Mathematik-Leistungskurs

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1 Mthemtik-Leistungskurs Zusmmenfssung der Inhlte im Leistungskurs Mthemtik bezogen uf die Vorgben für ds Abitur in Nordrhein-Westflen für ds Jhr 2012 Erstellt von: Ptrick Robrecht Inhltsverzeichnis 1 Anlysis Funktionen Integrle Linere Algebr und nlytische Geometrie Vektoren Mtrizen Stochstik 7 Ptrick Robrecht: Mthemtik-Leistungskurs 1

2 1 Anlysis 1.1 Funktionen Eine Funktion f ordnet jedem x D ein f(x) W zu. 1. Definitionsbereich D := Menge der Werte, welche für x eingesetzt werden. Hier sind Definitionslücken uszuschließen (z. B. Division durch 0). 2. Wertebereich W := Menge der möglichen Funktionswerte f(x) 3. Verhlten im Unendlichen und um 0 (nur sofern im Definitionsbereich), lso die vier Grenzwerte 4. Symmetrie lim f(x), lim f(x), x x lim f(x), x 0,x<0 lim f(x), x 0,x>0 () punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(x) = f( x) (b) chsensymmetrisch zur y-achse, wenn f(x) = f( x) 5. Schnittpunkte mit den Koordintenchsen () Nullstellen: Lösungen der Gleichung f(x) = 0, Schnittpunkte sind N(x 0) für lle x, welche die Gleichung erfüllen (b) Schnittpunkt mit der y-achse: S y (0 f(0)) 6. Ableitungen () 1. Ableitung f (x): Steigung von f(x) n der Stelle x 2. Ableitung f (x): Steigung von f (x) n der Stelle x usw. (b) Ableitungsregeln: Fktorregel f 1 (x) = c g(x) f 1(x) = c g (x) Summenregel f 2 (x) = g(x) ± h(x) f 2(x) = g (x) ± h (x) Potenzregel f 3 (x) = x n f 3(x) = n x n 1 Produktregel f 4 (x) = u(x) v(x) f 4(x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) Quotientenregel f 5 (x) = u(x) f v(x) 5(x) = u (x) v(x) u(x) v (x) v(x) 2 Kettenregel f 6 (x) = u v = u(v(x)) f 6(x) = u (v(x)) v (x) Sinus f 7 (x) = sin(x) f 7(x) = cos(x) und f 7 (x) = sin(x) Exponentilfunktion f 8 (x) = e x f 8(x) = e x Logrithmusfunktion f 9 (x) = x ln(x) x f 9(x) = ln(x) und f 9 (x) = 1 x (c) Prtielle Integrtion b b u(x) v(x) dx = [u(x) v(x)] b v(x) u(x) dx 2 Ptrick Robrecht: Mthemtik-Leistungskurs

3 (d) Für die Ableitung von Umkehrfunktionen f (f quer) mit D f = W f, W f = D f (Beispiel: f(x) = e x, f = ln(x)) gilt: f (y) = 1 f (x) mit y = f(x), x = f(y) streng monotone Funktionen sind immer umkehrbr! 7. Extremstellen: Bedingungen für lokle Minim und Mxim () notwendig für Extrem: f (x) = 0 liefert die (einzigen) möglichen Extremstellen (b) hinreichend für Minim: f (x) = 0 f (x) > 0 Tiefpunkt(e) T (x f(x)) (c) hinreichend für Mxim: f (x) = 0 f (x) < 0 Hochpunkt(e) H(x f(x)) 8. Wendestellen () notwendig: f (x) = 0 liefert die (einzigen) möglichen Wendestellen (b) hinreichend: f (x) = 0 f (x) 0 Wendepunkte W (x f(x)) (c) Sonderfll: f (x) = 0 f (x) = 0 f (x) = 0 Sttelpunkt S(x f(x)) f(x) 9. Regel von l Hospitl für Grenzwerte der Form lim (mit differenzierbre Funktionen x g(x) f, g), die einen unbestimmten Ausdruck ( 0, 0 oder ) nnehmen 0 () Vorrussetzung: lim x f (x) g (x) R existiert f(x) (b) Wenn die Vorrussetzung gilt und lim f(x) = lim g(x) = 0, dnn gilt lim = c x x x g(x) f(x) (c) Wenn die Vorrussetzung gilt und lim g(x) = ±, dnn gilt lim = c x x g(x) 10. Ortskurve (der Extrempunkte oder der Wendepunkte) einer Funktionenschr f k (x) (d. i. eine Menge von Funktionen in Abhängigkeit von einem Prmeter k) bestimmen () x-wert nch Prmeter k umformen (b) Ergebnis in y-wert einsetzen 1.2 Integrle 1. b f(x) dx: Integrl mit Grenzen und b, Integrtionsvrible x und Integrnd f(x) 2. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung b f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F () mit F (x) = f(x), F heißt Stmmfunktion von f Ptrick Robrecht: Mthemtik-Leistungskurs 3

4 3. Flächenberechnungen - Vorgehensweise () Nullstellen bestimmen (b) Stmmfunkttion bestimmen (c) Integrl(e) ufstellen und berechnen Bei Flächen unterhlb der x-achse ergibt sich ein negtiver Wert für ds Integrl! 4. Fläche zwischen den Grphen zweier steitiger Funktionen f, g A = b 5. Uneigentliches Integrl: lim f(x) g(x) dx wenn f(x) g(x) b b f(x) dx 2 Linere Algebr und nlytische Geometrie 2.1 Vektoren 1. Definition: Vektor () Vektor = AB := Menge zueinnder prlleler gleich lnger, gleich gerichteter Pfeile; Abbildung eines Punktes A uf einen Punkt B (b) Gegenvektor = BA := Vektor mit gleicher Länge, der prllel zu, ber entgegengerichtet ist (c) Nullvektor 0 := Abbildung eines Punktes uf sich selbst (d) Vektor zwischen den Punkten A( ) und B(b 1 b 2 b 3 ): AB = b 1 1 b 2 2 x (e) Länge eines Vektors v = y : v = x 2 + y 2 + z 2 z b Spiegelung eines Ortsvektors (bzw. Punktes in R 3 ) () n einer Koordintenchse: zugehörige Koordinte bleibt gleich, die nderen beiden ändern ihr Vorzeichen (b) n einer Koordintenchsen-Ebene: zugehörige Koordinten bleiben gleich, die dritte ändert ihr Vorzeichen 4 Ptrick Robrecht: Mthemtik-Leistungskurs

5 3. Rechengesetze für Vektoren Kommuttivgesetz + b = b + Assozitivgesetz ( + b) + c = + ( b + c) r 1 Multipliktion mit einer Zhl r = r 2 Distributivgesetz r 3 r ( + b) = r + r b 4. Linerkombintion r r r : die r i heißen Koeffizienten 5. linere Abhängigkeit und Unbhängigkeit () Eine Menge von Vektoren ist liner bhängig, wenn mindestens ein Vektor ls Summe von Vielfchen der nderen drstellbr ist. (b) Vektoren 1, 2,..., n sind genu dnn liner unbhängig, wenn r 1 1 +r r n n = 0 nur eine Lösung mit r 1 = r 2 =... = r n = 0 ht. (c) In einer Ebene sind mximl zwei Vektoren liner unbhängig. linere Abhängigkeit: zwei Vektoren prllel kolliner (d) Im Rum (R 3 ) sind mximl drei Vektoren liner unbhängig. 6. Gerden linere Abhängigkeit: drei Vektoren in einer Ebene komplnr () Prmetergleichung: x = p + t u für ein t R 7. Ebenen p heißt Stützvektor, u Richtungsvektor () Prmetergleichung: x = p + r u + s v für r, s R p heißt Stützvektor, u, v heißen Spnnvektoren und sind liner unbhängig (b) Koordintengleichung: x 1 + b x 2 + c x 3 = d, wobei 0 b 0 c 0 (c) Normlengleichung: ( x x 0 ) n = 0 Normlenvektor n mit n r = 0 n s = 0 (d) Hess sche Normlenform: ( x x 0 ) n 0 = 0 mit Einheitsnormlenvektor n 0 = n n (somit ist n 0 = 1) (e) Abstnd der Punkte P und R (P in Ebene): d = ( OR OP ) n 0 8. Lgebeziehungen von zwei Gerden g, h () Sind die Richtungsvektoren gleich oder Vielfche von einnder? (b) Liegt der Stützvektor von g uf h? Ptrick Robrecht: Mthemtik-Leistungskurs 5

6 identisch (g = h) LGS Lösungen (Nuller-Zeile) () j, (b) j prllel (g h) LGS keine Lösung (Widerspruch / flsche Aussge) () j, (b) nein windschief LGS keine Lösung (Widerspruch / flsche Aussge) () nein g, h schneiden sich LGS genu eine Lösung () nein 9. Lgebeziehungen einer Gerde g und einer Ebene E g schneidet E LGS genu eine Lösung g liegt in E g prllel zu E (g E) LGS Lösungen LGS keine Lösung (Widerspruch / flsche Aussge) 10. Lgebeziehungen zwischen zwei Ebenen E, F E schneidet F LGS Lösungen in Abhängigkeit von Prmetern E in F (identisch) E prllel zu F (E F ) 11. Sklrprodukt von Vektoren LGS Lösungen (Nuller-Zeile / whre Aussgen) LGS keine Lösung (Widerspruch / flsche Aussge) () b = b cos(γ) mit 0 < γ < 180 (γ ist der Winkel zwischen den Vektoren) (b) b = 1 2 b 1 b 2 = 1 b b b 3 3 b Mtrizen 1. Mtrix := Zhlenschem mit Elementen, Größe: m }{{} Anzhl der Zeilen 2. Rechenregeln für Mtrizen () Vervielfchung einer Mtrix: Sklrmultipliktion ( ) ( ) r 11 r 12 r = r 21 r 22 (b) Addition/Subtrktion von Mtrizen (Bedingung: gleiche Größe) n }{{} Anzhl der Splten ( ) ( ) ( ) b 11 b ± b ± b 12 A ± B = ± = b 21 b ± b ± b 22 (c) Multipliktion einer Mtrix (Größe m n) mit einem Vektor (Größe n 1) von rechts (Bedingung: Anzhl der Splten der Mtrix = Anzhl der Zeilen des Vektors) ergibt einen Vektor (Größe m 1) (d) Multipliktion von zwei Mtrizen der Größen m n und n p ergibt eine Mtrix der Größe m p (Mtrizenmultipliktion ist nicht kommuttiv, d. h. für Mtrizen A, B gilt i. A.: A B B A) 6 Ptrick Robrecht: Mthemtik-Leistungskurs

7 3. Austuschprozesse () Austuschprozess := Prozess, der durch eine qudrtische Mtrix A mit nichtnegtiven Koeffizienten beschrieben wird, bei der die Summe der Koeffizienten in llen Splten 1 ergibt (b) sttionäre Verteilung eines Austuschprozesses, der durch die Mtrix A beschrieben wird: A g = g, g heißt Fixvektor von A 3 Stochstik 1. Grundbegriffe der Whrscheinlichkeitsrechnung () Zufllsversuch/-experiment := Versuch, dessen Ergebnis nicht vorhersgbr ist (b) Whrscheinlichkeitsfunktion oder -verteilung P P : S R mit 0 < P (e i ) 1 und n i=1 P (e i ) = 1 (c) Ergebnismenge := Menge ller möglichen Ergebnisse S = {e 1,..., e n } (d) Ergebnis := möglicher Ausgng eines Zufllsversuchs (e) Ereignis: zusmmengesetztes Ergebnis (f) reltive Häufigkeit = Häufigkeit eines Ergebnisses im Verhältnis zur Gesmtzhl (g) Lplce-Experiment/-Verteilung := Zufllsversuch, bei dem die Whrscheinlichkeit für lle Ergebnisse gleich ist: P (Ereignis) = Anzhl der zutreffenden Ergebnisse Anzhl der möglichen Ergebnisse (h) Zufllsgröße := Funktion, die den Ergebnissen eines Zufllsversuchs Werte zuordnert X : {Ergebnis(se)} {Wert(e)} 2. Kombintorische Modelle () Permuttion := Anordnung von Elementen einer Menge (b) Anzhl von Möglichkeiten bei n Elementen bei k Ziehungen mit Zurücklegen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge n k n! ( ohne Reihenfolge k+n 1 ) n 1 = (n+k 1)! (n 1)! k! (n k)! ( n k ) = n! (n k)! k! Definition des Binomilkoeffizienten ( n k) (gelesen: n über k) nur für n, k N, k n Ptrick Robrecht: Mthemtik-Leistungskurs 7

8 3. Vierfeldertfel A Ā Σ B P (A B) P (Ā B) P (B) B P (A B) P (Ā B) P ( B) Σ P (A) P (Ā) 100 % 4. Byer sche Regel: Whrscheinlichkeit für ein Ereignis B unter der Bedingung A P A (B) = P (A B) P (A) 5. (Un)Abhängigkeit von Ereignissen A und B () A und B sind bhängig, wenn P (A) P B (A) (b) A und B sind unbhängig, wenn P (A) = P B (A) 6. Bernoulli-Experiment: Versuch mit Zurücklegen, bei dem nur Treffen und Nieten unterschieden werden () Whrscheinlichkeit für einen Treffer: p (bleibt bei mehrfcher Ausführung gleich!) (b) Whrscheinlichkeit für eine Niete somit: 1 p (c) Whrscheinlichkeit für genu k Treffer bei n Ziehungen: P (X = k) = ( ) n p k (1 p) n k k Binomilverteilung B n;p (k) (d) Whrscheinlichkeit für höchstens k Treffer bei n Ziehungen P (X k) = k i=0 ( ) n p i (1 p) n i i (e) Whrscheinlichkeit für mindestens k Treffer bei n Ziehungen P (X k) = n ( ) n k 1 ( ) n p i (1 p) n i = 1 p i (1 p) n i i i i=k i=0 8 Ptrick Robrecht: Mthemtik-Leistungskurs

9 7. Erwrtungswert µ () einer Zufllsgröße, die die Werte x 1, x 2,..., x n nnehmen knn: E(X) = µ = x 1 P (X = x 1 ) x n P (X = x n ) = k x i P (X = x i ) i=0 (b) einer binomilverteilten Zufllsgröße: µ = np 8. Stndrdbweichung σ und Vrinz V (X) = σ 2 () llgemein: σ = V (X) = (x 1 µ) 2 P (X = x 1 ) (x n µ) 2 P (X = x n ) = n (x i µ) 2 P (X = x i ) i=1 (b) einer binomilverteilten Zufllsgröße: σ = n p (1 p) 9. Hypothesentest () zweiseitiger Hypothesentest für p = p 0 i. µ und σ nhnd von n und p berechnen ii. Annhmebereich mit entsprechendem c bestimmen P (µ c σ X µ + c σ) = 1 α c P c P c P 0,8 0,576 1,64 0,90 2,4 0, ,683 1,8 0,928 2,58 0,99 1,2 0,770 1,96 0,950 2,6 0,991 1,28 0,80 2 0,954 2,8 0,995 1,4 0,838 2,2 0, ,997 1,6 0,890 2,33 0,975 iii. Liegt X im Annhmebereich wird die Hypothese beibehlten, nsonsten verworfen! (b) Fehlerrten beim Hypothesentest Hypothese whr Hypothese flsch Hypothese ngenommen richtige Entscheidung Fehler 2. Art Hypothese bgelehnt Fehler 1. Art richtige Entscheidung Der Fehler 1. Art tritt mit der Whrscheinlichkeit Risiko 1. Art uf = Signifiknzniveu α. Der Fehler 2. Art tritt mit der Whrscheinlichkeit Risiko 2. Art uf. Ptrick Robrecht: Mthemtik-Leistungskurs 9

10 (c) einseitger Hypothesentest (entweder linksseitiger Test oder rechtsseitger Test) i. Behuptung H 0 : p = p 0 ii. Alterntive: H 1 : p < p 0 (linksseitig) oder H 1 : p > p 0 (rechtsseitig) iii. Annhmebereich: [µ c σ; µ] (linksseitig) bzw. [0; µ + c σ] (rechtsseitig) iv. ds c ändert sich im Vergleich zum zweiseitigen Hypothesentest: c bei 1 2α nchschlgen (d) Näherungsformel von De Moivre-Lplce: die Normlverteilung Berechnung der Whrscheinlichkeit bei binomilverteilten Zufllsgrößen für große n und beliebige reelle Zhlen X (Formel nwendbr, wenn n > 1 4 p 2 (1 p) 2 ) ( ) ( ) k2 + 0, 5 µ k1 0, 5 µ P (k 1 X k 2 ) = Φ Φ σ σ x2 = ϕ(t) dt mit ϕ(x) = 1 e 1 2 x2 x 1 2π (Stetigkeitsfktor ±0, 5 entfällt bei σ > 3) 10 Ptrick Robrecht: Mthemtik-Leistungskurs