durchschnittliche Steigung Steigung in einem Punkt; berührt die Funktion nur noch in diesem Punkt x 1 (x 1 -x 0 ) f(x ) - f(x ) Sekantensteigung: m =

Transkript

1 5 Differentialrechnung in einer Veränderlichen 5. Differentiation elementarer Funktionen 5.. Begriff der Ableitung Hierbei wird die Frage nach der Steigung in einem Punkt behandelt Ausgangsidee: Unterscheidung zwischen Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit DEFINITION Sekante Tangente durchschnittliche Steigung Steigung in einem Punkt; berührt die Funktion nur noch in diesem Punkt Sekante f( ) f( ) } f( ) - f( ) Tangente ( - ) Die Strecke zwischen und sei h cm lang. Daher gilt auch: = + h f( ) - f( ) Sekantensteigung: m = s - geometrische Erklärung: Die. Ableitung f () beschreibt die Steigung der Funktion bzw. die der Tangentensteigung in. f( + h) - f( ) Tangentensteigung: m t = lim h + h - f( + h) - f( ) m t = lim h h = f'( ) m = f () Steigung Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 3 von 55 Stand: 5..5

2 f() = ½ ² m = f () f () = f`() = Steigung in diesem Punkt? = 5. Ableitungsregeln 5.. Grundlegende Ableitungstechniken für alle Funktionen folgender Form ) f() = ³ f () = 6² ) f() = ¼ 8 f () = 7 f() f() = = 3) Ableitung 4) f'() f'() = = ² f() = f() = Ableitung f'() f'() = = 5.. Summenregel Die Ableitung ist die Summe der Einzelableitungen. Ist eine Konstante in f() vorhanden (Zahl ohne ), so wird diese in der Ableitung bzw. fällt weg. Beispiel f() = 3² + - f () = 6 + f() = ¼ b f () = Produktregel f() = n f () = n (n-) f() = n() + v() f () = n () + v () f() = u() v() f () = u () v() + u() v () Beispiele f() = (³ - ) f () = (3-) + (3²) = ³ - + 3³ = 4³- Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 33 von 55 Stand: 5..5

3 5..4 Quotientenregel u() f() = f'() = v() u'() v() u() v'() (v())² Die Ableitung ist der Quotient von (Ableitung der. Funktion Nenner) minus (. Funktion Ableitung des Nenners) durch den Nenner im Quadrat. Beispiele ² f() = ² + ()(² + ) (²( ) f'() = (² + )² ³ 4² + ³ ² = (² + )² 6² = + (² + )² t³ f(t) = t 3t²(t ) t³() f'(t) = (t )² 3t³ 3t² t³ = (t )² t³ 3t² = (t )² 5..5 Kettenregel (Ableitung verschachtelter Funktionen) Die. Ableitung ist das Produkt der. Ableitung der äußeren Funktion und der. Ableitung der inneren Funktion. Beispiele f(g()) f (g()) = f (g) g () f() = 3² + f'() = (3² + ) (6 + ) 6 + = 3² f() = ( ²) f'() = 7( ²) (6 4) äußere Funktion: Wurzel innere Funktion: 3²+ äußere Funktion: (...) 7 innere Funktion: 6 -² Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 34 von 55 Stand: 5..5

4 5..6 Besondere Ableitungen Logarithmusfunktion f() = ln f'() = Beispiel f() = ln(² ) f'() = ² Basis ist Eulersche Zahl [Kettenregel anwenden!] Beispiel f() = e ²- f () = e ²- (-) f() = e f () = e nach Kettenregel: äußere Funktion: e... ; innere Funktion: ² Ableitungen, wenn Variable als Eponent eistiert lna I. f() = a = e lna lna = e f'() = e lna = a lna II. f() = = e = e f'() = e ln + ln ln ln = e (ln +) = (ln +) 5.3 Kurvendiskussion 5.3. Definitionsbereich Für welche -Werte ist die Funktion definiert? ganzrationale Funktionen D = R Logarithmus-Funktionen Argument des log > 5.3. Smmetrie Achsensmmetrie (Ordinate) Beispiel f() = ² f(-) = (-) 6-3(-) 4 +(-)² = ² f() = f(-) f() = f(-) Smetrieachse Punktsmmetrie (hier: am Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 35 von 55 Stand: 5..5

5 Ursprung) Beispiel f() = ³ f(-) = 3(-) 7 -(-) 5 +4(-)³ = ³ -f(-) = ³ f() = -f(-) f() = -f(-) S m e trie p u n k t Alternativregeln: sind alle Eponenten gerade ist die Funktion achsensmetrisch sind alle Eponenten ungerade ist die Funktion punktsmetrisch Nullstellen Etrema: Bedingungen. notwendig f() = f () = m = Maimum oder Minimum eistiert. hinreichend f ( ) > Minimum f ( ) < Maimum m< m> Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 36 von 55 Stand: 5..5

6 Tangente (m= ) Sonderfall: Was geschieht, wenn f () = gilt? f() = 4 f () = 4³ = = f ( ) = ² f () = ² = f (-) = 4(-)³ = - 4 f () = 4()³ = 4 Obwohl f () = gilt, zeigt der Graph der Funktion f() = 4 deutlich, dass er an der Stelle ( ) ein Minimum besitzt. Ersatzkriterium: Wenn. und. Ableitung jeweils sind, dann sollte man das Steigungsverhalten links und rechts von dem ermittelten -Wert untersuchen. Hierzu setzt man einen frei wählbaren Wert links von in f () ein - im Beispiel wäre dies (-)-: f (-) = 4 (-)³ = -4. Genauso verfährt man mit einem beliebigen -Wert rechts von - z. B. (): f () = 4 ()³ = 4. Im ersten Fall liegt eine Steigung von -4 vor; im zweiten Fall eine von 4. Da wir von einer stetigen Funktion ausgingen d. h. es liegen keine Sprünge oder Unstetigkeitsstellen vor folgt: aus dem Übergang von negativen in ein positives Steigungsverhalten in muss die Steigung betragen haben Etremwert in Die Art des Etremwerts wird durch den Übergang des Steigungsverhaltens bestimmt:. von m < m > Minimum m< m>. von m > m < Maimum Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 37 von 55 Stand: 5..5

7 m> m< Wendepunkte f () = f (). f() = ³ f () = 3² f ()= 6 = = f ()= 6 f ()= 6 Wendepunkt = notwendig hinreichend. f() = f () = f ()= f ()= kein Wendepunkt 3. f() = 5 f () = 5 4 f ()= ³ = = f ()= 6² f ()=? Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 38 von 55 Stand: 5..5

8 4. f() = 4 f () = 4³ f ()= ² = = f ()= 4 f ()=? Ersatzkriterium für Sonderfälle: Am Wendepunkt ändert f das Vorzeichen beim Einsetzen von links- und rechtsseitigen Werten von (vgl. Überlegung Etrema). f () = ³ f (-) = - f () = f()= 5 hat in ( ) doch einen Wendepunkt, obwohl f () = gilt Grenzwertverhalten ± Skizze 5.4 Anwendungsbeispiele der Differentialrechnung 5.4. Newton-Verfahren Ziel: Iterative Ermittlung von Nullstellen höherwertiger Funktionen Tangente f() f() Steigung der Tangente (m): f( ) f'( ) = daraus folgt: Nullstellenwert ist gesucht Newton-Iterationsformel = - f() f'( ) Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 39 von 55 Stand: 5..5

9 = = ² ² = f( ) = ² = (Startwert muß frei gewählt werden) f'( ) = f( ) = f'( ) f( ) = f'( ) = = 5, =, = = = = 3 4, Man kann erkennen, dass nach zwei Iterationsvorgängen bereits ein sehr eakter Wert erzielt werden kann. Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 4 von 55 Stand: 5..5

10 5.4. Grenzwertberechnung mit Hilfe der Regel von L Hospital Gelangt man beim Grenzwertübergang zu folgender Situation:. lim f() = g() bzw.. lim f() = g() oder zu einer Kombination aus. und., dann muss geprüft werden, welcher Teil (Nenner oder Zähler) schneller gegen bzw. strebt. z. B.: lim e e = = Frage: Strebt e oder schneller gegen Unendlich? Dieses Problem und der damit verbundene Grenzwert kann mit Hilfe der Regel von L Hospital gelöst werden: Die Funktionen im Zähler und Nenner werden getrennt voneinander differenziert, d. h. keine Quotientenregel anwenden. Danach wird abermals ein Grenzwertübergang durchgeführt. Sollte dann immer noch die Ausgangssituation ; ; ; auftreten, werden die Differentiation und der Grenzwertübergang noch einmal wiederholt. e e lim = = = Differentiation von e e und Grenzwertübergang Daraus ist zu erkennen, dass e schneller gegen große Zahlen strebt als. Christian Leitner und Jürgen Meisel Seite 4 von 55 Stand: 5..5