Formelsammlung MAT 182 Analysis für Naturwissenschaften

Transkript

1 Formelsmmlung MAT 8 Anlysis für Nturwissenschften Contents Einfche Zhlenwerte und Funktionen 3. Potenzen Wurzeln Logrithmen Qudrtische Gleichungen Gleichungen höheren Grdes Funktionen e und ln / spezielle Zhlenwerte Trigonometrische Funktionen / spezielle Zhlenwerte.. 5 Differenzieren und Integrieren 5 3 Kurvendiskussion 9 4 Linerisierung 0 4. Tylorreihe Seprierbre DGL / Linere DGL 5. DGL: wichtige Begriffe (llg./spez. LSG und Singulritäten).. 6 Stetigkeit / Differenzierbrkeit 3 7 Mximler Definitionsbereich 3 8 Vektorgeometrie 3 9 Kurvenintegrle 5 Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite

2 0 Exponentielles Wchstum/Zerfll und DGL 6 Funktionen zweier Vriblen 7 Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite

3 Einfche Zhlenwerte und Funktionen. Potenzen Regeln Formelusdruck Grundregeln = 0 = ( ) n = () n ( ) n+ = n+ n N Multipliktion m n = m+n n b n = ( b) n Division Potenzen m n = m n = n m ( m ) n = ( n ) m = m n ( n ) n b = n = n b n. Wurzeln Regeln Grundregeln Multipliktion Division Potenzen Formelusdruck n = n n b = n n b n b = n n b n x = ( n ) x = x n Wurzeln n x = x n = n x = n x Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 3

4 .3 Logrithmen Regeln Formelusdruck [ log Bsis = 0] [ ln Bsis = e] Grundregeln x = b x = log (b) log (b) = b log () = log () = 0 log ( n ) = n Multipliktion Division Potenzen Bsiswechsel log (u v) = log (u) + log (v) ( u ) log = log v (u) log (v) log (b n ) = n log (b) log (b) = log(b) log() = ln(b) ln().4 Qudrtische Gleichungen x + bx + c = 0 x, = b± b 4c.5 Gleichungen höheren Grdes Eine Nullstelle x 0 errten. Dnn Polynomdivision (x x 0 ) durchführen. Beispiel: x 3 6x + x 6 = 0. Nullstelle x 0 = errten. Polynomdivision (x 3 6x + x 6) : (x ) = x 5x Funktionen.6. e und ln / spezielle Zhlenwerte y e x ln(x) x Immer wieder n Prüfungen wird der Wert ln() bgefrgt. Merke: ln() 0.7. Alle Werte wie ln ( ) oder ln(4) lssen sich dnn us ln() bleiten! ln ( ) = ln( ) = ln() ln(4) = ln( ) = ln() Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 4

5 .6. Trigonometrische Funktionen / spezielle Zhlenwerte y sin(x) cos(x) x ϕ 0 o 30 o = π 6 45 o = π 4 60 o = π 3 90 o = π sin(ϕ) 0 cos(ϕ) 3 Häufig verwendete Reltionen: 3 0 Alle nderen Winkel, die sich uf diese Winkel zurückführen lssen, können mit Hilfe des Einheitskreies ermittelt werden. - sin(ϕ) = sin(ϕ) cos(ϕ) - cos(ϕ) = cos (ϕ) sin (ϕ) = cos (ϕ) = sin (ϕ) - tn(ϕ) = tn(ϕ) tn (ϕ) Differenzieren und Integrieren Ableitungsregeln Regel Funktion Ableitung Summe f(x) + g(x) f(x) + g(x) Differenz f(x) g(x) f(x) g(x) c-fktor c f(x) c f(x) Produkt f(x) g(x) f (x) g(x) + f(x) g (x) Quotient f(x) g(x) f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) Kettenregel f(g(x)) f (g(x)) g (x) Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 5

6 Ableitung wichtiger Funktionen Funktion Ableitung Bemerkung y = f(x) y = f (x) c = const 0 x n nx n Gilt für lle n R, flls x > 0. Gilt für lle n Z x x 0 x x x x > 0 x und beliebige x (für n < 0 muss jedoch x 0 sein). e x e x Allg: ( x ) = x ln() > 0 ln x log (x) sin(x) x x ln() cos(x) x > 0 x > 0, > 0 cos(x) sin(x) tn(x) + tn (x) = cos (x) cot(x) ( + cot (x)) = sin (x) rcsin(x) x rccos(x) x rctn(x) + x rccot(x) + x x π + kπ (k Z) x kπ (k Z) x < x < Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 6

7 Einige Rechenregeln für ds bestimmte Integrl ) Summen, Differenzen, Vielfche b ( ) b f(x) ± g(x) dx = f(x) dx ± b b) Vertuschen der Integrtionsgrenzen f(x) dx = 0 b c) Zerlegung des Intervlls b f(x) dx = c f(x) dx + f(x) dx = b c b g(x) dx f(x) dx f(x) dx c [, b] b b < b cf(x) dx = c f(x) dx Eine erste Liste von Stmmfunktionen Funktion f(x) Eine Stmmfunktion F (x) x r (r ) x e x sin(x) x x r+ r + ln x e x cos(x) cos(x) sin(x) x rcsin(x) + x rctn(x) Integrtion durch Substitution (Umkehr der Kettenregel) [ F (u(x))] = F (u(x)) u (x) = f(u(x)) u (x) f(u(x))u (x) dx = F (u(x)) + C Prtielle Integrtion (Umkehr der Produkteregel (f g) = f g + f g ) f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 7

8 Integrltbelle Funktion Stmmfunktion ) Rtionle Funktionen (x + b) n 0, n (x + b) 0 x + bx + c x + bx + c x + bx + c x + b cx + d c 0 b > c b < c b = c x + b (x + b) n+ (n + ) ln x + b b c ln x + b b c x + b + b c rctn x + b c b c b x c d bc c ln cx + d b) Qudrtwurzeln x ± x x ± x x x ± ± x ln + x ± x x + rcsin x ln x + x ± rcsin x c) Trigonometrische Funktionen tn(x) ln cos x cot(x) sin(x) cos(x) ln sin(x) ( x ) ln tn ( x ln tn + π ) 4 Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 8

9 Ableitung der Umkehrfunktion Es sei y 0 = f(x 0 ) [ x 0 = g(y 0 )]. Dnn gilt für die Ableitung der zu f inversen Funktion g n der Stelle y 0 : g (y 0 ) = f (x 0 ) = f (g(y 0 )) für f (x 0 ) 0. 3 Kurvendiskussion Spezielle Punkte Bemerkungen Nullstellen f(x) = 0 Pole f(x) = z(x) n(x) n(x 0 ) = 0 mehrere Lösungen möglich! ist z(x 0 ) = n(x 0 ) = 0, dnn muss lim f(x) berechnet werden! x x0 Extrem f (x 0 ) = 0 Es knn mehrere Lösungen geben! f (x 0 ) > 0 Minimum f (x 0 ) < 0 Mximum f (x 0 ) = 0 Sttelpunkt, flls f (x 0 ) 0 Die ermittelten Mxim oder Minim sind sicher lokle Extremwerte. Ob es uch globle Extrem sind muss weiter ermittelt werden. Eine strke Bedingung für ein Extremum Rndpunkte Globles MAX/MIN Wendepunkt ist, dss f (x 0 ) bei x 0 einen Vorzeichenwechsel hben muss. f(x) ist definiert für x [, b]. Dnn muss f() und f(b) berechnet werden. Diese sind immer lokle MAX/MIN. Von llen MAX/MIN berechne mn deren Funktionswert. Ds grösste bzw. ds kleinste ist ds globle Mxim bzw. Minim! Rndpunkte bechten flls vorhnden! f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0 (hinreichende Bedingung) Eine strke Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes ist, dss f (x 0 ) bei x 0 einen Vorzeichenwechsel hben muss. Linkskurve f(x) ist eine im Intervll I zweiml differenzierbre Funktion. und f (x) > 0 für lle I Linkskurve Rechtskurve f (x) < 0 für lle I Rechtskurve Asymptoten Berechne lim und lim x x Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 9

10 4 Linerisierung Approximtion der gegebenen Funktion f(x) in der Nähe von x 0 : p(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) 4. Tylorreihe Eine Funktion knn uch durch eine Tylorreihe drgestellt werden. Die Tylorreihe wird nicht immer in der VLSG besprochen. Es gilt: f(x) = 0 + (x x 0 ) + (x x 0 ) + 3 (x x 0 ) k (x x 0 ) k +... mit k = f (k) (x 0 ), k = 0,,,... k! Die Linerisierung entspricht dem Tylorpolynom mit den ersten beiden Termen! Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 0

11 5 Seprierbre DGL / Linere DGL Art der DGL Bemerkung ) Linere DGL. Ordnung y = p(x) y + q(x) p(x) und q(x) sind Funktionen von x Homogene lin. DGL. Ordnung y = p(x) y Ist q(x) = 0, nennt mn sie homogen ndernflls nennt mn sie inhomogen. b) Seprierbre DGL y = r(x) s(y) r und s sind Funktionen von x. c) Logistische DGL y = α(a y)(b y) A B Lösungsmethoden seprierbre DGL y = r(x) s(y) dy dx = r(x) s(y) Linere DGL. Ordnung dy dy s(y) = r(x) dx s(y) = r(x) dx. Lösen Sie die homogene linere DGL y = p(x) y Lösung mittels Seprtion! Oder direkt y = C e P (x) setzen. P (x) ist eine Stmmfunktion von p(x) P (x) = p(x)dx.. Lösen Sie die homogene linere DGL y = p(x) y + q(x) Mchen Sie den Anstz mit der Methode Vrition der Konstnten y = K(x) e P (x). Flls explizit in der Prüfung verlngt, müssen Sie y und y in der DGL einsetzen und nch K (x) uflösen und dnn K(x) bestimmen. Sonst können Sie K(x) gemäss K(x) = q(x) e P (x) dx bestimmen. Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite

12 Logistische DGL B A Die Lösung der DGL (Vrinte Luchsinger) ist y = A + + K e α(b A)x Speziöfll für biomolekulre Rektionen (Vrinte Luchsinger). N (t) = cn(t) ( B N(t) ) B N(t) = B + K e ct c > 0, B > 0 5. DGL: wichtige Begriffe (llg./spez. LSG und Singulritäten) llgemeine Lösung einer DGL Eine llgemeine Lösung einer DGL beinhltet einen freien Prmeter. Einfches Beispiel: y = y y = C e x C R. spezielle Lösung einer DGL Eine spezielle Lösung ist durch eine weitere Bedingung gegeben, zum Beispiel y(0) =. Im obigen Beispiel ist dnn y = e x eine spezielle Lösung. Singulrität Singuläre Lösungen sind Lösungen einer DGL, die nicht in der llgemeinen Lösung erscheinen. Siehe Prüfungsbeispiele. Hier ein einfches Demo-Beispiel. Die DGL y = y soll y(0) = 0 erfüllen. Mn findet y = x+c ls llgemeine Lösung. Die Gleichung y(0) = 0+C = 0 führt zu keiner Lösung für C. Wir finden trotzdem die Lösung y(x) = 0. Diese nennt mn singulär. Sttionäre Lösungen Eine sttionäre (oder konstnte) Lösung ist eine sich zeitlich nicht mehr veränderte Lösung für die DGL. Mn findet diese durch ds Lösen von y = 0. Sttionäre Lösungen sind gute Kndidten für singuläre Lösugen! Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite

13 6 Stetigkeit / Differenzierbrkeit x 0 ist ein Wert us dem Definitionsberech von f(x). Eine Funktion ist stetig, wenn lim f(x) = lim f(x) x x0 x x0 gilt. Eine Funktion ist differenzierbr, wenn sie stetig ist und gilt. lim f (x) = lim f (x) x x0 x x0 7 Mximler Definitionsbereich Für Funktionen muss ein mximler Definitionsbereich ermittelt werden. Häufige Kriterien dfür sind: - > 0 Wert unter der Wurzel muss immer 0 oder grösser sein! - ln(> 0) Argument des LOG s muss immer grösser ls 0 sein! - z n Der Nenner n drf nie 0 sein, lso n 0! - tn() π ± z π, z Z 8 Vektorgeometrie Gerde: Die Prmetergleichung einer Gerden mit Anfngspunkt P (x P /y P /z P ) und Richtungsvektor lutet r = y P + t. z P 3 Ebene: Wir unterscheiden zwei Arten von Ebenengleichungen, die Prmeterdrstellung und die Koordintendrstellung. Prmeterdrstellung: r = x P y P z P x P + u 3 + v Koordintendrstellung: x + by + cz = d Der Vektor b ist der Normlenvektor der Ebene. c Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 3 b b b 3

14 Sklrprodukt: Ds Sklrprodult zweier Vektoren und b mit Zwischenwinkel ϕ lutet b = b b = b + b + 3 b 3 = b cos ϕ 3 b 3 Vektorprodukt: Ds Vektorprodukt zweier Vektoren und b lutet b b 3 3 b b = b = b b 3 b 3 b b Der resultierende Vektor b ist der Normlenvektor der durch die Vektoren und b ufgespnnte Fläche und sein Betrg entspricht dieser Fläche. Abstnd Punkt - Gerde: Der Abstnd Punktes P mit Ortsvektor r P von der Gerden g : r = r A + t r g berechnet sich us d = r g ( r P r A ) r g. Abstnd Punkt - Ebene: Der Abstnd Punktes P mit Ortsvektor r P von der Ebene E: n r k = 0 berechnet sich us d = n r P k n Abstnd windschiefer Gerden: Der Abstnd zweier windschiefer Gerden g : r = r A + t r g und h : r = r B + t r h berechnet sich us d = ( r g r h ) ( r B r A ) r g r h Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 4

15 9 Kurvenintegrle Berechnung des Weg- oder Kurvenintegrls C F ( x) d x : Mn ht den Weg C gegeben in Form einer Prmeterdrstellung für x(t). Aus d x dt = x folgt, dss d x = x dt ist. Somit knn ds Kurvenintegrl berechnet werden. t F ( x) d x = F ( x) x dt Mn bechte: C t F ( x) und x sind zwei Vektoren, lso ist F ( x) x ein Sklrprodukt! Sind F ( x) und x senkrecht zueinnder, dnn ist ds Sklrprodukt 0. Häufig in Prüfungen trifft mn den Begriff Gnghöhe n bei spirlrtigen Bewegungen. Dmit ist die Höhe gemeint, bei der mn nch einer Umdrehung wieder über den gleichen Punkt steht. Tngente in einem bestimmten Punkt für t = t 0 : x(s) = x (t 0 ) + s x(t 0 ). Mn bechte, dss x(t 0 ) der Tngentilvektor im Punkt x (t 0 ) ist. Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 5

16 0 Exponentielles Wchstum/Zerfll und DGL Ds exponentielle Wchstum oder der Zerfll wird mit der Funktion N(t) = N 0 e ±λ t beschrieben. Wir sprechen von Wchstum, wenn im Exponent ein + steht, von Zerfll, wenn im Exponent ein steht. λ entspricht im + Fll einer Wchstumskonstnte, im Fll eines der Zerfllskonstnte. Wchstumsfunktionen von Popultionen werden im Allgemeinen mit der Funktion y = b t beschrieben! Für logistische Wchstumsfunktionen siehe uch Kpitel 5, Seite. Zerfll Mn bechte: Hlbwertszeit: T / = ln() λ 4 C Hlbwertszeit T / = 5730 Jhre Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 6

17 Funktionen zweier Vriblen Ein reltives Extremum (wenn es überhupt existiert) tritt n einer der folgenden Stellen uf:. Innere Punkte (x 0, y 0 ) mit f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = 0,. Rndpunkte von D(f), 3. Stellen, wo f nicht prtiell differenzierbr ist. Um die Art des Extremums zu bestimmen müssen weitere Kriterien betrchtet werden. Ht mn (x 0, y 0 ) bestimmt, so muss die Zhl A, definiert durch A = A(x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) [f xy (x 0, y 0 )] untersucht werden (A ist die Determinnte der Hesse-Mtrix). Ist A > 0, so ht f in (x 0, y 0 ) ein reltives Extremum und es liegt für f xx (x 0, y 0 ) < 0 ein reltives Mximum vor, für f xx (x 0, y 0 ) > 0 ein reltives Minimum vor. Ist A < 0, so ht f in (x 0, y 0 ) kein reltives Extremum. Ist A = 0, so knn uf diesem Wege keine Entscheidung gefällt werden. Anlysis für die Nturwissenschften October 5, 07 Seite 7