Formelsammlung. Folgen und Reihen

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1 Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Formelsmmlung Folgen und Reihen en Folge n ) n N0 : D R, n n := n) mit D N 0 n-te Prtilsumme von n ) n N0 n s n = Reihe s n ) n N0 k Wichtige Folgen & Reihen Explizite Folgendrstellung Prtilsumme Arithmetische Folge mit n+ n = d n N 0 n+ = 0 + n + )d s n = Geometrische Folge mit n+ n = q n N 0 ; q R \ {0} n 0 +kd) = n+) 0 + nd ) 2 q { n+ q k 0 = q q 0 n + ) q = n+ = q n+ 0 s n = 0 n Eigenschften einer Folge n mit, c R Beschränkt n c n N 0 Nch unten beschränkt n c n N 0 Nch oben beschränkt n c n N 0 Monoton wchsend n n+ n N 0 Monoton fllend n n+ n N 0 Konvergent mit Grenzwert ε > 0 n 0 N 0 : n < ε n n 0 Rechenregeln für konvergente Folgen mit n n =, n b n = b und c R n ± b n ) = n ± b n = ± b n n n ) c n c n = n = c, flls n > 0, > 0 n n cn = c n n Konvergenzkriterien für Reihen ) = c, flls c > 0 n nb n ) = n n n c n = c n n = c b n = b n n n n = n b n b = n b, flls b n 0, b 0 n Eine Reihe k heiÿt bsolut konvergent, wenn die Reihe k konvergent ist. Konvergenzkriterium Quotientenkriterium k+ k q 0 < q < ; k 0 ; k k 0 ; k 0 N 0 Wurzelkriterium k k q 0 < q < ; k k 0 ; k 0 N 0

2 Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Dierenzierbrkeit im R n Häufungspunkt und Grenzwert Häufungspunkt x 0 R n x 0 R n heiÿt Häufungspunkt der Menge D R n, wenn zu jedem ε > 0 unendlich viele x D mit x x 0 < ε existieren. Isolierter Punkt x 0 R n Ist x 0 kein Häufungspunkt der Menge, ber gilt x 0 D, dnn wird x 0 ls isolierter Punkt bezeichnet. Grenzwert c R Ist x 0 ein Häufungspunkt, dnn sgt mn, dss die Funktion f für x x 0 gegen den Grenzwert c R konvergiert, wenn für jede Folge x k ) k N D mit x k x 0 für lle k N und x k = x 0 stets fx k) = c gilt. k k Stetigkeit Stetigkeit Eine Funktion f : D R n R heiÿt stetig n der Stelle x 0, wenn x 0 kein Häufungspunkt der Menge D ist oder flls x 0 ein Häufungspunkt der Menge D ist und die Funktion f für x x 0 gegen den Grenzwert fx 0 ) konvergiert, d.h. wenn x x0 fx) = fx 0 ) gilt. Kurvendiskussion in R Sei f : D R R eine reellwertige, geeignet oft dierenzierbre Funktion, d.h. der Grenzwert fx 0 + x) fx 0 ) Dierentilquotient) existiert, sowie ε > 0. Dnn gilt: x x 0 Bedingungen Supremum c von f Inmum c von f c ist die kleinste obere Schrnke von f c ist die gröÿte untere Schrnke von f globle Minimlstelle x 0 x 0 D mit fx 0 ) fx) x D f x 0 ) = 0 f x) > 0 globle Mximlstelle x 0 x 0 D mit fx 0 ) fx) x D f x 0 ) = 0 f x) < 0 lokle Minimlstelle x 0 x 0 D mit fx 0 ) fx) f x 0 ) = 0 f x 0 ) > 0 x D {x R n : x x 0 < ε} lokle Mximlstelle x 0 x 0 D mit fx 0 ) fx) f x 0 ) = 0 f x 0 ) < 0 x D {x R n : x x 0 < ε} Wendestelle x 0 ε > 0 mit f [x 0 ε, x 0 ] streng konvex f x 0 ) = 0 f x 0 ) < 0 konvex / konkv und f [x 0, x 0 ε] streng konkv Wendestelle x 0 ε > 0 mit f [x 0 ε, x 0 ] streng konkv f x 0 ) = 0 f x 0 ) > 0 konkv / konvex und f [x 0, x 0 ε] streng konvex Sttelstelle x 0 f x 0 ) = 0 f x 0 ) = 0 f x 0 ) 0

3 Eigenschften reeller Funktionen Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Seien f : D f R n R und g : D g R n R zwei reelle Funktionen und α R, dnn gilt: Bedingung flls f stetig bzw. dierenzierbr n der Stelle x 0 Eigenschft f + g, f g, fg und αf stetig bzw. dierenzierbr n der Stelle x 0 flls zusätzlich gx 0 ) 0 f g stetig bzw. dierenzierbr n der Stelle x 0 flls zusätzlich gd g ) D f und g n der Stelle x 0 D g f g : D g R n R n der Stelle x 0 und f n der Stelle y 0 = gx 0 ) stetig bzw. dierenzierbr stetig bzw. dierenzierbr flls f streng monoton uf D f f : fd f ) R stetig Rechenregeln für dierenzierbre Funktionen Seien f : D R n R und g : D R n R zwei reelle Funktionen, die n der Stelle x 0 dierenzierbr sind, und α R. f + g) x 0 ) = f x 0 ) + g x 0 ) αf) x 0 ) = αf x 0 ) f g) x 0 ) = f x 0 ) g x 0 ) fg) x 0 ) = f x 0 )gx 0 ) + fx 0 )g x 0 ) Regeln von L'Hôspitl f g ) x0 ) = f x 0)gx 0) fx 0)g x 0) g 2 x 0) f g) x 0 ) = f gx 0 ))g x 0 ) Die reellen Funktionen f, g :, b) R seien dierenzierbr mit g x) 0 x, b) und der Grenzwert f x) existiere im eigentlichen oder uneigentlichen Sinne. Dnn gilt: x b g x) Bedingung Erste Regel fx) = gx) = 0 Bedingung fx) = ± x b x b x b fx) x b gx) = f x) x b g x) Zweite Regel fx) x b gx) = f x) x b g x) gx) = ± x b Änderungsrte und Elstizität f : D R R dierenzierbr in x 0 mit fx 0 ) 0 f : D R n R prtiell dierenzierbr in x 0 mit fx 0 ) 0. Änderungsrte ρ f x 0 ) = f x 0 ) fx 0 ) Elstizität ε f x 0 ) = x 0 f x 0 ) fx 0 ) Prtielle Änderungsrte ρ f,xi x 0 ) = fx 0) x i fx 0 ) Prtielle Elstizität ε f;xi x 0 ) = fx 0) x i x i fx 0 )

4 Prtielle Dierentition Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Es sei f : D R n R eine reellwertige Funktion uf einer oenen Menge D, die geeignet oft prtiell dierenzierbr ist. Prtielle Dierentition f heiÿt n der Stelle x bzgl. der i-ten Vriblen x i prtiell dierenzierbr, wenn der Grenzwert fx + x e i ) fx) x 0 x existiert. =: fx) x i Grdient n der Stelle x grdfx) = fx) x ) T,, fx) x n Sttionäre Stelle x 0 grdfx 0 ) = 0 Hesse-Mtrix n der Stelle x x 2 x 2 x H f x)=. x n x x x 2 x 2 2. x n x 2 x x n x 2 x n... x 2 n Tngentilhyperebene tx) = fx 0 ) + grdfx 0 ) T x x 0 ) Totles Dierentil df n der Stelle x 0 df = grdfx 0 ) T dx = n fx 0) i= x i dx i Implizite Funktion Es seien D R n eine oene Menge und f : D, b) R n+ R eine stetig prtiell dierenzierbre Funktion mit fx fx 0, y 0 ) = 0 und 0, y 0 ) 0. y Dnn ist die implizite Funktion g : U 0, b 0 ) stetig prtiell dierenzierbr und für ihre prtiellen Ableitungen gilt fx,gx)) gx) x = i für lle i =,, n. x fx,gx)) i y

5 Optimierung Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Es sei f : D R n R eine prtiell dierenzierbre Funktion, g,, g k : D R n R stetig prtiell dierenzierbre Funktionen und λ der Lgrnge-Multipliktor. Lgrnge Funktion Lλ,, λ k, x) := fx) + k p= λ pg p x) Optimierung grdfx 0 ) = 0 H f x 0 ) / H f x) negtiv denit ohne Nebenbedingung lokles / globles Mximum bei x 0 grdfx 0 ) = 0 H f x 0 ) / H f x) positiv denit lokles / globles Minimum bei x 0 Lλ Optimierung,...,λ k,x 0) x j = 0 H f x 0 ) / H f x) negtiv denit unter Gleichheitsnebenbedingungen lokles / globles Mximum bei x 0 g p x) = 0 für p =,, k Lλ,...,λ k,x 0) x j = 0 H f x 0 ) / H f x) positiv denit lokles / globles Minimum bei x 0 Lλ,...,λ k,x 0) x j Optimierung unter Ungleichheitsnebenbedingungen globles Minimum bei x 0 min fx) g p x) 0 für p =,, k λ p 0 für p =,, k λ p g p x 0 ) = 0 für p =,, k = 0 H f x 0 ) positiv denit Approximtionsverfhren Tylor-Formel Tylorpolynom n-ten Grdes der Funktion f um den Entwicklungspunkt x 0 : T n;x0 x) = n f k) x 0 ) k! x x 0 ) k = fx 0 ) + f x 0 )x x 0 ) + f x 0 ) 2! Der Approximtionsfehler entspricht dem n-ten Restglied Newton-Verfhren und Sekntenverfhren Sei f : R R eine stetig dierenzierbre Funktion. R n;x0 x) = fx) T n;x0 x). x x 0 ) f n) x 0 ) x x 0 ) n n! Newton-Verfhren x n+ = x n fx n) f x n ) Vereinfchtes Newton-Verfhren x n+ = x n fx n) f x 0 ) mit f x n ) 0 mit f x 0 ) 0 Sekntenverfhren x n+ = fx n)x n fx n )x n fx n ) fx n )

6 Integrtion Es sei die Riemnn-integriebre Funktion f : [; b] R gegeben. Dnn gilt: Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Stmmfunktion F : [; b] R F x) = fx) x [; b] Bestimmtes Riemnn-Integrl Unbestimmtes Riemnn-Integrl fx) dx = F b) F ) fx) dx = F x) + C mit C R Uneigentliches Riemnn-Integrl. Art mit f : [; ) R Uneigentliches Riemnn-Integrl 2. Art mit f : [; b) R mit fx) für x b fx) dx := b fx) dx := t b t fx) dx fx) dx Rechenregeln für Integrle mit α, β R, c b αfx) + βgx)) dx = α fx) dx + β fx)g x) dx = fx)gx) f x)gx) dx gx) dx c αfx) dx = αfx) dx + αfx) dx c fgt))g t) dt = fx) dx mit x = gt) Riemnn-Stieltjes-Integrl Es seien f : [, b] R und g : [, b] R zwei reelle Funktionen. Riemnn-Stieltjes-Integrl fx)dgx) Trnsformtionsstz Ist f Riemnn-integrierbr und g stetig dierenzierbr, dnn ist f bzgl. g Riemnn-Stieltjes-integrierbr und es gilt fx)dgx) = fx)g x)dx Riemnn-Integrl im R n Stz von Fubini Die reellwertige Funktion f : [, b] R n R sei stetig. Dnn gilt: bn b2 ) b fx) dx = fx,, x n ) dx [;b] n 2 dx 2 ) dx n = n n 2 2 fx,, x n ) dx dx 2 dx n

7 Ableitungen und Stmmfunktionen elementrer Funktionen fx) = F x) F x) + C = fx) dx Bemerkungen x + C x c c+ xc+ + C R für c N 0 R \ {0} für c { 2, 3, } R + für c > 0 R + \ {0} für c < 0 mit c x ln x + C x 0 e x e x + C e rx r erx + C r 0 x ln) x + C > 0, x x + lnx)) x x + C x > 0 lnx) xlnx) ) + C x > 0 log x) sinx) cosx) x ln) lnx) ) + C > 0, x > 0 cosx) + C sinx) + C tnx) ln cosx) + C x 2k + ) π 2, k Z cotx) ln sinx) + C x kπ, k Z sin 2 x) cotx) + C x kπ, k Z cos 2 x) tnx) + C x 2k + ) π 2, k Z x 2 rcsinx) + C x < +x 2 rctnx) + C