5 DIFFERENZIALRECHNUNG EINFÜHRUNG

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1 M /, Kap V Einführung in die Differenzialrechnung S 5 DIFFERENZIALRECHNUNG EINFÜHRUNG Zielvorgabe für die Kapitel 5 bis 55: Wir wollen folgende Begriffe definieren und deren Bedeutung verstehen: Differenzenquotient, auch (mittlere) Änderungsrate genannt Momentane Änderungsrate an einer Stelle x, auch Ableitung an einer Stelle x genannt Ableitungsfunktion 5 Differenzenquotient, (mittlere) Änderungsrate Erschrick an dem Ausdruck f ( b) f ( a) b a nicht: Stelle dir den Zusammenhang mit Steigungsdreieck, Geradensteigung in Mathe Kl 8, und mit Definition der Geschwindigkeit, Mittlere Geschwindigkeit in Physik Kl8/ her f ( b) f ( a) Definition: bezeichnet man als Differenzenquotient b a oder (mittlere) Änderungsrate der Funktion f im Intervall [a ; b] Ein Beispiel: Betrachten wir das Schaubild der Funktion f : x x 3x also eine Normalparabel mit Scheitel S (,5,5) Wie ändert sich der Funktionswert im Intervall [ ; 4]? Er ändert sich um 6, denn f ( ) und f ( 4) 6 Die mittl Änderungsrate der Funktion f im Intervall [ ; 4] f ( b) f ( a) 6 ist somit 3 b a 4 (vgl Steigungsdreieck : nach rechts, 6 nach oben) In Worten: Der Differenzenquotient der Funktion f : x x 3x im Intervall [ ; 4] ist 3 Oder: Die mittlere Änderungsrate der Funktion f : x x 3x im Intervall [ ; 4] ist 3 Nebenbemerkung: Mit Hilfe der Zweipunkteform kann man die Gleichung der eingezeichneten Geraden (= lineare Näherungsfunktion ) bestimmen: g : x 3x 6 Die Steigung dieser linearen Näherungsfunktion von f im Intervall [ ; 4] ist 3 Script - Mathematik Kl /, Schuljahr 9/, Rohmer Druckdatum: 9

2 M /, Kap V Einführung in die Differenzialrechnung S 5 Momentane Änderungsrate Um vom Differenzenquotient zur momentanen Änderungsrate zu kommen, verkleinern wir das Intervall immer weiter (Die math Kurzschreibweise lim beschreibt genau dieses), Intervall genauso wie wir von der mittleren Geschwindigkeit zur Momentangeschwindigkeit kommen Definition: f ( x lim xx x x ) Momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x Unser Beispiel: Um die momentane Änderungsrate von f bei x zu berechnen, müssen wir den Differenzenquotienten von f im Intervall [ ; x] für den Grenzwert x berechnen (hierbei: Polynomdivision): f () x 3x lim lim lim ( x ) x x x x x In Worten: Die momentane Änderungsrate der Funktion f : x x 3x bei x ist Oder: Die Steigung der Tangente bei x ist Nebenbemerkung: Mit Hilfe der Punkt-Steigungsform kann man die Gleichung der eingezeichneten Geraden (= Tangente ) bestimmen, nämlich g : x x 53 Die Ableitung an der Stelle x Definition des Begriffs Ableitung (eine präzisere Formulierung steht im Buch): f ( x ) Die in 5 definierte momentane Änderungsrate f '( x ) lim x x x x bezeichnet man auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x In unserem Beispiel: Die Ableitung der Funktion f : x x 3x an der Stelle x ist, kurz: f '( x ) f '() 54 Von der Ableitung zur Funktion (Dieses Kapitel ist unwichtig) -> Lokale Näherungsformel Script - Mathematik Kl /, Schuljahr 9/, Rohmer Druckdatum: 9

3 M /, Kap V Einführung in die Differenzialrechnung S 3 55 Die Ableitungsfunktion Wir wollen nun die Ableitung von f an der Stelle x zu jedem beliebigen x-wert bestimmen, dh wir suchen eine Funktion f ' (die sogenannte Ableitung von f ), die zu jedem beliebigen x-wert die zugehörige Steigung der Tangente angibt Die Funktion f ': x f '( x) heißt Ableitung oder Ableitungsfunktion von f Nebenbemerkung: Die Ableitung nach x wird mit Strich geschrieben: f ' Ableitung nach der Zeit t mit Punkt: h In unserem Beispiel: Wir bilden zunächst allgemein für ein bestimmtes x die Ableitung von f an der Stelle x : f ( x ) x 3x ( x 3x ) x x 3x 3x f '( x ) lim lim lim lim ( x x 3) x xx x x xx x x xx x x xx also: f '( x) x 3 (im zweitletzten Schritt wurde eine Polynomdivision durchgeführt) Wir müssen nun noch x in x umbenennen: Für beliebiges x lautet also die Ableitung der Funktion f folgendermaßen: f '( x) x 3 Mit Hilfe der Ableitungsfunktion kann man nun die Steigung der Tangente zu jedem beliebigen x-wert sofort angeben: zb für x Tangentensteigung f '() 3 zb für x 5 Tangentensteigung f '(5) Ergebnis: In Kapitel 5 sind wir ausgegangen von einer Funktion x 3x Durch Ableitung der Funktion f(x) nach x haben wir daraus in Kapitel 55 nun schließlich deren Ableitungsfunktion f '( x) x 3 vorliegen, mit Hilfe derer man die Steigung der Tangente an das Schaubild von f an jeder beliebigen Stelle x sofort angeben kann 3 Übungen: Übe nun 5 bis 55 analog mit einigen anderen Funktionen wie zb: f : x x mit [a ; b] = [ ; 4] und x 4 3 f : x x mit [a ; b] = [ ; ] und x Und nun möchte ich euch mit Hilfe eines Vorausblicks wieder Mut machen: Es gibt unendlich viele Anwendungen, bei denen die Ableitung einer Funktion benötigt wird Differenzialrechnung ist unbestritten ein sehr wichtiges Teilgebiet der Mathematik Deshalb brauchen wir das Verständnis der Kapitel 5 bis 55 als Grundlage hierfür Es gibt aber einige einfache Ableitungsregeln, mit Hilfe derer man die Ableitung einer Funktion sofort angeben kann, so dass man in der Praxis in der Regel nicht den in 5 bis 55 beschriebenen Weg über Differenzenquotient und Grenzwertbildung gehen muss Script - Mathematik Kl /, Schuljahr 9/, Rohmer Druckdatum: 9

4 M /, Kap V Einführung in die Differenzialrechnung S 4 56 Die Ableitung der Potenzfunktion Potenzregel: Die Ableitung der Potenzfunktion f n : x x ist n f ': x n x Beispiele und Aufschrieb: selbst 57 Summen- und Faktorregel Summenregel: Die Ableitung einer Funktion f, die sich additiv aus den Einzelfunktionen g und h zusammensetzt, also f g h, ist f ' g' h' Faktorregel: Die Ableitung einer Funktion f, die das c-fache einer Funktion g ist, also ist f ' c g' Beispiele und Aufschrieb: selbst f c g 58 Ableiten ganzrationaler Funktionen, höhere Ableitungen Eine ganzrationale Funktion vom Grad n ist differenzierbar und ihre Ableitung ist eine ganzrationale Funktion vom Grad n 59 Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion 59 Wiederholung Sinus- / Kosinusfunktion Besondere Werte (Winkel und Bogenmaß), die sich aus der Darstellung am Einheitskreis ergeben: Um sich die Werte klarzumachen, genügt einfachste Dreiecksgeometrie Winkel Bogenmaß x Sinx 3 Cosx 3 Die Tabelle lässt sich auf Werte größer als 9 bzw (zb mit dem Schaubild) ausweiten Eselsbrücke für die besonderen Werte zum Merken:,,, 3, 4 Script - Mathematik Kl /, Schuljahr 9/, Rohmer Druckdatum: 9

5 M /, Kap V Einführung in die Differenzialrechnung S 5 Daraus ergibt sich folgendes Schaubild für die Sinuskurve: sin x Die sin-funktion hat die Periode und die Amplitude (Schwingungshöhe) Dh: sin( x ) sin x Entsprechend ergibt sich für die Kosinuskurve: cos x cos( x ) cos x Die Kosinuskurve unterscheidet sich von der Sinuskurve lediglich durch eine Verschiebung um nach links Wegen der jeweiligen Symmetrie lassen sich die speziellen Werte der ganzen Periode ableiten Veränderungen im Schaubild: Streckung längs der y-achse (Amplitude): a sin x das Schaubild von y sin x wird längs der y-achse mit dem Faktor a gestreckt bei negativem a erfolgt zusätzlich noch eine Spiegelung an der x-achse Streckung längs der x-achse ( Geschwindigkeit ): sin( k x) das Schaubild läuft k-fach so schnell durch eine Periode: kx, damit ergibt sich für die Periodenlänge p die Gleichung: p k das Schaubild von y sin x wird längs der x-achse mit dem Faktor k gestreckt Aufgabe: Zeichne das Schaubild von cos( x) Script - Mathematik Kl /, Schuljahr 9/, Rohmer Druckdatum: 9

6 M /, Kap V Einführung in die Differenzialrechnung S 6 Verschiebung längs der y-achse: sin x c ist bekannt von den Parabeln oder Geraden Verschiebung längs der x-achse: f x) sin( x x ) ( ist bekannt von der Scheitelform der Parabel y ( x ) Beachte: bei y cos( x 4) ist zuerst umzuformen: y cos( ( x )) Periodenlänge ; Verschiebung um nach rechts Zusammenfassung: allgemeiner Typ a sin( k( x x )) c Reihenfolge: ) p, ) a (evtl Spiegelung), 3) x, 4) c Übungen: geeignet: GTR oder Mathe-Grafikprogramm zb Maple oder Mathgraf (shareware -> Suche mathgraf über wwwgooglede) Hinweis: Beginne mit der Darstellung von sin x und füge dann Parameter wie a, x und c sukzessive hinzu 59 Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion Die Ableitung der Sinusfunktion f : x sin x ist f ': x cos x Die Ableitung der Kosinusfunktion f : x cos x ist f ': x sin x Dies macht man sich am besten grafisch klar (Stichwort: Tangentensteigung) Die Ableitung von f : x a sin x ist f ': x a cos x (Faktorregel 57) (entsprechend beim Kosinus) Die Ableitung von f : x sin( kx) ist f ': x k cos( kx) (Erklärung anschaulich grafisch, formal später in Klasse : Kettenregel) Die Ableitung von f : x sin( x x) ist f ': x cos( x x) (Erklärung anschaulich grafisch, formal später in Klasse : Kettenregel) allgemein: Die Ableitung von f : x asin( kx x ) c ist f : x ak cos( kx x ) ' Script - Mathematik Kl /, Schuljahr 9/, Rohmer Druckdatum: 9