4 Differentialrechnung in einer Variablen

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1 4 Differentialrechnung in einer Variablen Die Infinitesimalrechnung ist ein weiteres großes analytisches Konzept, ohne das moderne Naturwissenschaften undenkbar sind. Die Entwicklung erfolgte unabhängig voneinander durch Gottfried Wilhelm von Leibniz ( , links) und Sir Isaac Newton ( , rechts). Die unabhängige Leistung gilt heute als gesichert, damals allerdings kam es zum bekanntesten Prioritätsstreit der Wissenschaftsgeschichte. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg Differenzierbarkeit Grundidee Ersetzt man eine Funktion f(x) nahe einer Stelle x 0 durch ihre Tangente t(x), so macht man nahe x 0 nur kleine Fehler. t f x 0 Die Tangente ist eine affin-lineare Funktion und daher viel leichter zu handhaben, als f selbst. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 239 Innere Punkte Wir wollen die Funktionen f nahe einer festen Stelle x 0 approximieren. Das geht nur, wenn f nahe x 0 auch definiert ist. Definition 4.1. Eine Zahl x M heißt innerer Punkt der Menge M R, wenn es ein ε > 0 gibt, so dass (x ε, x + ε) M. a x ε x x+ε M = [a, b] b Von einem inneren Punkt aus kann man sich also ein kleines Stück nach rechts und nach links bewegen, ohne die Menge M zu verlassen. Was sind die inneren Punkte der Intervalle (0, 1) bzw. [0, 1]? Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 240

2 Erste Ableitung Definition 4.2. Sei f : D f R eine reelle Funktion und x 0 D f ein innerer Punkt von D f. Dann heißt f differenzierbar an der Stelle x 0, wenn der Grenzwert f f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) := lim = lim x x 0 x x 0 h 0 h existiert. f (x 0 ) heißt erste Ableitung von f an der Stelle x 0. Ist f an jeder Stelle x 0 M D f differenzierbar, so heißt f in M differenzierbar. Man nennt die Funktion f : M R, x f (x), dann die erste Ableitung von f. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 241 Geometrische Interpretation f(x 0+h) f(x 0) t(x) s(x) f(x) s(x) = f(x 0 )+ f(x 0+h) f(x 0 ) h (x x 0 ) }{{} h 0 t(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) x 0 x 0 + h Für h 0 geht die Sekante s(x) durch (x 0, f(x 0 )) und (x 0 + h, f(x 0 + h)) in die Tangente t(x) über. Die erste Ableitung f (x 0 ) ist somit der Anstieg der Tangente t an f im Punkt x 0. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 242 Ist zu einer Funktion f die erste Ableitung f in x 0 ebenfalls differenzierbar, so heißt f (x 0 ) := (f ) (x 0 ) die zweite Ableitung von f an der Stelle x 0. Entsprechend wird (für n N) die n-te Ableitung f (n) (x 0 ) = (f (n 1) ) (x 0 ) von f an der Stelle x 0 definiert. (Dabei ist f (0) (x 0 ) := f(x 0 ) zu setzen.) Notation: Für die ersten drei Ableitungen schreibt man f, f und f. Ab n = 4 schreibt man zumeist f (n). Zudem sind in der Physik auch f(t) und f(t) für die ersten zwei Ableitungen üblich, wenn das Argument t die Zeit darstellt. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 243

3 Leibniz-Notation Auf Leibniz geht die folgende Schreibweise für Ableitungen zurück: f (x 0 ) = df dx (x 0) = d dx f(x 0), f (x 0 ) = d2 f dx 2 (x 0) = d2 dx 2 f(x 0) = df dx (x 0),. f (n) (x 0 ) = dn f dx n (x 0) = dn dx n f(x 0) = df (n 1) dx (x 0). Diese Schreibweise ist noch heute weit verbreitet, da man damit manche Rechenregeln (z. B. Kettenregel) sehr eingängig fassen kann, und die Variable, nach der man differenziert, eindeutig gekennzeichnet ist. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 244 Leibniz hatte die vage Vorstellung, dass sich die erste Ableitung f (x 0 ) als Quotient infinitesimal kleiner Elemente dy und dx schreiben lässt. Er betrachtete dazu den Differenzenquotienten y x = y y 0 x x 0 = f(x) f(x 0) x x 0 und machte gedanklich die Größen y und x unendlich klein. In Anlehnung an den Differenzenquotienten verwendete er für die erste Ableitung den Ausdruck dy dx. Der lediglich formale Quotient in der Leibniz-Notation lässt sich mit dem Differentialbegriff mathematisch unterlegen (siehe später). Die Ableitung wird machmal auch Differentialquotient genannt. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 245 Beispiele Die konstante Funktion f 1 (x) = c (c R) ist differenzierbar mit f 1 (x) = 0, denn f 1 (x + h) f 1 (x) h = c c h = 0 0 (h 0). Die Funktion f 2 (x) = ax (a R) ist differenzierbar mit f 2 (x) = a, denn f 2 (x + h) f 2 (x) a(x + h) ax = = ah = a a (h 0). h h h Die Funktion f 3 (x) = x 2 ist differenzierbar mit f 3 (x) = 2x, denn f 3 (x+h) f 3 (x) h = (x + h)2 x 2 h = 2hx+h2 h = 2x + h 2x (h 0). Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 246

4 Weitere Beispiele Ohne Beweis geben wir hier noch einige weitere Funktionen mit ihren Ableitungen an: Für f 1 (x) = x n (n N) gilt f 1 (x) = nxn 1. Für f 2 (x) = e x gilt f 2 (x) = f 2(x) = e x. Für f 3 (x) = sin x gilt f 3 (x) = cos x. Für f 4 (x) = cos x gilt f 4 (x) = sin x. Mit Hilfe des Differenzenquotienten (Definition 4.3) bestimme man die erste Ableitung von f(x) = 1 x. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 247 Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion Die Funktion f(x) = x ist in x 0 = 0 nicht differenzierbar, denn f(0+h) f(0) lim h 0+ lim h 0 h = lim h 0+ h 0 h = 1, aber f(0+h) f(0) h 0 h = lim h 0 h = 1 1. Der Differenzenquotient besitzt also keinen Grenzwert für h 0. Der bei x 0 = 0 auftretende Knick ist typisch für Funktionen, die stetig, aber nicht differenzierbar sind. Es ist offensichtlich, dass man in diesem Punkt keine eindeutig bestimmte Tangente finden kann. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 248 Bezug zur Stetigkeit Satz 4.3. Ist f : D f R in x 0 D f differenzierbar, dann ist f in x 0 auch stetig. Beweisidee: f(x) f(x 0 ) = f(x) f(x 0) x x 0 } {{ } f (x 0) (x x 0 ) 0 (x x 0 ). }{{} 0 Achtung: Wie das Beispiel f(x) = x zeigt, gibt es sehr wohl stetige Funktionen, die nicht differenzierbar sind. Die Umkehrung von Satz 4.3 ist somit falsch! Differenzierbarkeit ist also eine stärkere Eigenschaft als Stetigkeit. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 249

5 Präzisierung des Linearisierungsgedankens Wir greifen noch einmal die lokale Approxierbarkeit von f durch Tangenten auf. Auch mit dieser Eigenschaft kann man Differenzierbarkeit vollständig charakterisieren: Satz 4.4. Eine reelle Funktion f : D f R ist genau dann in x 0 D f differenzierbar, wenn es eine Zahl a R und eine Funktion ϕ : D f R gibt mit f(x) = f(x 0 ) + a(x x 0 ) + ϕ(x) (1) und ϕ(x) x x 0 0 für x x 0. In diesem Fall gilt a = f (x 0 ). Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 250 Mit der Tangentenfunktion t(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) liest sich (1) für eine differenzierbare Funktion f als ϕ(x) f(x) = t(x) + ϕ(x) mit 0 für x x 0. x x 0 Grob gesprochen: Funktion = Tangente + Restterm, wobei der Restterm für x x 0 schneller als linear gegen Null geht. Visualisierung: t ϕ(x) f x 0 x Überzeugen Sie sich, dass mit ϕ(x) x x 0 0 erst recht ϕ(x) 0 für x x 0 gilt. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg Differentiationsregeln Satz 4.5 (Regeln für die Ableitung). Sind f, g : D R differenzierbar in x 0 D, dann sind auch cf(c R), f ± g, fg und f/g (falls g(x 0 ) 0) in x 0 differenzierbar. Dabei gelten folgende Regeln: (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ) (für c R), (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ) (Summenregel), (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) (Produktregel), ( ) f g (x0 ) = f (x 0)g(x 0) f(x 0)g (x 0) g(x 0) (Quotientenregel). 2 Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 252

6 Beispiele Finden Sie die Ableitungen von f 1 (x) = 7x 2 + 4x 8, f 2 (x) = (x + 1)e x, f 3 (x) = ex x, f 4 (x) = 1 x n für n N, ausgehend von (x n ) = nx n 1. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 253 Verkettete Funktionen Satz 4.6 (Kettenregel). Ist f : D f R in x 0 D f differenzierbar und g : D g R in f(x 0 ) D g differenzierbar, dann ist (g f) ebenfalls in x 0 differenzierbar mit (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). (2) Die Multiplikation mit f (x 0 ) in (2) nennt man Nachdifferenzieren. Außerdem sind für g und f die Begriffe äußere und innere Ableitung gebräuchlich. In Leibniz-Notation schreibt man für (2) kurz dg dx = dg df df dx. Man bestimme die Ableitung von f(x) = e 3x2 +1. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 254 Differentiation von Umkehrfunktionen Satz 4.7. Die reelle Funktion f : D f W f sei in x 0 D f differenzierbar und besitze die Umkehrfunktion f 1 : W f D f. Ist f (x 0 ) 0 und ist f 1 stetig in f(x 0 ), dann ist f 1 in f(x 0 ) differenzierbar mit bzw. (f 1 ) (f(x 0 )) = 1 f (x 0 ) (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) mit y 0 = f(x 0 ). Leibniz-Notation: dx dy = 1 dy dx mit y = f(x) bzw. x = f 1 (y). Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 255

7 Beispiel Für y = f(x) = sin x, x ( π 2, π 2 ), gilt f (x) = cos x 0. Desweiteren ist f 1 (y) = arcsin(y) stetig. Damit gilt nach Satz 4.7: arcsin (y) = 1 sin (x) = 1 cos x = 1 1 sin 2 x = 1 1 y 2. Bestimmen Sie die auf diese Weise die Ableitungen von f 1 (x) = ln x, f 2 (x) = x und f 3 (x) = arctan x. (Hinweis: tan (x) = 1 + tan 2 x.) Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 256 Logarithmisches Differenzieren Die Kettenregel liefert für positive differenzierbare Funktionen f die Gleichung (ln(f(x))) = f (x) f(x) bzw. f (x) = (ln(f(x))) f(x). Dieser Trick erleichtert manchmal die Berechnung der Ableitung. Beispiel: Für f(x) = x x (x > 0) gilt (x x ) = (ln(x x )) x x = (x ln x) x x = (1 + ln x)x x. Man bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x 1 (x 2)(x 3). Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg Ableitungen elementarer Funktionen Mit Hilfe von Definition und der Regeln aus Abschnitt 4.2 lassen sich zu vielen gebräuchlichen Funktionen Ableitungen gewinnen. Die folgenden Tabellen (vor allem diese Seite) sollten Sie am besten auswendig lernen. Potenz- und Exponentialfunktionen, Logarithmen f(x) x r (r R) e x ln x a x (a > 0) log a (x) f (x) rx r 1 e x 1 x a x ln a 1 x ln a Trigonometrische Funktionen f(x) sin x cos x tan x cot x f (x) cos x sin x 1 cos 2 x = 1 + tan2 x 1 sin 2 x Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 258

8 Arkusfunktionen f(x) arcsin x arccos x arctan x arccot x f (x) 1 1 x x x 2 1+x 2 Hyperbelfunktionen f(x) sinh x cosh x tanh x coth x f (x) cosh x sinh x 1 cosh 2 x Areafunktionen 1 sinh 2 x f(x) arsinh x arcosh x artanh x arcoth x f (x) 1 x , x > x, x < 1, x > x 2 1 x 2 Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg Extrema, Wachstum und Krümmung differenzierbarer Funktionen Lokale und globale Extrema Definition 4.8. Sei f : D f R eine reelle Funktion. Ein Punkt x 0 D f heißt lokales Maximum [lokales Minimum] von f, wenn es ein ε > 0 gibt, so dass f(x 0 ) f(x) [f(x 0 ) f(x)] für alle x D f (x 0 ε, x 0 + ε). (3) x 0 heißt lokales Extremum von f, wenn x 0 ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum von f ist. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 260 Bei einem lokalen Extremum x 0 betrachtet man also nur das Verhalten der Funktion f sehr nahe bei x 0. Das Gegenstück sind globale Extrema, bei denen die Beziehung f(x 0 ) f(x) bzw. f(x 0 ) f(x) aus (3) für alle x D f gelten muss. Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f : R R, f(x) = 2 cos 2x, g : [0, ) R, g(x) = 1 1+x cos x (qualitativ reicht), und machen Sie sich den Unterschied zwischen global und lokal auch graphisch klar. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 261

9 Lokale Extrema differenzierbarer Funktionen Wiederholen Sie die Begriffe notwendig und hinreichend aus Abschnitt 1.1. Satz 4.9 (Notwendige Bedingung für lokale Extrema). Ist x 0 ein lokales Extremum der differenzierbaren Funktion f : (a, b) R, dann gilt f (x 0 ) = 0. (4) Mit Satz 4.9 kann man Kandidaten finden, die für ein lokales Extremum in Frage kommen. Nur für diese wird man dann einen konkreten Nachweis versuchen. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 262 Graphische Darstellung t f x 0 An einer Extremalstelle x 0 besitzt die Funktion f aus Satz 4.9 eine horizontale Tangente. Finden Sie die Beweisidee von Satz 4.9. Betrachten Sie dafür das Vorzeichen des Differenzenquotienten in x 0 für h > 0 und h < 0. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 263 Hat man mittels Satz 4.9 Kandidaten für lokale Extrema gefunden, prüft man meist folgende Bedingung: Satz 4.10 (Hinreichende Bedingung für lokale Extrema). Sei f : (a, b) R zweimal differenzierbar mit f (x 0 ) = 0 für ein x 0 (a, b). Dann ist x 0 Stelle eines lokalen Minimums, wenn f (x 0 ) > 0, Stelle eines lokalen Maximums, wenn f (x 0 ) < 0. Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema von f(x) = x 2 e x. Analysieren Sie das Verhalten von f(x) = x n (n = 2, 5, 6) im Hinblick auf die Sätze 4.9 und 4.10 und das tatsächliche Auftreten von Extrema. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 264

10 Der Mittelwertsatz Wir beginnen mit einem einfachen Spezialfall: Satz 4.11 (von Rolle ). Ist f : [a, b] R stetig und in (a, b) differenzierbar, und gilt f(a) = f(b), dann gibt es ein ξ (a, b) mit f (ξ) = 0. f a ξ b ) Michel Rolle, frz. Mathematiker, Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 265 Die Voraussetzung f(a) = f(b) = 0 kann durch folgende Modifikation entfernt werden: Satz 4.12 (Mittelwertsatz). Ist f : [a, b] R stetig und in (a, b) differenzierbar, dann gibt es ein ξ (a, b) mit f f(b) f(a) (ξ) =. (5) b a Beweisidee: Anwendung des Satzes von Rolle auf ( f(b) f(a) F (x) := f(x) f(a) + b a ) (x a) } {{ } Sekante. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 266 Graphische Darstellung f(b) s f f(a) a ξ ξ b Die Funktion nimmt an mindestens einer Zwischenstelle ξ den Anstieg der Sekante s durch (a, f(a)) und (b, f(b)) an. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 267

11 Anwendungen des Mittelwertsatzes Alltagsrelevante Anwendungen finden sich häufig, wenn man nur Mittelwerte einer Größe messen kann, aber eigentlich an Momentanwerten interessiert ist. Zwischen Obergurgl und Hochgurgl (Österreich) liegen entlang der Timmelsjochstraße etwa 2.9 km und 270 Höhenmeter. Ist auf der Strecke mit Anstiegen von mehr als 6 % (9 %, 15 %) zu rechnen? Hat ein Autofahrer, der eine Tempo-30-Zone mit durchschnittlich 38 km/h durchfährt, eine Ordnungswidrigkeit begangen? Lässt sich ggf. der exakte Ort der Tempoüberschreitung bestimmen? Mathematische Anwendungen findet man oft bei Fehlerabschätzungen, z. B. beim Satz von Taylor oder in Quadraturformeln für Integrale. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 268 Auch folgende Aussage lässt sich im Kontext des Mittelwertsatzes beweisen. Sie hilft z. B. bei Differenzierbarkeitsuntersuchungen für stückweise differenzierbarer Funktionen an den Nahtstellen. Satz Sei f : (a, b) R stetig, x 0 (a, b) und f für alle x (a, b), x x 0, differenzierbar. Gilt lim f (x) = lim f (x) =: c, so ist f in x 0 ebenfalls x x 0 x x 0+ differenzierbar mit f (x 0 ) = c. Gilt dagegen lim f (x) lim f (x), so ist f in x 0 nicht x x 0 x x 0+ differenzierbar. Ableitungen beisitzen also niemals Sprungstellen. Das heißt aber nicht, dass sie stetig sein müssen! Betrachten Sie z. B. { x f(x) = 2 sin 1 x, für x 0; 0, für x = 0. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 269 Monotonie Mit dem Mittelwertsatz lässt sich sofort ein Ergebnis zur Bestimmung des Monotonieverhaltens einer differenzierbaren Funktion herleiten: Folgerung Sei f : [a, b] R stetig und differenzierbar in (a,b). Ist f (x) = 0 für alle x (a, b), so ist f konstant. Ist f (x) 0 (bzw. f (x) 0) für alle x (a, b), so ist f monoton wachsend (bzw. fallend). Ist f (x) > 0 (bzw. f (x) < 0) für alle x (a, b), so ist f streng monoton wachsend (bzw. fallend). Führen Sie den Beweis für einen Punkt Ihrer Wahl aus. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 270

12 Ein altes Problem neu diskutiert Die Funktion f(x) = x 3 ist, wie in Kapitel 3 diskutiert, streng monoton wachsend, da aus x < y immer x 3 < y 3 folgt. Versuchen Sie sich an einem Nachweis mittels Folgerung Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 271 Krümmungsverhalten Definition Eine reelle Funktion f : D f R heißt konvex [konkav] im Intervall I D f, wenn für alle x, y I und alle λ (0, 1) gilt. f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) [f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y)] (6) Veranschaulichung: Die Sekante durch (x, f(x)) und (y, f(y)) verläuft in [x, y] oberhalb [unterhalb] des Graphen von f. Machen Sie sich klar, dass dies die richtige Veranschaulichung ist. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 272 Graphische Darstellung Bild einer konvexen (links) und einer konkaven Funktion (rechts). Die bei Bewegung von links nach rechts auftretende Links- und Rechtskrümmung ist typisch; insbesondere wenn in (6) die strengen Ungleichungsrelationen gelten. Finden Sie ein Beispiel für eine auf R konvexe [konkave] Funktion. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 273

13 Die Untersuchung der Krümmung ist leichter, wenn man Ableitungen verwenden kann: Satz Ist die Funktion f : (a, b) R differenzierbar, so definieren wir für jedes z (a, b) die Tangentenfunktion t z : x f(z) + f (z)(x z). f ist in (a, b) genau dann konvex [konkav], wenn f(x) t z (x) [f(x) t z (x)] für alle z (a, b) und alle x (a, b) gilt. Anschauung: Jede Tangente an f verläuft unterhalb [oberhalb] des Graphen von f. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 274 Satz Ist die Funktion f : (a, b) R differenzierbar, dann ist f genau dann konvex [konkav] in (a, b), wenn f in (a, b) monoton wachsend [fallend] ist. Ist f zweimal differenzierbar, dann ist f in (a, b) genau dann konvex [konkav], wenn f (x) 0 [f (x) 0] für alle x (a, b) gilt. Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der Funktionen f 1 (x) = x n (n N), f 2 (x) = e x, f 3 (x) = ln x und f 4 (x) = sin x mit Hilfe von Satz Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 275 Graphische Darstellung f t z f Situation der Sätze 4.16 und 4.17 am Beispiel einer konvexen (links) und einer konkaven Funktion (rechts). z Machen Sie sich die Aussagen von Satz 4.16 und 4.17 noch einmal anhand der Bilder plausibel. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 276

14 Definition 4.18 (Wende- und Sattelpunkt). Ein Punkt (x 0, f(x 0 )) des Graphen, an dem sich das Krümmungsverhalten einer Funktion f ändert, heißt Wendepunkt von f. Die Stelle x 0 heißt Wendestelle. Die Tangente in einem Wendepunkt heißt Wendetangente. Einen Wendepunkt mit horizontaler Tangente nennt man auch Sattelpunkt. f(x) = sin x mit Wendepunkt (0, 0) g(x) = x 3 mit Sattelpunkt (0, 0) Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 277 Bei hinreichend oft differenzierbaren Funktionen bestimmt man Wendepunkte meist so: Satz Ist f : (a, b) R zweimal differenzierbar und (x 0, f(x 0 )) ein Wendepunkt von f, dann ist f (x 0 ) = 0. Ist f : (a, b) R dreimal differenzierbar und gilt für ein x 0 (a, b) sowohl f (x 0 ) = 0 als auch f (x 0 ) 0, dann ist (x 0, f(x 0 )) ein Wendepunkt von f. Man bestätige das Vorliegen eines Wende-/Sattelpunkts in den Beispielen von Seite 277 mit Hilfe von Satz Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 278 Zusammenfassende graphische Darstellung konkav f konvex 0 1 f f 2 monoton monoton monoton wachsend fallend wachsend Dargestellt ist eine Funktion f, ihre Ableitungen f und f, sowie die resultierenden Monotonie- und Krümmungsbereiche. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 279

15 4.5 Verschiedene Anwendungen Kurvendiskussion Eine Kurvendiskussion setzt sich aus den folgenden Teilaufgaben zusammen: Definitionsbereich. Auf welcher (möglichst großen) Menge D f ist die Funktion f definiert? Wertebereich. Welche Werte kann f(x) (x D f ) annehmen? Symmetrien. Ist f gerade oder ungerade? Nullstellen. Löse f(x) = 0. Extrema. Bestimme die Lösungen x E von f (x) = 0. Ist f (x E ) > 0, dann ist (x E, f(x E )) ein lokales Minimum von f. Ist f (x E ) < 0, dann ist (x E, f(x E )) ein lokales Maximum von f. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 280 Wendepunkte. Bestimme die Lösungen x W von f (x) = 0. Ist f (x W ) 0, dann ist (x W, f(x W )) ein Wendepunkt von f. Verhalten an Polstellen. Ist f eine rationale Funktion, bestimme die Pole x P von f (Nullstellen des Nennerpolynoms) und berechne lim f(x) sowie lim f(x). x x P x x P + Verhalten im Unendlichen. Berechne lim f(x) sowie x lim f(x). x Monotoniebereiche. Untersuche Vorzeichen von f (x). Krümmungsverhalten. Untersuche Vorzeichen von f (x). Graphische Darstellung. Führen Sie eine Kurvendiskussion für f(x) = e x2 durch. Erinnern Sie sich an einen Geldschein, auf dem der Funktionsgraph zu finden war? Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg Newton-Verfahren In Abschnitt 3.3 hatten wir das Intervallhalbierungsverfahren zur Lösung von Gleichungen der Form f(x) = 0 (7) kennengelernt. Das i. A. wesentlich schnellere Newton-Verfahren ist eine weitere Methode zur Lösung dieses Problems für differenzierbare Funktionen f. Ziel ist die Bestimmung einer Lösung x von (7) ausgehend von einem Startwert x 0, der möglichst in der Nähe von x liegt. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 282

16 Idee: f x 0 x 1 x 2 x Man berechnet im n ten Schritt die Nullstelle x n der Tangente t an f in x n 1. Diese wird als neue Näherung für x verwendet. Natürlich wird man zu Beginn einen Startwert x 0 wählen müssen. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 283 Herleitung der Verfahrensvorschrift t f x n 1 x n x Wir stellen die Bedingung t(x n ) = f(x n 1 ) + f (x n 1 )(x n x n 1 )! = 0. Umstellen nach x n führt auf die Verfahrensvorschrift des Newton-Verfahrens: x n = x n 1 f(x n 1) f (x n 1 ) (n = 1, 2,...). (8) Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 284 Numerisches Experiment Für das Beispiel f(x) = x + e x aus Abschnitt 3.3 liefert (8) die Vorschrift x n = x n 1 x n 1 + e xn e xn 1. Ausgehend vom Startwert x 0 = 0 liefert MATLAB folgende Werte: n x n f(x n) Für 14 Nachkommastellen benötigt man gerade 4 Schritte. Das Intervallhalbierungsverfahren hätte dagegen 48 Schritte gebraucht! Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 285

17 Konvergenzeigenschaften Wenn das Newton-Verfahren konvergiert, dann wesentlich schneller als das Intervallhalbierungsverfahren (Faustformel: in jedem Schritt Verdopplung der Anzahl korrekter Dezimalstellen). Voraussetzung für Konvergenz ist aber, dass der Startwert x 0 genügend nahe bei x liegt ( lokal konvergentes Verfahren ). Ist f : R R zweimal stetig differenzierbar (d. h. f ist stetig) und konvex, und besitzt f eine Nullstelle, dann konvergiert die Newton Folge für jeden Startwert x 0 mit f (x 0 ) 0. Man mache sich die letzten beiden Aussagen an den Beispielen f 1 (x) = x 2 1 und f 2 (x) = x 2 e x graphisch klar. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg Die Regeln von Bernoulli-l Hospital f(x) Bei der Berechnung von Grenzwerten der Form lim x ξ g(x) hatten wir bei unbestimmten Ausdrücken wie 0 0 oder Probleme. Solche Probleme werden häufig leichter, wenn Differenzierbarkeit vorliegt. Das betreffende Ergebnis wurde von Johann Bernoulli ( , links) entwickelt, und vom Marquis de l Hospital ( , rechts) im ersten Lehrbuch der Differentialrechnung (1696) veröffentlicht. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 287 Satz 4.20 (Regeln von Bernoulli-l Hospital). Seien f, g : (a, b) R differenzierbare Funktionen mit g (x) 0 für alle x (a, b) und sei entweder lim f(x) = lim g(x) = 0 oder x b x b g(x) = ± lim x b Dann gilt f(x) = lim x b f(x) lim x b g(x) = lim f (x) x b g (x), wenn der zweite Grenzwert existiert. Hierbei ist b = erlaubt. Entsprechende Aussagen gelten für rechtsseitige und beidseitige Grenzwerte. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 288

18 Plausibilitätsargument zu Satz 4.20 Nahe einer Stelle x 0 mit f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 gilt f(x) f (x 0 )(x x 0 ) und g(x) g (x 0 )(x x 0 ). Damit also f(x) g(x) f (x 0) g (x. 0) Beispiele sin x cos x lim x 0 x = lim x 0 1 = 1, lim x x 3 exp( x) = lim x 3x 2 exp( x) = lim x 6x exp( x) = lim 6 x exp( x) =0. x sin(x) e Man berechne die Grenzwerte lim x 0 x sin(x) und lim αx x x für α > 0. Leiten Sie aus dem zweiten Ergebnis einem Aussage über lim x e αx x β für α, β > 0 ab. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 289 Anmerkung Die Bedeutung der l Hospitalschen Regeln wird vom Anfänger oft überschätzt und endet in nervenaufreibenden Rechnungen ohne Ergebnis. Betrachten Sie dazu zum Beispiel e x e x lim x e x + e x ( 1 e 2x = lim x 1 + e 2x = 1 ). Häufig ist es günstiger, bei der Grenzwertberechnung für unbestimmte Ausdrücke wie 0 0 oder auf Potenzreihen zurückzugreifen. Die Details können Sie im Modul HM 2 erlernen. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg Totales Differential und Fehlerfortpflanzung Wir kommen noch einmal auf die Leibniz-Schreibweise y (x 0 ) = dy dx (x 0) zurück mit dem Ziel, die Ausdrücke dx und dy näher zu fassen. Definition 4.21 (Totales Differential). Sei f : D f R eine in x 0 differenzierbare Funktion. Für eine beliebige Zahl dx = x x 0 heißt totales Differential von f bei x 0. dy := f (x 0 ) dx = f (x 0 )(x x 0 ) Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 291

19 Geometrische Deutung f(x) f(x 0) dx dy y f x 0 x dy ist die Änderung der Funktionswerte der Tangente bei Änderung des Arguments um dx. Idee für Fehlerfortpflanzung Approximiert man f nahe x 0 durch die Tangente, so gilt näherungsweise f(x) f(x 0 ) =: y dy = f (x 0 ) dx. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 292 Praktische Anwendung In Experimenten ist häufig der Einfluss des Fehlers x einer Messgröße x auf den Fehler y einer berechneten Zielgröße y = f(x) von Interesse. Mit dem totalen Differential und der eben beschriebenen Idee ergibt sich die Näherungsformel y f (x) x. Durch Messung der Parallaxe p eines Fixsterns (in ) lässt sich mittels r(p) = 1/p der Abstand des Sterns zu Erde errechnen (in Pc; 1 Pc ly). Die erste Parallaxe wurde 1838 am Stern 61 Cyg von F. W. Bessel mit p = ( ± ) gemessen. Welcher Abstand zur Erde ergibt sich? Wie genau ist das Ergebnis? Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg Der Satz von Taylor Mit der ersten Ableitung waren wir in der Lage, Funktionen nahe einer Stelle x 0 linear zu approximieren. Statt linearer Funktionen kann man auch Polynome höherer Ordnung verwenden und damit ggf. noch bessere Ergebnisse erreichen. Der betreffende Satz trägt den Namen des englischen Mathematikers Brook Taylor ( ). Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 294

20 Illustration der Idee am Beispiel Die Funktion f(x) = cos x (blau) lässt sich nahe x 0 = 0 durch die Tangente t(x) = 1 approximieren (grün). Besser ist jedoch die Approximation durch T 2 (x) = x2 (rot). Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 295 Satz 4.22 (Satz von Taylor). Sei f : I R eine auf dem offenen Intervall I (n + 1) mal differenzierbare Funktion; x 0, x I. Dann gibt es eine Zahl ξ zwischen x und x 0, so dass f(x) = T n (x) + R n (x) mit dem Taylor-Polynom n ter Ordnung T n(x) = n k=0 f (k) (x 0) (x x 0) k k! = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) 2 und dem Lagrangeschen Restglied R n(x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x0)n+1. (x x 0) f (n) (x 0) (x x 0) n n! Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 296 Beispiel Für f(x) = sin x und x 0 = 0 gilt f (x) = cos x, f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (4) = f, f (5) = f,... Somit ergibt sich f(x 0 ) = 0, f (x 0 ) = 1, f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) = 1, f (4) (x 0 ) = 0,... Die ersten 6 Taylor-Polynome lauten also T 1 (x) = 0 + 1(x 0) = x, T 2 (x) = 0 + 1(x 0) (x 0)2 = x, T 3 (x) = 0 + 1(x 0) (x 0)2 1 6 (x 0)3 = x 1 6 x3, T 4 (x) = x 1 6 x3, T 5 (x) = T 6 (x) = x 1 6 x x5. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 297

21 Bild zum Beispiel: f(x) = sin x (blau) mit den Taylorpolynomen T 1 (x) = T 2 (x) (grün), T 3 (x) = T 4 (x) (rot) und T 5 (x) = T 6 (x) (türkis) zum Entwicklungspunkt x 0 = 0. Schätzen Sie den relativen Fehler sin x x sin x der Physiker-Näherung sin x x ( x klein) für x < 0.1 mit dem Lagrangeschen Restglied ab. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 298 Taylor-Reihen Verhält sich das Restglied gutartig, so approximieren die Taylorpolynome T n die Funktion f mit größer werdendem n nahe x 0 immer besser. Im günstigsten Fall lässt sich f in einer Umgebung von x 0 durch eine Taylor-Reihe darstellen: f(x) = n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n für alle x mit x x 0 < ε. n! Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 299 Wichtige Taylor Reihen: (1 x) 1 x n x < 1 arctan(x) n=0 ( 1) n x 2n+1 2n + 1 n=0 x 1 exp(x) n=0 x n n! x R sinh(x) x 2n+1 (2n + 1)! n=0 x R sin(x) ( 1) n x 2n+1 n=0 (2n + 1)! x R cosh(x) x 2n (2n)! n=0 x R cos(x) ( 1) n x 2n n=0 (2n)! x R artanh(x) x 2n+1 2n + 1 n=0 x < 1 ln(1 + x) ( 1) n+1 x n n n=1 x ( 1, 1] (1 + x) a n=0 ( a n) x n x < 1 mit ( a ( 0) := 1 und a ) n := a(a 1) (a n+1) für alle n N und alle a R. n! Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 300

22 Warnung Es soll aber vor dem Trugschluss gewarnt werden, der Satz von Taylor garantiere die Entwickelbarkeit jeder unendlich oft differenzierbaren Funktion in eine Taylor-Reihe. Vielmehr gilt: Es gibt Fälle, in denen die Taylor-Reihe für x x 0 überhaupt nicht konvergiert. Es gibt Fälle, in denen die Taylor-Reihe für x x 0 konvergiert, aber mit der eigentlichen Funktion f nichts zu tun hat. Zum Beispiel gilt für f(x) = { e 1 x 2, x 0; 0, x = 0 die Beziehung T n (x) = 0 für alle n N. Informationen über die Konvergenz erhält man mit Hilfe des Restglieds. Dies soll hier aber nicht weiter diskutiert werden. Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 301 Ziele erreicht? Sie sollten nun (bzw. nach Abschluss der Übungen/Tutorien): den Ableitungsbegriff und die Idee der linearen Approximation tiefgreifend verstanden haben, Funktionen sicher auf Differenzierbarkeit untersuchen und deren Ableitung mit Diffenzenquotient oder Ableitungsregeln sicher bestimmen können, alle Punkte einer Kurvendiskussion sicher ausführen können, Taylor-Polynome sicher berechnen können und wissen was man unter einer Taylor-Reihe versteht. Sie sind sich nicht sicher oder meinen nein? Sie wissen schon... Differentialrechnung TU Bergakademie Freiberg 302