Übungen zu Mathematik 1 mit Musterlösungen Blatt 15

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1 Heilbronn, den 868 Prof Dr V Sthl SS 8 Übungen zu Mthemtik mit Musterlösungen Bltt 5 Aufgbe Berechnen Sie die sklre Multipliktion ( ) 3 Stellen Sie diese Opertion grfisch durch Pfeile in einem zweidimensionlen Koordintensystem dr Lösung von Aufgbe ( 3 ) ( 6 3 ) Aufgbe Zeigen Sie, dss die Mtrix Multipliktion distributiv über der Mtrix Addition ist, dh Sie dürfen hierbei verwenden, dss A(B + C) AB + AC A( b + c) A b + A c Hinweis: Zerlegen Sie die Mtrizen B und C in ihre Splten und führen Sie die Mtrix Multipliktionen spltenweise durch Beginnen Sie lso mit und B + C ( b + c b + c bn + c n ) A(B + C) A( b + c b + c bn + c n ) ( A( b + c ) A( b + c ) A( b n + c n ) ) Lösung von Aufgbe AB + AC A(B + C) A( b + c b + c bn + c n ) ( A( b + c ) A( b + c ) A( b n + c n ) ) ( A b + A c A b + A c A b n + A c n ) (A b A b A b n ) + (A c A c A c n ) AB + AC

2 Aufgbe 3 Berechnen Sie ( 3 ) 3 Führen Sie die Berechnung zuerst nch der Regel Zeile ml Splte durch und dnch unter Verwendung von Mtrix-Vektor Multipliktionen Lösung von Aufgbe 3 ( 3 ) 3 ( Aufgbe 4 Eine Mtrix A R n n heißt symmetrisch, wenn A T A Seien A, B symmetrische Mtrizen Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dss dnn AB nicht notwendig symmetrisch ist Zeigen Sie, dss AB (BA) T Lösung von Aufgbe 4 Gegenbeispiel dss AB nicht notwendig symmetrisch ist ( ) ( ) ( ) Beweis, dss AB (BA) T Seien A, B symmetrisch, dh A T A und B T B Dnn gilt (BA) T A T B T AB Aufgbe 5 Zeigen Sie, dss für lle qudrtischen Mtrizen A, B und n N gilt (AB) n A(BA) n B Lösung von Aufgbe 5 Mit dem Assozitivgesetz der Mtrix Multipliktion gilt (AB) n (AB)(AB) (AB)(AB) A(BA)(B A)(BA)B A(BA) n B Aufgbe 6 Seien x, y R n zwei Vektoren, deren Komponenten Funktionen von t sind, dh x (t) y (t) x, y x n (t) y n (t) )

3 Die Ableitung eines Vektors ist komponentenweise definiert, dh x (t) y (t) x, y x n(t) y n(t) Zeigen Sie, dss für ds Sklrprodukt die Produktregel der Ableitung gilt, dh Lösung von Aufgbe 6 ( x y) ( n x i (t)y i (t) i ( x y) x y + x y ) n (x i (t)y i (t)) (Summenregel der Ableitung) i n x i(t)y i (t) + x i (t)y i(t) i n x i(t)y i (t) + i x y + x y n x i (t)y i(t) i (Produktregel der Ableitung) Aufgbe 7 Zeichnen Sie zwei Vektoren Ihrer Whl in ein Koordintensystem ein, die zueinnder orthogonl sind Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie ds Sklrprodukt der beiden Vektoren berechnen Lösung von Aufgbe 7 Orthogonl sind zb die Vektoren ( ) ( ) 6 und 3 4 Ihr Sklrprodukt ist Null Aufgbe 8 Stellen Sie den Term b + cd + ef ls Sklrprodukt von zwei Vektoren dr Lösung von Aufgbe 8 b + cd + ef c e b d f Aufgbe 9 Finden Sie zwei kollinere Vektoren x und y so dss die normierten Richtungsvektoren von x und y ungleich sind 3

4 Lösung von Aufgbe 9 Ein Beispiel ist ( ) ( x, y ) D y ( ) x sind x und y kolliner, zeigen ber in entgegengesetzte Richtung Für die normierten Richtungsvektoren gilt Folglich ist e x e y e x x x x e y y y y Aufgbe Sei f eine T -periodische Funktion, dh Sei weiterhin f(t + T ) f(t) für lle t T f(t)dt Zeigen Sie, dss dnn uch die Funktion g(t) eine T -periodische Funktion ist, dh Lösung von Aufgbe t f(τ)dτ g(t + T ) g(t) für lle t g(t + T ) t+t T f(τ)dτ f(τ)dτ }{{} t+t T f(τ)dτ t+t + f(τ)dτ T Um die Grenzen des Integrls um T nch unten zu verschieben, wird substituiert: u τ T, dτ du 4

5 Dmit ist g(t + T ) t t g(t) f(u + T )du f(u)du Aufgbe Berechnen Sie t e sin(t)/t (t cos(t) sin(t))dt Lösung von Aufgbe Substitution d f eine T -periodische Funktion ist Dmit ist dh dt h sin(t)/t dt (t cos(t) sin(t)) t t t cos(t) sin(t) dh t e sin(t)/t (t cos(t) sin(t))dt e h dh e h + C e sin(t)/t + C Aufgbe Gegeben ist die Funktion f(x) (e x + ) sin(e x + x) Berechnen Sie eine Stmmfunktion von f(x) Hinweis: Versuchen Sie s mit einer geeigneten Substitution Berechnen Sie die Stmmfunktion F (x) von f(x), für die gilt F () Lösung von Aufgbe Substitution: Ableitung: g(x) e x + x dg/dx e x + Einsetzen: (e x + ) sin(e x + x)dx dx dg/(e x + ) (e x + ) sin(g)dg/(e x + ) sin(g)dg cos(g) + C cos(e x + x) + C 5

6 Für beliebiges C R ist F (x) cos(e x + x) + C Stmmfunktion von f(x) Aus F () folgt cos(e + ) + C C cos() Die gesuchte Stmmfunktion ist dher F (x) cos() cos(e x + x) Aufgbe 3 Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrls x 3 dx x Lösung von Aufgbe 3 x 3 dx x ( x ) dx x [ 3 x3 ln(x) ] 8 3 ln() ln() Aufgbe 4 Berechnen Sie den Inhlt der Fläche unter der Funktion f(x) x für x zwischen und Ist der Flächeninhlt überhupt endlich? D f() nicht definiert ist, muss mn wie folgt vorgehen: Mn berechnet zunächst für beliebiges ε > F ε ε f(x)dx, siehe Bild und führt dnn den Grenzübergng durch F lim ε F ε 6

7 Abbildung : Flächeninhlt unter f(x) / x für x zwischen ε und Lösung von Aufgbe 4 F ε ε x dx x / dx ε [x /] ε ( ) ε F lim ε F ε Aufgbe 5 Sei [, b] Zeigen Sie, dss b sin(/x) dx x / /b sin(x) x dx Lösung von Aufgbe 5 Mit der Substitution u x du dx x dx x du 7

8 gilt b sin(/x) dx x /b / /b / / /b u sin(u)( x )du u sin(u) u du sin(u) u du D in einem bestimmten Integrl die Integrtionsvrible beliebig umbennnt werden knn gilt somit b sin(/x) dx x / /b sin(x) x dx Aufgbe 6 Sei f(t) eine T -periodische Funktion, dh f(t + T ) f(t) für lle t Zeigen Sie, dss dnn für beliebiges gilt +T f(t)dt T f(t)dt Anschulich bedeutet dies, dss die Fläche unter f(t) in einer Periode unbhängig dvon ist, wo die Periode beginnt Hinweis: Zerlegen Sie ds Integrl in zwei Teilintegrle: +T +T + Führen Sie im ersten Integrl eine Substitution u t + T durch Ddurch ändern sich die Integrtionsgrenzen zu T +T Im Integrnd dieses Integrls nutzen Sie nun die Periodizität von f, indem Sie f(u T ) durch f(u) ersetzen Die Integrtionsvrible u ersetzen Sie dnch wieder durch t D die Integrnden der beiden Integrle nun wieder gleich sind, können Sie die Integrle zu einem Integrl zusmmensetzen Sie müssen hierzu lediglich die Reihenfolge der Summnden vertuschen T +T +T + +T T T + +T 8

9 Lösung von Aufgbe 6 +T f(t)dt Substitution im ersten Integrl +T f(t)dt + f(t)dt u t + T du dt du dt t u T Dmit ist +T f(t)dt T +T D f(t) eine T -periodische Funktion ist, gilt Dmit ist +T f(t)dt +T f(u T )du + f(t)dt f(u T ) f(u) T +T +T f(u)du + f(t)dt Die Integrtionsvrible drf beliebig umbennnt werden Ersetzt mn im ersten Integrl u wieder durch t, erhält mn +T f(t)dt T +T +T T +T f(t)dt + f(t)dt + f(t)dt T +T f(t)dt f(t)dt Aufgbe 7 Berechnen Sie lle Lösungen z der Gleichung e z ( + j) 7 Lösung von Aufgbe 7 Umrechnen in Polrkoordinten ( + j) 7 ( e jπ/4 ) 7 7/ e j7π/4 7/ e jπ/4 Mit z + jb ist e z e +jb e e jb 9

10 Dmit die Gleichung erfüllt ist, müssen uf beiden Seiten die Beträge gleich sein und die Winkel bis uf ein gnzzhliges Vielfches von π übereinstimmen Vereinfchen ergibt Die Lösungen sind somit e 7/ b π/4 + kπ, k Z ln( 7/ ) 7 ln( ) b (k /4)π z 7 ln( ) + j(k /)π, k Z Aufgbe 8 Finden Sie lle Lösungen z der Gleichung e z + j Hinweis: Stellen Sie + j in Polrkoordinten dr Mn wäre ntürlich versucht, einfch z ln( + j) zu schreiben Dies ist jedoch nur eine Lösung, die Gleichung ht ber noch ein pr ndere Versuchen Sie dnn, die ln-funktion uf s Komplexe zu erweitern, dh eine Formel ufzustellen wie mn den Logrithmus einer komplexen Zhl u re jϕ berechnen knn unter der Annhme, dss lle Rechengesetze der reellen Logrithmus Funktion uch für komplexe Argumente gelten Lösung von Aufgbe 8 Sei Mit z + jb + j e jπ/4 lässt sich die Gleichung drstellen durch e +jb e jπ/4 e e jb e jπ/4 D zwei komplexe Zhlen genu dnn gleich sind, wenn ihre Beträge gleich sind und sich ihre Winkel um ein gnzzhliges Vielfches von π unterscheiden, folgt e Aus der ersten Gleichung folgt b π + πk, k Z 4 ln( ) ln()

11 Dmit sind die Lösungen z ln() + j ( π 4 + πk ), k Z Den komplexen Logrithmus von u re jϕ berechnet mn durch ln(u) ln(re jϕ ) ln(r) + ln(e jϕ ) ln(r) + jϕ Hierbei ist druf zu chten, dss ϕ < π, d sonst der Funktionswert nicht eindeutig ist Aufgbe 9 Berechnen Sie Rel- und Imginärteil von ( + e jπ/) 6 Lösung von Aufgbe 9 ( + e jπ/) 6 ( + j) 6 ( ) 6 e jπ/4 3 e jπ3/ 8j Der Relteil ist, der Imginärteil ist 8 Aufgbe Zeigen Sie unter Verwendung von komplexen Zhlen, dss sin(x + y) cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y) Lösung von Aufgbe Aus der Euler Gleichung e jϕ cos(ϕ) + j sin(ϕ) folgt mit ϕ x + y e j(x+y) cos(x + y) + j sin(x + y) Nimmt mn den Imginärteil uf beiden Seiten, erhält mn sin(x + y) im(e j(x+y) ) im(e jx e jy ) im((cos(x) + j sin(x))(cos(y) + j sin(y))) cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y) Aufgbe Zeigen Sie, dss für jede komplexe Zhl z gilt re(jz) im(z) im(jz) re(z)

12 Lösung von Aufgbe Sei z + jb Dnn ist re(jz) re(j( + jb)) re(j b) b im(z) im(jz) im(j( + jb)) im(j b) re(z) Aufgbe Berechnen Sie lle Lösungen z der Gleichung z z + Lösung von Aufgbe Umformen ergibt j z jz + j z( j) j z j j j( + j) + j Aufgbe 3 Berechnen Sie 4 Hinweis: 4 4j Lösung von Aufgbe 3 4 j Aufgbe 4 Sei f R C, f(x) e jx Berechnen Sie ( ) im(f(x))dx und im f(x)dx Die komplexe Zhl j dürfen Sie hierbei gleich behndeln wie eine reelle Konstnte Zeigen Sie, dss für jede Funktion f R C gilt ( ) re(f(x))dx re f(x)dx ( ) im(f(x))dx im f(x)dx

13 Lösung von Aufgbe 4 Sei f R C, f(x) e jx im(f(x))dx sin(x)dx ( im ) f(x)dx cos(x) + C ( ) im e jx dx ( ) im j ejx dx im (j(cos(x) + j sin(x))) + C cos(x) + C Sei f R C Sei f re R R, f im R R Relteil und Imginärteil von f, dh Dnn gilt f(x) f re (x) + jf im (x) f(x)dx (f re (x) + jf im (x))dx f re (x)dx + j f im (x)dx Nimmt mn den Rel- bzw Imginärteil uf beiden Seiten, erhält mn ( ) re f(x)dx f re (x)dx re(f(x))dx ( ) im f(x)dx f im (x)dx im(f(x))dx Aufgbe 5 Berechnen Sie die Polrkoordinten von /j Lösung von Aufgbe 5 j Dmit ist r und ϕ π/ j j j e jπ/ Aufgbe 6 Brechnen Sie die Menge ller Schnittpunkte der Gerden G + R 5 G + R 3 3

14 Wie liegen die beiden Gerden geometrisch zueinnder? Lösung von Aufgbe 6 Sei x G G Dnn exsitieren, b so dss x + 5 x 3 + b Gleichsetzen ergibt b Einsetzen der Definition der sklren Multipliktion und der Vektor Addition sowie der Gleichheitsreltion von Tripeln ergibt b b Aus der dritten Gleichung folgt Einsetzen von in die erste Gleichung ergibt b Diese Werte sind jedoch keine Lösung für die zweite Gleichung, folglich ht ds LGS keine Lösung Es gibt lso keinen Schnittpunkt D die Richtungsvektoren der beiden Gerden nicht kolliner sind, sind die beiden Gerden windschief Aufgbe 7 Berechnen Sie Lösung von Aufgbe Aufgbe 8 Zeigen, dss für lle x, y R 3 ds Sklrprodukt von x und x y gleich Null ist Sie dürfen dbei nicht verwenden, dss x y senkrecht zu x und y steht Ds stimmt j uch nur wenn keiner der beteiligten Vektoren gleich dem Nullvektor ist Beginnen Sie stttdessen mit x ( x y), setzen Sie die Definition des Kreuzprodukts und des Sklrprodukts ein und formen Sie so lnge um, bis Null heruskommt Definition des Sklrprodukts und des Kreuzpro- Lösung von Aufgbe 8 dukts: x ( x y) 4 x (x y 3 x 3 y ) + x (x 3 y x y 3 ) + x 3 (x y x y ) x x y 3 x x 3 y + x x 3 y x x y 3 + x x 3 y x x 3 y ) 4

15 Aufgbe 9 Sei f {, } {(, ), (3, )} definiert durch f(x) (x +, x ) Finden Sie Mengen A, B, R so dss f (A, B, R) Lösung von Aufgbe 9 A {(, ), (3, )} B {, } R {((, ), ), ((3, ), )} Aufgbe 3 Sei f R \ {} R definiert durch f(x) x + x Ist f injektiv bzw surjektiv? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung für Ihre Antwort Hinweis: Versuchen Sie eine Umkehrfunktion zu konstruieren Lösung von Aufgbe 3 Die Funktion ist surjektiv, wenn die Gleichung y x + x für jedes y R mindestens eine Lösung ht Sie ist injektiv, wenn die Gleichung für jedes y R höchstens eine Lösung ht Beides ist nicht der Fll Umformen ergibt xy + x bzw Die Lösungen sind x xy + x, y ± y 4 Die Gleichung ht dmit zb für y keine Lösung Für y 3 ht sie zwei Lösungen x, 3 ± 5 Aufgbe 3 Sei M ein Spnnrum mit u M und c R Zeigen Sie, dss dnn uch c u M ist Lösung von Aufgbe 3 D M ein Spnnrum ist, existieren,, n R m so dss M {x + + x n n x,, x n R} 5

16 D u M, muss u Linerkombintionen von,, n sein, dh es gibt Koeffizienten x,, x n so dss u x + + x n n Zu zeigen ist, dss c u M Umformen ergibt c u c(x + + x n n ) (cx ) + + (cx n ) n Folglich ist c u eine Linerkombintion von,, n und dmit Element des Spnnrums M Aufgbe 3 Sei 3, 5 Finden Sie einen Vektor b, für den gilt b L(, ) Lösung von Aufgbe 3 D L(, ) nur eine Ebene im R 3 ist, knn mn einen zufälligen Vektor b wählen und fst sicher sein, dss er nicht im Spnnrum liegt Nchweisen knn mn dies, indem mn mit dem Guß Algorithmus zeigt, dss ds LGS keine Lösung ht x + x b Aufgbe 33 Sttt Linerkombintionen von Vektoren knn mn nlog uch Linerkombintionen von Funktionen bilden So ist die Funktion g(x) Linerkombintion der Funktionen f (x),, f n (x) wenn es Konstnten c,, c n gibt so dss g(x) c f (x) + c f (x) + + c n f n (x) für lle x Entsprechend ist der Spnnrum, der von f (x),, f n (x) erzeugt wird, die Menge L(f (x),, f n (x)) {c f (x) + c n f n (x) c,, c n R} Ws sind die Elemente von bzw von Zeigen Sie, dss L(, x, x,, x 5 ) L(, x, x, )? L(cos(ωx), sin(ωx)) {r cos(ωx + ϕ) r, ϕ R} Hinweis: Verwenden Sie komplexe Zhlen! 6

17 Lösung von Aufgbe 33 L(, x, x,, x 5 ) ist die Menge ller Polynome vom Grd höchstens 5 L(, x, x,, ) ist die Menge ller Polynome Sei f L(cos(ωx), sin(ωx)) Zu zeigen: f {r cos(ωx + ϕ) r, ϕ R} Aus der Annhme folgt, dss es, b R gibt so dss f(x) cos(ωx) + b sin(ωx) ejωx + e jωx + b ejωx e jωx j ( e jωx ( jb) + e jωx ( + jb) ) re ( e jωx ( jb) ) Seien r, ϕ die Polrkoordinten von jb, dh jb re jϕ Dnn ist f(x) re ( e jωx re jϕ) re (re j(ωx+ϕ)) r cos(ωx + ϕ) und dmit f {r cos(ωx + ϕ) r, ϕ R} Sei f {r cos(ωx + ϕ) r, ϕ R} Zu zeigen f L(cos(ωx), sin(ωx)) Aus der Annhme folgt, dss es r, ϕ R gibt so dss f(x) r cos(ωx + ϕ) rre (e j(ωx+ϕ)) rre ( e jωx e jϕ) r(cos(ωx) cos(ϕ) sin(ωx) sin(ϕ)) r cos(ϕ) cos(ωx) + ( r sin(ϕ)) sin(ωx) 7

18 Mit r cos(ϕ), b r sin(ϕ) folgt f(x) cos(ωx) + b sin(ωx) und dmit Aufgbe 34 Zeigen Sie, dss L f L(cos(ωx), sin(ωx)), 3 5 Lösung von Aufgbe 34 Zu zeigen: Es gibt, b R so dss b Dies führt uf ds LGS + 3b 3 b 5 + 5b 4 Mit dem Guß Algorithmus erhält mn die Lösung 3 und b Aufgbe 35 Zeigen Sie, dss für beliebige Vektoren, b R m gilt L(, + b) L( b, b) Lösung von Aufgbe 35 Es sind zwei Teilmengenbeweise zu führen Zu zeigen Sei Zu zeigen: L(, + b) L( b, b) c L(, + b) c L( b, b) 8

19 Aus der Annhme folgt, dss es x, x gibt so dss c x + x ( + b) (x + x ) + x b x b + (x + x )( b) + (x + x ) b (x + x ) b + (x + x )( b) Dmit ist c Linerkombintion von b und b und somit c L( b, b) Zu zeigen L( b, b) L(, + b) Sei c L( b, b) Zu zeigen: c L(, + b) Aus der Annhme folgt, dss es x, x gibt so dss c x b + x ( b) x + (x x ) b x + (x x )( + b) (x x ) ( x + x ) + (x x )( + b) Dmit ist c Linerkombintion von und + b und somit c L(, + b) 9