Analysis. Faktensammlung Analysis Im Modul Wirtschaftsmathematik Sommersemester Prof. Dr. Nikolaus Wolik Wirtschaftsmathematik und Statistik

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1 Analysis Faktensammlung Analysis Im Modul Wirtschaftsmathematik Sommersemester 2013 Prof. Dr. Nikolaus Wolik Wirtschaftsmathematik und Statistik

2 Vorwort Die modernen Wirtschaftswissenschaften nutzen in selbstverständlicher Weise die Instrumente der Mathematik und der Statistik. Dieses Kurzskript soll Ihnen aus dem grundlegenden Gebiet der Analysis diejenigen mathematischen Methoden nahebringen, die für die Wirtschaftswissenschaften besonders wichtig sind. Im Zentrum steht der Begriff der Funktion. Dies ist das mathematische Konstrukt mit dessen Hilfe viele ökonomische Sachverhalte in ihren funktionalen Abhängigkeiten abgebildet werden können, wie zum Beispiel Kosten- oder Produktionsfunktionen. Darüber hinaus gibt uns die Analysis diejenigen Methoden an die Hand, mit deren Hilfe solche funktionalen Zusammenhänge untersucht werden können. Wir beschränken uns darauf, die wichtigsten Kapitel der Analysis darzustellen, die zur adäquaten Lösung von ökonomischen Fragestellungen Verwendung finden können. Diese Unterlage wird im Verlauf des Semesters ständig fortgeführt und ergänzt. 2

3 Inhalt (vorläufig) 1 Grundlagen in Kürze 2 Reelle Funktionen einer Veränderlichen 2.1 Der Begriff der Funktion 2.2 Eigenschaften von Funktionen 2.3 Grenzwert und Stetigkeit 3 Elementare Funktionen einer Veränderlichen 3.1 Typologie der Funktionen 3.2 Ganzrationale Funktionen Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Polynome höherer Ordnung Nullstellen von Polynomen 2.3 Gebrochen rationale Funktionen 2.4 Wurzelfunktionen 2.5 Exponential- und Logarithmusfunktionen 3 Differentiation reeller Funktionen einer Veränderlichen 3.1 Ableitungen 3.2 Ökonomische Bedeutung der Ableitung 3.3 Anwendung der Differentialrechnung 4 Stammfunktion und Integral 4.1 Einfache Integrationen 4.2 Ökonomische Anwendungen 5 Funktionen mehrerer Veränderlicher 5.1 Begriff multivariater Funktionen 5.2 Partielle Ableitungen 5.3 Extremierung von Funktionen mehrerer Veränderlichen Extremierung ohne Nebenbedingungen Extremierung mit Nebenbedingungen

4 0 Grundlagen in Kürze Vgl. Vorlesungsnotizen zu Mengen Binomische Formeln Beachten Sie Übungsblatt 1 1 Reelle Funktionen einer Veränderlichen Analysis ist das mathematische Hilfsmittel zur Untersuchung funktionaler Zusammenhänge in der Ökonomie. In diesem Kapitel lernen wir, wie solche Sachzusammenhänge mit Hilfe der Funktion beschrieben werden können. Dazu lernen wir zunächst die Funktion und ihre Darstellungsmöglichkeiten kennen. Im Anschluß daran werden wir die wichtigsten Eigenschaften von Funktionen diskutieren, sofern sie in der ökonomischen Anwendung von Interesse sind. 1.1 Der Begriff der Funktion Viele ökonomische Größen stehen in einer funktionalen Beziehung zueinander, d.h. die Werte einer ökonomischen Größe hängen in eindeutiger Weise von den Werten anderer ökonomischer Größen ab. Bild 1 Menge Mal Umsatz Preis x p=3 U=px 1 3 1=3 1,2 3 1,2=3,6 Ist für ein Produkt im Markt ein Preis p je Mengeneinheit gegeben, so ist jeder verkauften Mengeneinheit x der Umsatz (=Preis mal Menge) px in eindeutiger Weise zugeordnet. Der Umsatz U ist, bei gegebenen Preis p, eine Funktion der Menge x. U U ( x) p x 4

5 Die Umsatzfunktion U ordnet jeder unabhängigen Variablen x die abhängige Variable U(x) in eindeutiger Weise zu. Nach mathematischer Konvention wird die unabhängige Variable x und die abhängige Variable y genannt. Die Zahlen aus denen die x-werte stammen dürfen, bilden die Definitionsmenge. Wird jedem x aus der Definitionsmenge eindeutig eine Zahl y zugeordnet dann ist y eine Funktion von x und man schreibt y f (x). Bild 2 D(f) W(f) Weitere Schreibweisen: y y(x) oder f : x y f ( x) 1 1,2 x 9 1 3,6 f(x) 27 Mittels der Zuordnungsvorschrift f werden die Funktionswerte y berechnet. Bsp.: Der Umsatz U ist, bei gegebenen Preis p=3, eine Funktion der Menge x. U U ( x) 3 x In diesem Beispiel ist die Zuordnungsvorschrift f(x) = 3x. Die Definitionsmenge wird aus der Zuordnungsvorschrift i.a. durch diejenigen Werte bestimmt, die mathematisch für x eingesetzt werden könnten. In diesem Beispiel können alle reellen Zahlen für x eingesetzt werden. Jedoch sind negative Verkaufsmengen ökonomisch nicht sinnvoll. Daher wird die Definitionsmenge hier sinnvoller Weise auf die nichtnegativen reellen Zahlen eingeschränkt. D( f ) Die Definitionsmenge ist beschreibender Bestandteil der Funktion. Die Menge alle so zu berechnender y-werte heißt Wertebereich W(f) der Funktion. Ist der y-wert einer Funktion von mehreren Parametern abhängig, wie z. B. die zu zahlende Einkommensteuer vom Einkommen, Steuerklasse, Kinderzahl... abhängt, 5

6 so ist y f x,..., x ) ( 1 n eine Funktion in n Variablen. Ihr Definitionsbereich ist eine Teilmenge des n. Solche Funktionen werden erst im Kapitel 5 behandelt. Definition (Reelle Funktionen): Eine reelle Funktion f: D ist eine Abbildung, die jedem x aus einer Teilmenge D des eindeutig eine reelle Zahl y = f(x) zuordnet. D heißt Definitionsbereich von f, x y unabhängige Variable, abhängige Variable. Der Bereich aller so zustande kommenden y-werte ist der Wertebereich von f. Grafische Darstellung von Funktionen Ist eine Funktion y=f(x) gegeben, so kann man eine Wertetabelle anlegen, um sich einen Überblick zu verschaffen, oder die gefundenen Werte in ein Koordinatenkreuz einzeichnen: f(x) = 3x 10 D(f) = + x y Auf diese Weise erhält man eine noch lückenhafte Information über einzelne Werte. Verfeinert man die Wertetabelle und berechnet immer mehr Zwischenschritte so gelangt man schließlich zum Grafen der Funktion, er ist das Bild der durch die Funktionsvorschrift gegebenen Funktion. Graf von f(x)=3x

7 Beispiele ökonomischer Funktionen Lineare Kostenfunktion Progressive Kostenfunktion Degressive Kostenfunktion Preis-Absatzfunktion Quadratische Umsatzfunktion Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion. 7

8 1.2 Eigenschaften von Funktionen Bild 6 verhalten auf. Diese Abschnitte stellen Intervalle dar. Fährt man den Grafen dieser Funktion entlang, so entdeckt man wichtige Eigenschaften und markante Stellen einer Funktion. Die Funktion weist in verschiedenen Abschnitten unterschiedliches Wachstums- Definition (Intervalle): Intervalle sind Teile der reellen Zahlenachse: I=[a,b] := {x a x b } abgeschlossenes Intervall I=(a,b) := {x a<x<b } offenes Intervall I=[a,b) := {x a x<b } rechtsoffenes Intervall I=(a,b] := {x a<x b } linksoffenes Intervall Steigt oder fällt die Funktion in jedem Punkt eines Intervalls, spricht man von Strenger Monotonie; sind konstante Abschnitte möglich, spricht man lediglich von Monotonie. 8

9 Definition (Monotonie): Eine Funktion f: D heißt auf dem Intervall I monoton wachsend, wenn für x 1, x 2 I gilt: aus x 1 <x 2 folgt: f(x 1 ) f(x 2 ) monoton fallend, wenn für x 1,x 2 I gilt: aus x 1 <x 2 folgt: f(x 1 ) f(x 2 ). Definition (Strenge Monotonie): Eine Funktion f: D heißt auf dem Intervall I streng monoton wachsend, wenn für x 1, x 2 I gilt: aus x 1 < x 2 folgt, f(x 1 )<f(x 2 ) streng monoton fallend, wenn für x 1, x 2 I gilt: aus x 1 <x 2 folgt f(x 1 )>f(x 2 ). Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an denen die Funktion die x-achse schneidet. Definition (Nullstellen): Gilt für eine Funktion f: D und für ein x 0 D: f(x 0 ) = 0, dann heißt x 0 Nullstelle von f. 9

10 Bild 7 Fährt man den Grafen dieser Funktion entlang, so entdeckt man wichtige Eigenschaften und markante Stellen einer Funktion. Beschreibt die Funktion von links nach rechts gesehen eine Linkskurve, so nennt man die Funktion in diesem Bereich konvex. Beschreibt sie eine Rechtskurve, nennt man sie im entsprechenden Intervall konkav. Definition (konvex, konkav): Eine reelle Funktion f: D heißt im Intervall I (streng) konvex, wenn für beliebige Werte x 1 und x 2 aus I die Sekante zwischen (x 1,f(x 1 )) und (x 2,f(x 2 )) im Intervall (x 1, x 2 ) stets oberhalb des Grafen von f liegt: x1, x2 D, x1 x2, t (0,1) gilt : f ( tx1 (1 t) x2 ) tf ( x1) (1 t) f ( x2 ) Sie heißt im Intervall I (streng) konkav, wenn für beliebige Werte x 1 und x 2 aus I die Sekante zwischen (x 1,f(x 1 )) und (x 2,f(x 2 )) im Intervall (x 1, x 2 ) stets unterhalb des Grafen von f liegt: x1, x2 D, x1 x2, t (0,1) gilt : f ( tx1 (1 t) x2) tf ( x1) (1 t) f ( x2) Diejenigen Stellen, an denen die Funktion ihren Drehsinn ändert, nennt man Wendestelle der Funktion. Die Eigenschaft der Konvexität respektive der Konkavität sind von großer ökonomischer Bedeutung 10

11 Lokale Extremstellen sind diejenigen Stellen einer Funktion, die zumindest in einem Intervall um diese Stelle herum einen Gipfel, d.h. ein Maximum, oder eine Talsohle, d.h. ein Minimum, darstellen. Die Eindeutigkeit der Zuordnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Definition des Funktionsbegriffes. Zu einem x-wert gehört höchstens ein y-wert. Das folgende Bild stellt somit keine Funktion dar: Bild 8a Man kann vertikale Linien finden, die den Grafen in (mindestens) zwei Punkten schneiden. Einem x wären zwei y-werte zugeordnet. Das folgende Bild stellt jedoch eine Funktion dar: Bild 8b Es ist möglich, dass ein y-wert von zwei verschiedenen x-werten aus erreicht wird. Ist auch dieser Fall ausgeschlossen, dann hat die Funktion eine besondere Eigenschaft, die man Injektivität nennt: Bild 8c Jedes Element y aus dem Wertebereich von f wird nur von einem x aus erreicht. In diesem Fall haben horizontale Linien höchstens einen Schnittpunkt mit dem Grafen der Funktion. 11

12 Umkehrfunktionen Wir betrachten die Nachfragefunktion 1 x N f ( p) p. Sie ordnet jedem Preis p diejenige Menge x zu, die zu diesem Preis auf dem Markt nachgefragt wird. Bild 9a Es ist eine normale Nachfrage damit abgebildet worden: Mit steigendem Preis fällt die Nachfrage. Oftmals stellt man die umgekehrte Frage: Welcher Preis gehört zu einer gegebenen Nachfragemenge x? Bild 9b Am Grafen liest man die Antwort ab, indem man die Leserichtung umkehrt. Die Rolle von abhängiger und unabhängiger Variablen werden vertauscht. Um diese Frage rechnerisch zu beantworten, löst man die Gleichung 1 x N f ( p) 100 p einfach nach p auf: p f 1 ( x n ) 200 2x n. 2 Die nach p aufgelöste Funktionsvorschrift x N f ( p) heißt Umkehrfunktion von f und wird mit p f 1 ( ) bezeichnet. Sie stellt denselben funktionalen Zusammenhang x n dar, jedoch sind die Rollen von abhängiger und unabhängiger Variablen vertauscht. 12

13 Die Auflösung ist nur dann eindeutig möglich, wenn jedes p nur von einem x erreicht wird, d.h. wenn f injektiv ist. Daher sind injektive Funktionen stets auf ihrem Wertebereich umkehrbar. Umkehrbar Bild 10 Nicht umkehrbar Bild 11 Zeichnet man Funktion und Umkehrfunktion in das gleiche Achsenkreuz und vertauscht nur die Abhängigkeiten so entsteht nichts neues. Bild 12 Allerdings ist es üblich, die unabhängige Variable auf der horizontalen und die abhängige Variable auf der vertikalen Achse abzutragen. In der Mathematik ist es eine Konvention, die unabhängige Variable mit x und die abhängige Variable mit y zu bezeichnen. Da in ökonomischen Funktionen die Bezeichnungen eine Interpretation haben, ist hier allerdings eine Umbenennung (ein Variablentausch) nicht angebracht. 13

14 1.3 Grenzwert Mit dem Grenzwert einer Funktion versucht man zu beschreiben, welchem Wert sich die Funktionswerte nähern, wenn man sich mit den Argumenten einer bestimmten Stelle nähert oder ob die Funktion über alle Grenzen wächst. Betrachten wir die Funktion 2x f ( x) 2 4x 2 x 1. Sie ist für x=1 nicht definiert. Rechnet man allerdings die Funktionswerte aus für Argumente die immer näher bei Eins liegen, so erkennt man, dass sich die Funktion dem Wert 2 nähert. Der Grenzwert der Funktion für x gegen 1 ist 2: lim f ( x) 2 x 1 Bild 13 Wächst die Funktion allerdings über (unter) alle Grenzen, wenn x gegen x 0 strebt, dann nennt man die Funktion bestimmt divergent. lim f ( x) x x 0 lim x x 0 f ( x) 14

15 Bild 15 Verhalten der Funktion im Unendlichen: Läßt man x gegen Unendlich streben, so kann es sein, daß sich die Werte f(x) immer mehr einer reellen Zahl a annähern. lim f ( x) a x 15