Der Ableitungsbegriff

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1 GS abl_01_grundbegr.mcd Der Ableitungsbegriff - Die Steigung von Graphen - 1. Einführung in die Problematik: Bekannt ist der Funktionswert einer Funktion f an einer bestimmten Stelle x 0. Interessant: Änderung des Funktionswertes f(x 0 ), wenn sich das Argument x 0 ändert. Die Differentialrechung ermöglicht es, auf der Grundlage des Grenzwertbegriffes Eigenschaften von Funktionen zu untersuchen. 2. Der Differenzenquotient: Beispiel: Der bei einer Bewegung eines Körpers zurückgelegte Weg lässt sich durch folgende Funktion beschreiben: Bewegungsablauf s( t) t 3 6 t t + 32 Welche Wegstrecke s wird in einem bestimmten Zeitintervall t zurückgelegt? Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit? Weg s in Meter Wir betrachten in der Mathematik die Funktion f ohne Einheiten: f( x) x 3 6 x x + 32 Zeit t in Sekunden Die Änderungsrate einer Funktion kann mit Hilfe des Steigungsdreiecks einer Geraden, hier die Sekantensteigung, beschrieben werden. y 1 y 0 Steigung der Sekante: m Nun gilt: y 0 f( x 0 ) x 1 x 0 y 1 f x 1 x 1 x 0 + f( x 0 ) m f x 1 x 1 x 0 Wähle x beliebig, d.h. x 1 x m f( x) f x 0 f( x 0 ) f x 1 y - Achse Funktion mit Änderungsrate Q(x 1 /y 1 ) P(x 0 /y 0 ) x 0 G f x 1 x 0 + x - Achse 1 / 5

2 Definition: Differenzenquotient (FS Seite 57/A1) Die Steigung der Sekante an der Stelle x 0 heißt: Differenzenquotient an der Stelle x : 0 f( x) f x 0 und allgemein Differenzenquotient an der Stelle x: f( x + ) f( x) 3. Der Differentialquotient: Funktion mit Sekanten und Tangente Gesucht ist die Steigung der Tangente an der Stelle x 0. y - Achse Sekante 1 Sekante 2 Sekante 3 Tangente Der Punkt P der Sekante ist fest. der Punkt Q wandert auf dem Graphen G f zum Punkt P. Das bedeutet: Die Intervallsekante geht in die Tangente, P(x 0 /y 0 ) x - Achse die Steigung der Sekante geht in die Steigung der Tangente und der Differenzenquotient geht in den Differentialquotient über. Definition: Differentialquotient (FS Seite 57/A2) Lässt man den rechten Kurvenpunkt in den linken Kurvenpunkt wandern, schreibt der Mathematiker: Differentialquotient an der Stelle x : 0 und allgemein f( x) f x 0 lim lim 0 0 df x 0 f' x 0 Differentialquotient an der Stelle x: dy y' lim 0 f( x + ) f( x) df( x) f' ( x) Bezeichung: Der Term f' x 0 heißt 1. Ableitung der Funktion f x Die Funktion f' ( x 0 ) heißt Ableitungsfunktion. an der Stelle x 0. 2 / 5

3 Wähle: k : 0 Animation von 0 bis 32 Die Sekante wird zur Tangente x 0 + linker Punkt fest: x 0 2 rechter Punkt: x x / 5

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5 4. Die Anwendung im Eingangsbeispiel: Mit dem Hilfmittel "Differentialquotient" kann nun in jedem beliebigen Kurvenpunkt die Steigung der Tangente angegeben werden. Das heißt konkret für das Beispiel: s Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt: v_. Das ist die Steigung der Sekante. t s Die Momentangeschwindigkeit beträgt: v lim Das ist die Steigung der Tangente. t 0 t k : 50 Animation von 0 bis, k 0 setzen 1 1 Tangentensteigung Mathematik: Steigung: f x ( x 0 ) Physik: 2 1 Weg: Geschwindigkeit: Beschleunigung: s( t) 82.00m v( t) m s a( t) m s 2 Physikalischer Hintergrund: Übergang Durchschnittsgeschwindigkeit - Momentangeschwindigkeit D5_Momgeschw.mcd Anwendungen: Horizontale Tangenten und Monotonie: abl_04_ersteabl.mcd Höhere Ableitungen und Krümmung: abl_05_zweiteabl.mcd 5 / 5