Vorlesung Mathematik I

Transkript

1

2 Vorlesung Mathematik I Wiederholungseinheit Dierentialrechnung Pro. Dr. Ael Ho nta-hochschule Isny Fachgebiete Datenanalyse, Mathematik, Modellbildung und Simulation Lehrgebiet Ingenieur-Mathematik Wintersemester 5 / 6 Timo Meyer

3 Dierentialrechnung: I. Dierenzenquotient II. Dierentialquotient III. Ableitung IV. Ableitungen wichtiger Funktionen V. Dierentiationsregeln VI. Ableitung der Umkehrunktion VII. Höhere Ableitungen VIII. Etrema und Wendepunkte IX. Symmetrie / 35

4 I. Dienzenquotient: Sekantensteigung m Sekante m Υ Χ F X + Χ F X Χ 3 / 35

5 II. Dierentialquotient: Tangentensteigung m F Tangente FX m lim X lim X F Υ Χ X + Χ F X Χ X 4 / 35

6 III. Ableitung: X + Χ F df X Υ F X lim lim dx X Χ X Χ Eine Funktion nach einer Variablen zu dierenzieren heißt, ihre Ableitung zu bilden, indem man obigen Dierentialquotienten berechnet. Schreibweise: df X dx dx t F' X X t dt 5 / 35

7 Eine Funktion wird in ihre Ableitung bezgl. einer Variablen überührt, also dierenziert, indem man den Dierentialoperator au sie anwendet. Dierentialoperator : d d Der Dierentialoperator wird au eine Funktion y angewendet er steht links vor der Funktion: y' d y d dy d 6 / 35

8 Geometrische Interpretation der Ableitung Die Ableitung einer Funktion y an einer Stelle ist die Steigung der Tangente in diesem Punkt. Physikalische Interpretation der Ableitung Die Ableitung einer Funktion y gibt Antwort au die Frage: Wie verändert sich y mit. 7 / 35

9 Geschwindigkeit: Wie verändert sich der Ort mit der Zeit? v ds s dt Reaktionsgeschwindigkeit: Wie verändert sich die Konzentration mit der Zeit? v dc c dt Ausdehnungskoeizient: Wie verändert sich das Volumen mit der Temperatur? α V dv dt Kompressibilität: Wie verändert sich das Volumen mit dem Druck? κ V dv dp Krat: Wie verändert sich die potentielle Energie entlang einer Wegstrecke? F de ds pot 8 / 35

10 Eistenz der Ableitung Eine Funktion ist dierenzierbar, wenn ür alle Funktionswerte die Ableitung eistiert, also der Dierentialquotient an allen Punkten eindeutig berechnet werden kann. An jedem Punkt der Kurve ist somit eindeutig eine Tangente konstruierbar. Gegenbeispiel: Die Betragsunktion y ist in nicht dierenzierbar Knick!. Links- und rechtsseitige Ableitungen sind verschieden. 9 / 35

11 Beispiele: F F d df lim lim lim lim lim e e e e e e e e e F F d df + + lim lim lim lim e F y F y / 35

12 IV. Ableitungen wichtiger Funktionen: F F ' F F ' C n n n e ln n n n+ e sin cos sinh cosh tan arcsin arccos arctan cos sin cosh sinh cos + / 35

13 Wichtige Funktionen : Sinus, Cosinus und Tangens sin cos 3 tan Polstelle nur ür Tangens Erstellt mit dem Shareware-Programm MatheAss : / 35

14 V. Dierentiationsregeln: ' + g ' + g' ' g ' g + g' Summenregel Produktregel g ' ' g g g' Quotientenregel 3 / 35

15 [ u ] ' d d du Kettenregel d du d äußere Ableitung innere Ableitung Die Deinition von u ist beliebig. Es muss so gewählt werden, dass aus u eine einache Funktion wird. Das ormale Erweitern des Dierentialquotienten kann auch in mehreren Stuen erolgen: d d d du du dg dg d 4 / 35

16 Beispiele: Summenregel cos sin + sin cos ' Produktregel ' u u v v * 3 3 ln ' 3 3 ln ' 3 + Quotientenregel tan ϕ ϕ Φ cos ' sin ϕ ϕ ϕ ϕ sin ' cos ϕ ϕ ϕ ϕ g g cos cos ] sin [ cos ' ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Φ 5 / 35 cos sin tan ϕ ϕ ϕ

17 Man erhält die Abolge der Funktion von innen nach außen, indem man sich vorstellt, die Funktion mit einem Taschenrechner zu berechnen. Beispiel: cos 4 ln + Kettenregel. Berechne + 4 innerste Funktion. Berechne den cos 3. Berechne die Wurzel 4. Berechne den ln äußerste Funktion Die Kettenregel kann von innen nach außen oder von außen nach innen angewendet werden. 6 / 35

18 Die Vorgehensweise von außen nach innen ist ot leichter: cos 4 ln + arg ist das jeweilige Funktionsargument. Ableitung des ln arg ist / arg. Ableitung der Wurzel ist geteilt durch zweimal die Wurzel 3. Ableitung des cosarg ist sinarg 4. Ableitung von +4 ist 5. Alle Ableitungen werden miteinander multipliziert d d sin cos + 4 cos tan cos [ sin 4 ] + 7 / 35

19 Formale Anwendung der Kettenregel: ln cos u + 4 v cos u w v du d dv du dw dv sinu u w ln w{ v[ u ]} ln d dw w 8 / 35

20 d d d dw dw dv dv du du d sin w v + 4 sin 4 v v + sin cos tan / 35

21 Beispiel einer verketteten Funktion mit Ableitung : y lnsqrtcos^+4 y -*tan^+4 Polstelle Erstellt mit dem Shareware-Programm MatheAss : / 35

22 Einache Beispiele zur Kettenregel: + n n a b ' n a + b a sin k ' cos k k ep k ' ep k k ln a ' a a Berechnung der Ableitung von y a : y a ln y ln a y e ln a y ' e ln a ln a ln a a / 35

23 Implizites Dierenzieren Gegeben sei die Gleichung F y, wobei y noch von abhängt. Häuig kann man diese Gleichung nicht nach y aulösen, sodass man die Ableitung y nicht direkt bilden kann. In diesem Fall hilt es F y implizit zu dierenzieren und dann die Gleichung nach y auzulösen. Beim implizierten Dierenzieren wird F nach abgeleitet, wobei ür die Ableitung von Funktionen von y die Kettenregel benutzt wird. Auch bei Ausdrücken, die sich nach y aulösen lassen, ist die implizite Ableitung ot einacher als die eplizite zu berechnen. / 35

24 Beispiele: d d d dy y ; ' ' y y d d d d d dy dy y d d d y 3 / 35

25 Logarithmisches Dierenzieren d ln d y dy d y' y Funktionen lassen sich ot leichter dierenzieren, wenn man sie vorher logarithmiert und anschließend implizit ableitet. y ln y y e dy dz ln ln e z z e LOGARITHMIEREN ln z e y z ln z u v dz d dy dz u v' + u' v + ln + ln dz d + ln y z ; y ' + ln 4 / 35

26 Beispiel einer Funktionsskizze ür logarith. Dierenzieren 3 : y ^ y ^*[+ln] y [+ln^*^]+^- 3 Erstellt mit dem Shareware-Programm MatheAss : 5 / 35

27 Dierentiale: Die ininitesimalen Größen d und dy heißen Dierentiale. Mit Dierentialen kann normal gerechnet werden. Das Einsetzen von Zahlen in die ininitesimalen Größen d und dy ist nicht erlaubt. Beide Dierentiale d und dy konvergieren gegen Null, der Quotient ist aber in der Regel endlich! Dierentiale können ineinander umgerechnet werden: y ' dy dy y ' d d dy kann aus d berechnet werden 6 / 35

28 VI. Ableitung der Umkehrunktion: Beispiel: ' ' u u du d d du u d du u ' du d u ' ' ' ' ' u e d du u e u ' u du d u ' ln 7 / 35

29 . Beispiel einer Umkehrunktion 4 : u ep- u - ep- lnu -/u Umkehrunktion u * 4 Erstellt mit dem Shareware-Programm MatheAss : 8 / 35

30 Beispiel: Ableitung der Funktion y arcsin y arcsin sin y d dy cos y dy d sin d dy 9 / 35

31 . Beispiel einer Umkehrunktion 5 : y arcsin y /sqrt-^ Umkehrunktion y - sqrt-^/ 5 Erstellt mit dem Shareware-Programm MatheAss : 3 / 35

32 VII. Höhere Ableitungen: Mehraches Anwenden des Dierentialoperators: d d d y ' ' ' ' d d d d d ' y y Allgemeine Form: y Vorsicht! n n d d n d d n n y dy d dy d d d y 3 / 35

33 VIII. Etrema und Wendepunkte: Die erste Ableitung einer Funktion gibt ihre Steigung, die zweite Ableitung ihre Krümmung an. Maimum: dy d d y d ma ma < Minimum: dy d d y d min min > 3 / 35

34 Wendepunkt: dy d wend d d 3 y d y d wend wend 3 Ein Sattelpunkt ist ein Spezialall eines Wendepunkts, welcher eine horizontale Tangente besitzt. Sattelpunkt: dy d sattel d d 3 y d y d sattel sattel 3 33 / 35

35 Beispiel einer Kurvendiskussion 6 : y /3*^3-^+ y ^- y - y 6 Erstellt mit dem Shareware-Programm MatheAss : 34 / 35

36 IX. Symmetrie Ist G eine Funktion gerader Symmetrie und U eine Funktion ungerader Symmetrie, so gilt: du d dg G U d Ungerader Eponent punktsymmetrisch, zentralsymmetrisch Gerader Eponent spiegelsymmetrisch, aialsymmetrisch y ist aialsymmetrisch zur y-achse y 3 ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung 35 / 35

37