Münchner Volkshochschule. Planung. Tag 10

Transkript

1 Planung Tag 0 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 247

2 Konvergenz von Zahlenfolgen Def.: Konvergenz Eine reelle Zahlenfolge a n n N heißt konvergent gegen a R, falls Bemerkungen: ε > 0 N ε R, s.d. a n a < ε n N(ε). Aus a n a < ε folgt a ε < a n < a + ε 2. Konvergiert a n n N gegen a, so schreibt man: lim a n = a n 3. a n n N heißt Nullfolge lim a n = 0 n 4. a n n N heißt divergent, falls a n n N nicht konvergent ist. 5. a n n N heißt bestimmt divergent gegen c R + n 0 N, s.d. a n > c n n 0 6. a n n N heißt bestimmt divergent gegen (analog zu 5.) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 248

3 Konvergenz von Zahlenfolgen Elementare Grenzwertsätze Seien a n n N und b n n N, so wie a, b R gegeben, mit und sei c R. Dann gilt:. lim (a n + b n ) = a + b n 2. lim (c a n ) = c a n 3. lim (a n b n ) = a b n lim a n = a, lim b n = b n n 4. Falls n 0 N, s.d. b n 0 n n 0 und b 0, folgt lim n 5. lim n a n c = a c (Definitionsbereiche beachten!) a n b n = a b Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 249

4 Konvergenz von Zahlenfolgen Bemerkungen:. Seien a n n N und a R gegeben lim n a n = a lim n a n = a 2. Sei lim n a n = 0 lim n a n = 0 3. Sei lim n a n = a R S R + a n S n N Zu 3. Jede konvergente reelle Zahlenfolge ist beschränkt 4. Sei lim n a n = 0 und b n n N beschränkt lim n (a n b n ) = 0 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 250

5 Konvergenz von Zahlenfolgen 5. Seien a n n N und b n n N, so wie a, b R gegeben, mit lim a n = a, lim b n = b und a n b n n N. Dann folgt a b. n n 6. Sei zu. c n n N eine dritte Folge mit a n c n b n n N und sei des Weiteren lim n a n = lim n b n = a. Dann folgt lim n c n = a. Def.: Monotonie von Zahlenfolgen Eine Folge a n n N heißt s.m.w. (m.w., m.f., s.m.f.) falls n N gilt a n < a n+ a n a n+, a n a n+, a n > a n+ Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 25

6 Historische Zahlenfolgen Heron-Verfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln. ) 5 Vom Rechteck zum Quadrat ) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 252

7 Reelle Zahlenfolgen IV Heron-Verfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln: 3) Die allgemeine Formel für das Heron-Verfahren ist rekursiv. Die neue Seitenlänge ergibt sich aus der vorhergehenden: x n 2 x n 5 x n Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 253

8 Heron-Verfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln ( allgemein) Mit x 2 =a folgt die allgemeine rekursive Folge für das Heron-Verfahren. Der Grenzwert bildet für rekursive Folgen, wie beim Heron-Verfahren, einen Fixpunkt der Folge: Reelle Zahlenfolgen IV Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: n n n x a x x a L L a L L 2

9 Übung 55: Das Heron-Verfahren Berechnen Sie, soweit möglich, mittels des Heron-Verfahrens die Quadratwurzel der folgenden Zahlen bis auf fünf Dezimalstellen genau: a) 3 c) 4 b) 4 d ) 24 Wählen Sie als Startwert x 0 in jedem Fall den Wert und notieren Sie alle Zwischenergebnisse. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 255

10 Übung 56: Rekursive Zahlenfolgen Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 256 Gegeben seien die folgenden zwei rekursiven Folgen: Berechnen Sie jeweils den Grenzwert der Folgen. ) ) 0 0 b b b a a a b a n n n n

11 Übung 57: Konvergenz von Zahlenfolgen Weisen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussage nach: c n n n n lim c n n 2 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 257

12 Themen Logik und Mengenlehre Zahlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zahlenfolgen und Konvergenz Differenzialrechnung (Integralrechnung) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 258

13 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Sei f: D f R gegeben, x 0 D und a R ±. Def.: Grenzwert a wird der Grenzwert von f in x 0 genannt: lim x x0 f(x) = a x n n N, x n D f n N und lim n x n = x 0 gilt lim n f x n Def.: rechtsseitiger Grenzwert a wird der rechtsseitige Grenzwert von f in x 0 genannt: lim f(x) = a x x0 + x n n N, x n D f, x n > x 0 n N und lim n x n = x 0 gilt lim n f x n Def.: linksseitiger Grenzwert a wird der linksseitige Grenzwert von f in x 0 genannt: lim f(x) = a x x0 = a = a x n n N, x n D f, x n < x 0 n N und lim n x n = x 0 gilt lim n f x n = a Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 259

14 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Def.: Stetigkeit (punktweise) Eine Funktion f heißt stetig in in x 0 lim x x0 f(x) = f(x 0 ) Def.: Stetigkeit (auf M D) Eine Funktion f heißt stetig auf M D genau dann,wenn f stetig ist x 0 M Ganzrationale Funktionen, gebrochenrationale Funktionen, Potenzfunktionen, Wurzel- und Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen und hyperbolische Funktionen sind auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen stetig. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 260

15 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Konvergenzsituationen Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 26

16 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Seien f, g: D R stetig in x 0 D Satz: Kompositionen und Verkettungen stetiger Funktionen Es gilt: i. f ± g ist stetig in x 0. ii. f g ist stetig in x 0. iii. Falls g x 0 0 f ist stetig in x g 0. Sei zudem h: D h R, mit f x 0 D h, stetig in f x 0 iv. h f ist stetig in x 0. Satz: Der Zwischenwertsatz (ZWS) Sei I R ein Intervall, f: I R sei stetig auf I und a, b I, mit a < b. Dann gilt, für alle η zwischen f(a) und f b existiert ein ξ ]a; b[, mit f ξ = η. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 262

17 Grundbegriffe der Differenzialrechnung Def.: Es sei D R. x 0 heißt innerer Punkt von D ε > 0 x 0 ε; x 0 + ε D Im Folgenden sei x 0 stets ein innerer Punkt von D und f: D R Es soll das Wachstumsverhalten von f in x 0 untersucht werden. G f soll in x 0 /f x 0 bestmöglich durch eine Gerade angenähert werden, deren Steigung bekannt sei. Alle Geradengleichungen durch x 0 /f x 0 müssen die folgende Form besitzen: g x = m x x 0 + f(x 0 ) (m R beliebig) Gesucht ist damit diejenige Steigung m, für welche G f in x 0 /f x 0 bestmöglich durch g(x) approximiert wird. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 263

18 Grundbegriffe der Differenzialrechnung Bedingungen an eine Tangente an G f Für alle Geraden durch den Punkt x 0 /f x 0 gilt: mit lim R(Δx) = 0 Δx 0 R Δx = f x 0 + Δx f x 0 m Δx Def.: Sei G x0 die Menge aller Geraden, die durch x 0 /f x 0 verlaufen. Eine gerade g G x0, also von der Gestalt g x = m x x 0 + f(x 0 ), heißt Tangente an f in x 0 lim Δx 0 R Δx Δx = 0 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 264

19 Grundbegriffe der Differenzialrechnung Def.: Eine Funktion f: D R R heißt differenzierbar (diff bar) in x 0 D genau dann, wenn f in x 0 eine Tangente besitzt. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:. Es existiert eine Tangente an G f in x 0 2. f ist in x 0 differenzierbar 3. Der Grenzwert lim x x0 f x f(x 0 ) x x 0 existiert in R x = x 0 + Δx Def.: f x f(x Der Grenzwert lim 0 ) heißt, falls er existiert, die erste Ableitung von f x x0 x x 0 in x 0 und wird mit f x x=x0 bzw. mit d f x bezeichnet. dx x=x 0 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 265

20 Grundbegriffe der Differenzialrechnung Der Term dy f x f(x = lim 0 ) wird auch der Differenzialquotient von f dx x=x0 x x0 x x 0 in x 0 genannt. Existiert dy R, so heißt der Term die. Ableitung von f dx x=x0 in x 0 und f in x 0 differenzierbar. Erweiterung der Stetigkeit f heißt stetig auf D genau dann,wenn f stetig ist x 0 D Erweiterung der Differenzierbarkeit f heißt differenzierbar auf D genau dann,wenn f differenzierbar ist x 0 D Satz: Ist eine Funktion f: D R R in x 0 D differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 266

21 Ableitungsregeln Ableitungen elementarer Funktionen Bezeichnung f(x) f (x) Konst. Fkt n a R 0 Identität x Potenzfkt n x n n x n Exponenzialfkt n a x ; e x a x ln a ; e x Logarithmusfkt n Trigonometrische Funktionen Hyperbolische Funktionen log a (x) ; ln(x) x ln(a) ; x sin x ; cos(x) cos x ; sin(x) sinh x ; cosh(x) cosh(x) ; sinh(x) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 267

22 Ableitungsregeln Einfache Ableitungsregeln Bezeichnung f(x) f (x) Konstanter. Faktor a g(x) a g (x) Summenregel g x ± h x g x ± h x Produktregel g x h x g x h x + g x h x Quotientenregel 0 Quotientenregel 02 g x h(x) g x g (x) g x 2 g x h x h x g (x) g x 2 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 268

23 Ableitungsregeln Die Kettenregel (Satz) Seien h: D f W f x h(x) und g: D g W g x g(x) gegeben, mit W h D g und sei weiterhin h in x 0 differenzierbar, so wie g in h x 0. Dann ist auch g h in x 0 differenzierbar, mit g h x 0 = dg dh h x 0 dh dx x 0 Bezeichnung f(x) f (x) Kettenregel g h (x) dg dh h x dh dx x Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 269

24 Ableitungsregeln Die Ableitung der Umkehrfunktion (Satz) Seien h: D f W f x h(x) eine differenzierbare Funktion, die auf U D h eine Umkehrfunktion h besitzt. Dann ist h auf h U differenzierbar, mit d dx h x = dh dh h x, h h x 0 n. V. Bezeichnung f(x) f (x) Ableitung der Umkehrfunktion h (x) h h x Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 270

25 Ableitungsregeln Ableitungen elementarer Umkehrfunktionen Bezeichnung f(x) f (x) Arkusfunktionen: arcsin(x) arccos(x) arctan(x) Areafunktionen: arsinh(x) arcosh(x) artanh(x) x 2 x 2 + x 2 + x 2 x 2 x 2 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 27

26 Höhere Ableitungen Def.: zweite Ableitung Sei f auf I R, I sein ein Intervall, differenzierbar und ist f (x), x I, (die Ableitungsfunktion) selbst wieder differenzierbar für x 0 I. Dann wird f x 0 die zweite Ableitung von zu f in x 0 genannt. Schreibweisen der zweiten Ableitung: f x 0 = f x 0 = d2 dx 2 f x 0 Höhere Ableitungen werden analog definiert und wie folgt notiert: usw. f x 0 = f x 0 = d3 dx 3 f x 0 f x 0 = f IV x 0 = d4 dx 4 f x 0 :dritte Ableitung :vierte Ableitung Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 272

27 Kurvendiskussion Untersuchung von Eigenschaften von Graphen anhand der zugehörigen Gleichungen f x = y. Bestimmung von D f 2. Auflistung aller Polstellen (gebr.rat. Fkt. n: NST n des Nennerpolynoms) und Definitionslücken 3. Untersuchung der Symmetrieeigenschaften (gerade, ungerade) 4. Berechnung des y-achsenabschnitts (x = 0) 5. Berechnung aller Nullstellen (y = 0) 6. Untersuchung der Art der Polstellen (hebbar, nicht hebbar) und Verhalten in der Nähe der Polstellen 7. Bereiche positiver und negativer Funktionswerte Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 273

28 Kurvendiskussion Untersuchung von Eigenschaften von Graphen anhand der zugehörigen Gleichungen f x = y 8. Bestimmung von Art und Lage aller Extrema f (x) = 0 und f (x) < 0 lokales Maximum f (x) = 0 und f (x) > 0 lokales Minimum Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 274

29 Kurvendiskussion Untersuchung von Eigenschaften von Graphen anhand der zugehörigen Gleichungen f x = y 8. Bestimmung von Art und Lage aller Extrema Monotonietabelle x x < x Extr. < x < < x < x Pol < x sgn f x ± 0 ± ± ± G T /, \ _ /, \ /, \ /, \ s.m.f. s.m.w. Max Min TEP s.m.f. s.m.w. s.m.f. s.m.w. POL s.m.f. s.m.w. Die Monotonietabelle enthält Informationen über die Monotoniebereiche, Steigung der Tangenten, Extrema und Polstellen des Graphen im x-verlauf. (Felder mit festen Einträgen sind grün markiert.) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 275

30 Kurvendiskussion Untersuchung von Eigenschaften von Graphen anhand der zugehörigen Gleichungen f x = y 9. Bestimmung von Bereichen gleicher Monotonie 0. Bestimmung der Lage von Wendepunkten und Flachpunkten f (x) = 0 und f (x) 0 Wendepunkt Änderung im Krümmungsverhalten neg, gekr. pos. gekr. Achtung: Die zweite Ableitung ist nicht gleich der Krümmung κ x. Es gilt lediglich: sgn f x = sgn κ x Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 276

31 Kurvendiskussion Untersuchung von Eigenschaften von Graphen anhand der zugehörigen Gleichungen f x = y 0. Bestimmung der Lage von Wendepunkten und Flachpunkten Krümmungstabelle x x < x WEP. < x < < x < x Pol < x sgn f x ± 0 ± ± ± Kr,,,, neg.kr. pos.kr WEP FLAP neg.kr. pos.kr neg.kr. pos.kr POL neg.kr. pos.kr Die Krümmungstabelle enthält Informationen über die Krümmungsbereiche, Wendepunkte (Flachpunkte) und das Krümmungsverhalten um die Polstellen des Graphen im x-verlauf. (Felder mit festen Einträgen sind grün markiert.) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 277

32 Kurvendiskussion Untersuchung von Eigenschaften von Graphen anhand der zugehörigen Gleichungen f x = y. Bestimmung aller Bereiche gleichen Krümmungsverhaltens 2. Bestimmung des asymptotischen Verhaltens x ± 3. Skizzieren von G f (Später im Studium) 4. Bestimmung aller Asymptotengleichungen (senkrechte, horizontale, schiefe) 5. Bestimmung von Art und Lage aller isoelastischer Punkte 6. Bestimmung von Bereichen gleicher Elastizität 7. Bestimmung von Hüllkurven Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 278

33 Themen Logik und Mengenlehre Zahlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zahlenfolgen und Konvergenz Differenzialrechnung Integralrechnung Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 279

34 Das unbestimmte Integral Def.: Stammfunktion Gegeben sei eine Funktion f: D R R. Eine Funktion F: D R heißt Stammfunktion von f, falls F x = f x x D. Bem.:. F kann nie eindeutig sein, da für c R gilt F x + c = F x = f(x) 2. Ist D ein Intervall und seien F (x) und F 2 (x) Stammfunktionen zu f: D R R. Dann existiert ein c R, mit F x = F 2 x + c z.b.: f x = x 2 + 5x + 3 F x = x 3 x x2 + 3x oder auch x2 + 3x + π Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 280

35 Das unbestimmte Integral Def.: Die Menge aller Stammfunktionen zu einer gegebenen Funktion f heißt das unbestimmte Integral von f(x) und wird mit f x dx bezeichnet. Mengendarstellung unbestimmtes Integral Integralsymbol Integrand Differenzial f x dx F C D F x = f(x)} Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 28

36 Integrationsregeln (Teil ) Satz: ( Integration by Sight : Teil ) Die Umkehrung der Differenziationsregeln führt auf die folgenden Grundintegrale (C, D R) (0) D dx = Dx + C (6) () x n dx = xn+ n+ + C ; n R (7) +x x 2 dx = arctan(x) + C 2 dx = arcsin(x) + C (2) dx = ln x + C (8) dx = arsinh(x) + C x +x2 (3) cos(x) dx = sin(x) + C (9) x 2 dx = arcosh(x) + C (4) sin(x) dx = cos(x) + C (0) x 2 dx = artanh(x) + C (5) e x dx = e x + C u.v.m. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 282

37 Integrationsregeln (Teil ) Satz: ( Integration by Sight : Teil ) Die Umkehrung der Differenziationsregeln führt auf die folgenden Grundintegrale (C, D R) (0) D dx = Dx + C (6) () x n dx = xn+ n+ + C ; n R (7) +x x 2 dx = arctan(x) + C 2 dx = arcsin(x) + C (2) dx = ln x + C (8) dx = arsinh(x) + C x +x2 (3) cos(x) dx = sin(x) + C (9) x 2 dx = arcosh(x) + C (4) sin(x) dx = cos(x) + C (0) x 2 dx = artanh(x) + C (5) e x dx = e x + C u.v.m. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 283

38 Integrationsregeln (Teil ) Satz:. f x ± g x dx = f x dx ± g x dx 2. α f x dx = α f x dx (α R) Das unbestimmte Integral ist damit eine lineare (verhältniserhaltende) Operation Def.: Das Bestimmen von Stammfunktionen bzw. das Auswerten von Integralen wird Integration genannt. Alle Polynome können integriert werden. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 284

39 Integral und Fläche Sei I R ein Intervall und f: I R stetig auf I, mit f x > 0 x I. Sei a I fest gewählt. Für x > a bezeichne A(x) die Fläche zw. G f und der x-achse zw. a und x. A ist sm.w., mit ΔA = A x + Δx A(x) Def.: A a x sei die Funktion A x x > a, mit A a a = 0 (ohne Beweis) A a x ist ebenfalls eine Flächenfunktion für x < a. Dabei bezeichnet A a x eine negative Fläche. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 285

40 Integral und Fläche Sei I R ein Intervall und f: I R stetig auf I, mit f x > 0 x I. Sei a I fest gewählt. Für x > a bezeichne A(x) die Fläche zw. G f und der x-achse zw. a und x. A ist sm.w., mit ΔA = A x + Δx A(x) Def.: A a x sei die Funktion A x x > a, mit A a a = 0 (ohne Beweis) A a x ist ebenfalls eine Flächenfunktion für x < a. Dabei bezeichnet A a x eine negative Fläche. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 286

41 Integral und Fläche Sei I R ein Intervall und f: I R stetig auf I, mit f x > 0 x I. Es sei für a I die Flächenfunktion A a x bekannt. A = A a c A a b = F b F c, mit einer beliebigen Stammfunktion F, mit F x = f(x). Die Differenz der Werte von F gibt dabei nur für f x > 0 x b; c den Flächeninhalt A wieder. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 287

42 Integral und Fläche Sei I R ein Intervall und f: I R stetig auf I, mit f x > 0 x I. Es sei für a I die Flächenfunktion A a x bekannt. A = A a c A a b = F b F c, mit einer beliebigen Stammfunktion F, mit F x = f(x). Die Differenz der Werte von F gibt dabei nur für f x > 0 x b; c den Flächeninhalt A wieder. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 288

43 Bestimmte Integrale Def.: Sei I R ein Intervall und f: I R stetig und F eine beliebige Stammfunktion zu f auf I. Für b, c I heißt der Ausdruck b c f x dx F c F b = F x b c = F x b c das bestimmte Integral von f(x) von b bis c. Das bestimmte Integral kann für alle f bestimmt werden, die eine Stammfunktion besitzen. Das bestimmte Integral kann für b < c bzw. für c < b bestimmt werden Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 289

44 HS der Differenzial- und Integralrechnung Satz: Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (. Version) Es seien f: [a; b] R stetig auf I [a; b], und c ein innerer Punkt von I. Für x I definiert man F x = c x f t dt Dann ist F (eine Integralfunktion) differenzierbar und es gilt F x = f(x). Satz: Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ( 2. Version) Es seien f: [a; b] R stetig auf I [a; b] und F: [a; b] R eine Stammfunktion von f. Dann gilt a b f x dx = F b F(a) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 290

45 HS der Differenzial- und Integralrechnung Satz: Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ( 2. Teil) Sei I R ein Intervall und f: I R stetig auf I, mit f x > 0 x I. Seien c b, c I, mit b < c. Dann bestimmt b f x dx Die Fläche zwischen Gf und der x-achse über [b; c]. Bem.: b c f x dx kann auch negative Werte annehmen und bestimmt nur für f x > 0 x [b; c] die Fläche zwischen G f und der x-achse. Bem.: Um bei einer beliebigen integrierbaren Funktion die Fläche zwischen G f und der x-achse über [b; c] zu berechnen, ist c b f x dx zu bestimmen. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 29

46 Bestimmte Integrale Satz: Falls die folgenden bestimmten Integrale existieren, gilt: c a. a f x dx = c f x dx a 2. a f x dx = 0 b c c 3. a f x dx + b f x dx = a f x dx Satz: Integralfunktionen Sei I R ein Intervall und f: I R stetig auf I, a, b, x I. F x b + a x f t dt Ist eine Stammfunktion von f und zwar diejenige, mit F a = b. Diese Funktion wird eine Integralfunktion zu f genannt. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 292

47 Integrationsregeln (Teil 2) Satz: ( Integration by Sight : Teil 2) Die Umkehrung Kettenregel führt auf die folgenden Grundintegrale (C R) () f x f x dx = ln f x + C (7) f (x) + f x 2 dx = arctan f x + C (2) f x f x 2 dx = f x + C (8) f x f x 2 dx = arcsin f x + C (3) f (x) f x dx = 2 f(x) + C (9) f x + f x 2 dx = arsinh f x + C (4) f x cos f x dx = sin f x + C (0) f x f x 2 dx = arcosh f x + C (5) f x sin f x dx = cos f x + C () f x f x 2 dx = artanh f x + C (6) f x e f(x) dx = e f(x) + C (2) f x f x n dx = u.v.m. f x n+ n+ + C Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 293

48 Integrationsregeln (Teil 2) Satz: ( Integration by Sight : Teil 2) Die Umkehrung Kettenregel führt auf die folgenden Grundintegrale (C R) () f x f x dx = ln f x + C (7) f (x) + f x 2 dx = arctan f x + C (2) f x f x 2 dx = f x + C (8) f x f x 2 dx = arcsin f x + C (3) f (x) f x dx = 2 f(x) + C (9) f x + f x 2 dx = arsinh f x + C (4) f x cos f x dx = sin f x + C (0) f x f x 2 dx = arcosh f x + C (5) f x sin f x dx = cos f x + C () f x f x 2 dx = artanh f x + C (6) f x e f(x) dx = e f(x) + C (2) f x f x n dx = u.v.m. f x n+ n+ + C Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 294

49 Integrationsregeln (Teil 2) Substitutionsregel Die formale Umkehrung Kettenregel durch Substitution führt auf ein Umschreiben des Integranden, der Integrationsgrenzen und des Differenzials. Unterschieden werden zwei Fälle:. Fall: f x = f φ x, φ x ist auf [a; b] invertierbar. t φ(x) a b f φ(x) dx = φ b φ(a) f t φ φ t dt 2. Fall: f x = f φ t, φ x ist auf [a; b] invertierbar. x φ(t) a b f x dx = φ b φ (a) f φ t φ t dt Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 295

50 Integrationsregeln (Teil 2) Bestimmte Integrale für Funktionen mit Symmetrieeigenschaften Sei a > 0 und f: a; a R integrierbar und gerade bzw. ungerade.. Fall: f ist gerade (G f ist spiegelsymmetrisch zur y Achse) a a f x dx = 2 0 a f x dx 2. Fall: f ist ungerade (G f ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung) a a f x dx = 0 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 296

51 Integrationsregeln (Teil 2) Partielle Integration Aus der Umkehrung der Produktregel der Differenziation ergibt sich der Satz zur partiellen Integration von Produkten im Integranden Satz: Partielle Integration (unbestimmte Integration) f x g(x) dx = f x g x f x g x dx Satz: Partielle Integration (bestimmte Integration) a b f x g(x) dx = f x g x a b a b f x g (x) dx Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 297

52 Ende des Vorlesungsteils zum mathematischen Vorkurs Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und viel Erfolg im Studium, N. Mahnke Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Chemie: 298