Kapitel 2: Abbildungen und elementare Funktionen

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1 Kapitel 2: Abbildungen und elementare Funktionen Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 1 / 18

2 Gliederung 1 Grundbegriffe 2 Abbildungen und elementare Funktionen Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 2 / 18

3 Abbildungen Abbildungen sind allgegenwärtig: VL-Nr Zuhörer Jedes Produkt im Supermarkt erhält einen Preis, jedes Buch eine ISBN-Nr., jedes Auto ein Nummernschild... Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 3 / 18

4 Abbildungen Definition 2.1 Eine Abbildung f von Menge A nach Menge B ordnet jedem a A genau ein b = f (a) aus der Menge f (A) B zu. A = D f bezeichnet die Definitionsmenge, B = W f die Wertemenge und f (A) = {b B : a A : f (a) = b} das Bild der Funktion. Schreibe: f : A B a f (a) A f B Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 4 / 18

5 Abbildungen Beachte: Sprachgebrauch, Vereinfachung: f (a) : Bild von a unter f ( Element) f (A) : Bild von f ( Menge) f Funktion oder Abbildung f (a) spezifiziert manchmal auch die Funktion (ohne D f und W f anzugeben), nämlich dann, wenn f besonders einfach ist, z. B. f (x) = x 2 Beispiel 2.2 Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 5 / 18

6 Verkettung Definition 2.3 Seien f 1 : A B und f 2 : B C Abbildungen. Dann heißt die Abbildung f 2 f 1 : A C mit (f 2 f 1 )(x) = f 2 (f 1 (x)) f 2 nach f 1 oder f 2 verkettet mit f 1 Verkettung (auch: Hintereinanderausführung) von f 1 und f 2. D f1 f 1(D f1 ) W f2 f 1 Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 6 / 18

7 Verkettung Beispiel 2.4 Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 7 / 18

8 Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Definition 2.5 Eine Abbildung f : A B, a f (a) heißt injektiv, wenn aus a 1 a 2 auch immer f (a 1 ) f (a 2 ) folgt. surjektiv, wenn auf jedes Element von W f abgebildet wird. bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 8 / 18

9 Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Illustrationen: Injektivität: A B Surjektivität: A B Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 9 / 18

10 Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Illustrationen: Bijektivität: A B Beispiel 2.6 Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 10 / 18

11 Urbild Definition 2.7 Sei f : A B eine Abbildung. Sei Y B. Dann enthält das Urbild von Y all jene Elemente der Definitionsmenge, die nach Y abgebildet werden, d. h f 1 (Y ) = {x D f : f (x) Y } Urbild von Y Beispiel 2.8 Achtung: Das Urbild f 1 (Y ) von Y ist nicht zu verwechseln mit der Umkehrabbildung f 1! Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 11 / 18

12 Umkehrabbildung Definition 2.9 Sei f : A B eine Abbildung. Die Umkehrabbildung f 1 : f (A) A ist definiert durch die Eigenschaft f 1 (y) = x f (x) = y Achtung: Die Umkehrabbildung f 1 ist nicht zu verwechseln mit der Funktion. Beachte: Eine Umkehrabbildung muss nicht existieren. 1 f (x) Satz 2.10 Zu jeder bijektiven Abbildung gibt es eine Umkehrabbildung. Beispiel 2.11 Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 12 / 18

13 Reellwertige Funktionen Definition 2.12 Eine reellwertige Funktion einer (reellen) Veränderlichen ist eine Abbildung f, die jeder Zahl x D f R genau eine Zahl f (x) R zuordnet. Die Variable x wird Argument der Funktion genannt. Wir betrachten im Folgenden reellwertige Funktionen. Definition 2.13 Der Graph Γ f einer Funktion f : D f R ist die Menge Γ f := {(x, f (x)) R R : x D f } Beispiel 2.14 Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 13 / 18

14 Polynome, Nullstellen Definition 2.15 Eine Funktion p : R R heißt Polynom vom Grad n, wenn p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + a n x n mit reellen Koeffizienten a 0, a 1,..., a n R wobei a n 0. Definition 2.16 Sei f : R R eine Funktion. ˆx R heißt Nullstelle von f, wenn f (ˆx) = 0 gilt. Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 14 / 18

15 Polynome, Nullstellen Satz 2.17 Wenn ˆx Nullstelle eine Polynoms p vom Grad n ist, dann gibt es ein Polynom q vom Grad n 1, sodass p(x) = (x ˆx) q(x) gilt. heißt Linearfaktor Korollar 2.18 Polynome vom Grad n besitzen höchstens n Nullstellen. Beispiel 2.19 Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 15 / 18

16 Spezielle Funktionen Notation 2.20 Existiert zu einer Funktion f ihre Umkehrfunktion f 1, so nennen wir f invertierbar. Beispiel 2.21 Definition 2.22 Funktionen der Form f (x) = p(x) q(x) auf D f = {x R : q(x) 0} mit Polynomen p und q heißen rationale Funktionen. Beispiel 2.23 Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 16 / 18

17 Eigenschaften von Funktionen Definition 2.24 Sei f : A R eine Funktion. Wir nennen f a) gerade (ungerade), wenn mit x A auch x A ist und f ( x) = f (x) (f ( x) = f (x)) für alle x A gilt. b) monoton wachsend, wenn aus x 1, x 2 A mit x 1 < x 2 stets f (x 1 ) f (x 2 ) folgt. c) streng monoton wachsend, wenn aus x 1, x 2 A mit x 1 < x 2 stets f (x 1 ) < f (x 2 ) folgt. d) monoton fallend, wenn aus x 1, x 2 A mit x 1 < x 2 stets f (x 1 ) f (x 2 ) folgt. e) streng monoton fallend, wenn aus x 1, x 2 A mit x 1 < x 2 stets f (x 1 ) > f (x 2 ) folgt. f) (streng) monoton, wenn f (streng) monoton wachsend oder fallend ist. Beispiel 2.25 Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 17 / 18

18 Eigenschaften von Funktionen Satz 2.26 Jede streng monotone Funktion ist injektiv. Beweis. Definition 2.27 a) Eine Funktion f : A R heißt beschränkt, wenn ihr Bild f (A) beschränkt ist, d. h. wenn es eine Zahl C R gibt so dass f (x) C für alle x A gilt. b) Eine Funktion, die diese Eigenschaft für keine Zahl C R besitzt, heißt unbeschränkt. c) Eine Funktion f : A R heißt nach oben (nach unten) beschränkt, wenn es eine Zahl C R gibt, mit f (x) C (f (x) C) für alle x A. Beispiel 2.28 Stefan Ruzika (KO) Abbildungen und elementare Funktionen 18 / 18