 0,

9 Die Funktion k, die den Preis pro Kopie beschreibt, ist also gegeben durch 0,05 falls 0 49, k() = 0,04 falls 50 99, 0,03 falls 100. Ihr Graph sieht wie folgt aus: 0.05 ο ο Eine solche Funktion nennt man Treppenfunktion. Treppenfunktionen sind weder injektiv noch surjektiv. Achtung: Eigentlich ist unsere Funktion k() 82

10 natürlich nur für ganzzahlige definiert. Wir haben bei der hier angegebenen Skizze aber beliebig reellwertig angenommen, was für die Visualisierung durchaus angemessen ist. Bei Funktionen mit Sprüngen wie in diesem Beispiel sollte man bei der Visualisierung deutlich machen, welche Punkte an den Sprungstellen zum Funktionsgraphen gehören. Wir malen einen fetten Punkt, wenn der Punkt dazugehört, sonst einen nicht ausgefüllten kleinen Kreis. Die Funktion K, die die Gesamtkosten des Kunden in Abhängigkeit von der Stückzahl angibt, ist 0,05 falls 0 49, K() = 0,04 falls 50 99, 0,03 falls 100. Ihr Graph sieht wie folgt aus: 83

11 6 5 4 ο 3 ο Injektive Abbildungen haben eine schöne Eigenschaft. Beachten Sie dabei, dass der Wertebereich aus allen y R besteht, für die es ein gibt mit y = f(). Es handelt sich also um die Menge der reellen Zahlen, die wirklich als Bild von f auftreten. 84

12 Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt f 1 : W D, y wobei D mit f() = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph G f 1 = {(y,) W D y = f()} = {(y,) W D (,y) G f } entsteht aus G f durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden mit der Gleichung = y. Beispiel 2.10 Wir betrachten wieder die Stückkostenfunktion S() = Für welche Stückzahl ergibt sich 1500? Wir lösen hierzu = 1500

13 nach auf und erhalten = 1000, = 170. DasistdiegesuchteStückzahl,dennesistnunS(170) = 1500.Lösenwirallgemein die Gleichung = y nach auf, so erhalten wir = y 500 und dies ist gerade die Umkehrfunktion, also S 1 (y) = y 500. Mit ihr lässt sich zu beliebigen Stückkosten die zugehörige Stückzahl ermitteln. Beispiel 2.11 Die Funktion f : R + 0 R+ 0 mit f() = 2 ist bijektiv. Ihre Umkehrabbildung ist f 1 (y) = y. 86

14 4 3 y Beachte: Die Funktion f() = 2 kann auch für alle R betrachtet werden, ist dann aber nicht injektiv, folglich gibt es dann auch keine Umkehrfunktion. Verknüpfung von Funktionen Aus gegebenen Funktionen können durch Verknüpfung mittels der Grundrechenarten neue Funktionen gebildet werden. 87

15 Seien f,g : R R Funktionen und λ R. Dann lassen sich auch die folgenden Funktionen definieren: λf : R R, mit (λf)() = λf(), f ±g : R R, mit (f ±g)() = f()±g(), f g : R R, mit f f : R R, mit g (f g)() = f() g(), f() () = g g(). Die Definitionsbereiche sind D(λf) = D(f), D(f ±g) = D(f) D(g), D(f g) = D(f) D(g), ( ) f D = { R : D(f) D(g) und g() 0}. g Wir erinnern daran, dass man auch f g (Verkettung von f und g) bilden kann. Der Definitionsbereich von f g sind diejenigen Elemente R, für die g() im 88

16 Definitionsbereich von f liegt. Beispiel 2.12 Seien f() = 15 3, g() = Dann sind (5f)() = 75 15, (f +g)() = , (f g)() = (15 3)( ) = , ( ) f () = 15 3 g Aus dem Definitionsbereich von f g g(1) = 0 und g(1/2) = 0. Intervalle müssen 1 und 1/2 ausgeschlossen werden, weil Seien a, b R mit a < b. Dann unterscheiden wir die folgenden Typen von 89

17 Intervallen [a,b] = { R : a b} abgeschlossenes Intervall, (a,b) = { R : a < < b} offenes Intervall, [a,b) = { R : a < b} (a,b] = { R : a < b} Intervalle der Form [a, ) = { R : a} (,b] = { R : b} (a, ) = { R : > a} (,b) = { R : < b} halboffene Intervalle. werden uneigentliche Intervalle genannt, die ersten beiden sind abgeschlossene, die letzten beiden offene Intervalle. Monotonie Neben Injektivität und Surjektivität spielen weitere Eigenschaften von Funktionen eine wichtige Rolle. Besonders wichtig ist die Monotonie: 90

18 Seien f : R R eine Funktion und I R ein Intervall im Definitionsbereich von f. Gilt für alle 1, 2 I mit 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ) (bzw. f( 1 ) < f( 2 )) (2.2) dann heißt f (streng) monoton wachsend in I. Gilt für alle 1, 2 I mit 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ) (bzw. f( 1 ) > f( 2 )) dann heißt f (streng) monoton fallend in I. Die Funktion f heißt (streng) monoton wachsend auf dem ganzen Definitionsbereich, wenn die Bedingung (2.2) für alle 1, 2 D(f) mit 1 < 2 erfüllt ist. Entsprechendes gilt für (streng) monoton fallend Die Stückkostenfunktion S() = ist streng monoton fallend. Anschaulich bedeutet das: Je mehr Stücke produziert werden, so geringer sind die 91

19 Stückkosten, um so effizienter ist also die Produktion. Wir halten folgenden interessanten Zusammenhang zwischen Monotonie und Injektivität fest: Ist f streng monoton wachsend (oder streng monoton fallend) dann ist f injektiv, hat also eine Umkehrfunktion. Beispiel 2.13 DieFunktionf() = istauf[0, )strengmonoton wachsend, auf (, 2] streng monoton fallend. Wo genau sich das Wachstumsverhalten umkehrt, ist am Graphen nicht genau zu erkennen. Das werden wir später mit mathematischen Methoden ermitteln können. Können Funktionen nicht beliebig groß oder klein werden, spricht man von beschränkten Funktionen: 92