Mathematische Grundlagen

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1 Mathematische Grundlagen Ökonomische Entscheidungen und Märkte IK Alexander Ahammer Institut für Volkswirtschaftslehre Johannes Kepler Universität Linz Letztes Update: 6. Oktober 2017, 12:57 Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 1 / 29

2 Warum Mathematik? Ökonomie beruht auf Theorien und Modellen. Ein Modell ist die vereinfachte Darstellung der Realität. Mathematik wird benötigt um diese Modelle kurz und präzise zu formulieren, dabei aber dennoch logisch zu halten. Studying economics without maths is like studying literature when you can t read without moving your lips not impossible, but difficult. Undercover Economist, FT.com, 20. Februar 2010 Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 2 / 29

3 Grundlagen Rechnen mit Potenzen & Wurzeln (Lineare) Funktionen Differentialrechnung Differentiation Partielle Differentiation Integralrechnung Nützliche Ressource: Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 3 / 29

4 Potenzen & Wurzeln Allgemein Ganzzahlige Potenzen a n = a } a {{ a}, a R, n N n Faktoren a n a m = a n+m a n a m = an m ( ) 1 n a n = = 1 a a n, a 0 Gebrochene Potenzen m a n = a n m Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 4 / 29

5 Potenzen & Wurzeln Beispiel Was ist a 0, a 0? a 0 = a 1 1 = a 1 a 1 = a 1 = a a = 1 1 a 1 Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 5 / 29

6 Potenzen & Wurzeln Weitere Regeln (a n ) m = a n m (a b) n = a n b n ( a b ) n = an b n, b 0 Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 6 / 29

7 Potenzen & Wurzeln Aufgaben Aufgabe 1 Vereinfachen Sie x 2 x 3 x 1 2 x 5 6 (x 1 3 ) 2 x2 x 1 2 (xy)2 y 3 y α y 2β 3 x 2 x 1 6 Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 7 / 29

8 Funktionen Allgemein Eine Funktion f : X Y ist eine Regel, die jedem Element x R einer Definitionsmenge X genau ein Element y = f(x) aus der Zielmenge Y zuordnet. Abbildung 1: Funktion mit Definitionsmenge X = {1, 2, 3} und Zielmenge Y = {a, b, c, d} Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 8 / 29

9 Funktionen Beispiele Beispiele für Funktionen das Einkommen y in Abhängigkeit der Arbeitsstunden x: y = f(x) die nachgefragte Menge q d in Abhängigkeit vom Preis des Gutes p: q d = f(p) Graphische Darstellung Mögliche x-werte werden auf der horizontalen Achse (Abszisse), und entsprechende Funktionswerte f(x) auf der vertikalen Achse (Ordinate) eingezeichnet. Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 9 / 29

10 Funktionen Weitere Beispiele für Funktionen Lineare Funktionen: ist eine spezielle Funktion der Form f(x) = kx + d mit k, d R, wobei d der Ordinaten-Abschnitt und k die konstante Steigung der Funktion ist. Funktionen mit mehreren Argumenten: Zum Beispiel f(x, y) = x 2 + 5y. Graphische Darstellung im mehrdimensionalen Raum. Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 10 / 29

11 Einfache Differentialrechnung Einführung Oft ist es von Interesse, wie sich f(x) verändert, wenn wir x minimal ändern. Beispiel: Wie ändern sich die Produktionskosten für ein Auto, wenn sich der Preis für Aluminium erhöht? Hierfür benötigt man die Ableitung einer Funktion. Definition: Ableitung Sei f eine (reelle) Funktion. Die Ableitung von f an der Stelle x ist der Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x, f(x)). Sie wird mit dem Symbol f (x) bezeichnet und gibt an, wie sich f(x) ändert wenn sich x um einen beliebig kleinen Betrag x ändert. Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 11 / 29

12 Einfache Differentialrechnung Graphisch Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 12 / 29

13 Einfache Differentialrechnung Aufgaben Aufgabe 2 Gegeben sei die lineare Funktion f(x) = 2x + 3. Graphisch Rechnerisch Zeichnen Sie die Funktion sowie das Steigungsdreieck f(x) x. Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = 2x + 3 rechnerisch. Interpretation Wie verändert sich f(x), wenn x um eine Einheit steigt? Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 13 / 29

14 Einfache Differentialrechnung Prozedere Allgemein Wir suchen die Ableitung einer Funktion f(x) and der Stelle x 0. Dazu legen wir eine Tangente an den Punkt x 0 und nähern die Steigung der Tangente durch die Steigung einer Sekante durch die Punkte x 0 und x 0 + x an. Definition: Sekante Eine Sekante ist eine Gerade die durch (mindestens) zwei Punkte eines Funktionsgraphen f verläuft. Die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte (x 0, f(x 0 )) und (x 1, f(x 1 )) des Graphen der Funktion f ist gegeben durch m s = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 = Änderung in f(x) Änderung in x = f(x) x Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 14 / 29

15 Einfache Differentialrechnung Graphische Darstellung Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 15 / 29

16 Einfache Differentialrechnung Allgemein Finden der Ableitung im Punkt x 0 Wir können x 1 auch als Distanz von x 0 ausdrücken: x 1 = x 0 + ε Lassen wir x 1 immer weiter gegen x 0 wandern (d.h. ε wird immer kleiner) so nähert sich die Steigung der Sekante durch die Punkte (x 0, f(x 0 )) und (x 0 + ε, f(x 0 + ε)) immer weiter der Tangente an den Funktionsgraph im Punkt (x 0, f(x 0 )) an. Formal: f (x 0 ) = lim ε 0 f(x 0 + ε) f(x 0 ) ε f (x 0 ) ist der Differentialquotient an der Stelle x 0. Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 16 / 29

17 Einfache Differentialrechnung Beispiel II Berechne die Steigung der Tangente einer Funktion f(x) = x 2 im Punkt 2. Der Differentialquotient der Funktion in einem beliebigen Punkt x 0 ist f (x 0 ) = lim ε 0 f(x 0 + ε) f(x 0 ) ε = lim ε 0 (x 0 + ε) 2 x 2 0 ε x 2 0 = lim + 2x 0ε + ε 2 x 2 0 ε 0 ε 2x 0 ε + ε 2 = lim = 2x 0 + ε ε 0 ε = 2x 0 Die Steigung im Punkt x 0 = 2 ist deshalb f ( 2) = 2 ( 2) = 4. Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 17 / 29

18 Einfache Differentialrechnung Differentiationsregeln Allgemein gilt: Funktion Ableitung Ableitung eines Vielfachen cf(x) cf (x) Ableitung einer Summe f(x) + g(x) f (x) + g (x) Produktregel f(x)g(x) f (x)g(x) + f(x)g (x) Quotientenregel f(x) g(x) f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) 2 Kettenregel g(g(x)) f (g(x))g (x) Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 18 / 29

19 Einfache Differentialrechnung Differentiationsregeln Spezielle Funktionen: Konstante Funktion f(x) = c f (x) = 0 Beispiel: f(x) = 8 f (x) = 0 Lineare Funktion f(x) = kx + d f (x) = k Beispiel: f(x) = 3x + 5 f (x) = 3 Potenzfunktion f(x) = x n, n N f (x) = nx n 1 Beispiel: f(x) = x 5 f (x) = 5x 4 Exponentialfunktion f(x) = e f(x) f (x) = f (x)e f(x) Beispiel: f(x) = e 2x f (x) = 2e 2x Beispiel: f(x) = e x f (x) = e x Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) f (x) = 1 x Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 19 / 29

20 Einfache Differentialrechnung Lingo Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 20 / 29

21 Einfache Differentialrechnung Lingo Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 21 / 29

22 Einfache Differentialrechnung Aufgaben Aufgabe 3 Gegeben seien folgende Funktionen: 1. f(x) = x 2. f(x) = 5 x 2 3. f(x) = ln(x 2 ) Berechnen Sie die Ableitungsfunktionen und skizzieren Sie f(x) und f (x). Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 22 / 29

23 Partielle Differentialrechnung Allgemein Partielle Ableitungen einer Funktion mit mehreren Argumenten werden berechnet, indem jeweils nach einer Variable differenziert wird und alle übrigen Variablen konstant gehalten werden, z.b.: f(x, y) = x 2 + 8x + 3y Die partielle Ableitung nach x ist f x (x, y) = f(x, y) x = 2x + 8 Die partielle Ableitung nach y ist f y (x, y) = f(x, y) y = 15y 4 Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 23 / 29

24 Partielle Differentialrechnung Allgemein Weiteres Beispiel zur partiellen Differentiation: f(x, y, z) = x α y β z γ Die partielle Ableitung nach x ist f x (x, y, z) = Die partielle Ableitung nach y ist f(x, y, z) x = αx α 1 y β z γ f y (x, y, z) = f(x, y, z) y = βx α y β 1 z γ Die partielle Ableitung nach z ist f z (x, y, z) = f(x, y, z) z = γx α y β z γ 1 Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 24 / 29

25 Partielle Differentialrechnung Aufgabe Aufgabe 4 Gegeben sei die Funktion f(x, y, z) = xy 2 z. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen nach allen drei Argumenten. Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 25 / 29

26 Integralrechnung Informelle Diskussion Notwendig um die Fläche unter nicht-linearen Funktionen zu berechnen. Das Integral über das Intervall [a, b] für die Funktion f(x) ist b a f(x) dx Das Integral ist das Gegenstück zum Differenzial und gibt die Fläche unter f(x) an. Wir suchen eine Funktion F (x) so dass gilt F (x) = f (x) Beispiel: x a dx = 1 a+1 xa+1 Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 26 / 29

27 Integralrechnung Informelle Diskussion Gegeben sei die Funktion f(x) = x 2, wir wollen die Fläche unter der Funktion im Intervall [4, 6] berechnen. Vorgehensweise: 1. Stammfunktion finden f(x) = x 2 F (x) = 1 3 x Berechnung des Integrals 6 x 2 dx = F (6) F (4) 4 = ,67 Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 27 / 29

28 Integralrechnung Beispiele Berechnen Sie die Fläche im angebenden Intervall unter den folgenden Funktionen: x + 5 dx 2 2 x3 dx Abbildung 2: Graphen für die Funktionen 1 2 x + 5 (links) und x3 (rechts). Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 28 / 29

29 Fragen? Alexander Ahammer (U Linz) Mathematik 29 / 29