Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2011

Transkript

1 Bericht zur Mthemtischen Zulssungsprüfung im Mi Heinz-Willi Goelden, Wolfgng Luf, Mrtin Pohl Am 4. Mi fnd die Mthemtische Zulssungsprüfung sttt. Die Prüfung bestnd us einer 9-minütigen Klusur, in der 5 Aufgben gestellt wurden. Um die Klusur zu bestehen, mussten mindestens 36 von 9 möglichen Punkten erzielt werden. Von den Teilnehmerinnen und Teilnehmern hben 4 die Prüfung bestnden. Zugelssen wren ein Tschenrechner, eine mthemtische Formelsmmlung sowie entsprechende Litertur. Aufgbe (8 Punkte) Welche der folgenden Behuptungen ist whr, welche flsch? (Begründung!) () Besitzt eine reelle dreireihige Mtrix einen reellen Eigenwert mit lgebrischer Vielfchheit, dnn ist die zugehörige geometrische Vielfchheit uch. (b) Es gibt eine reelle dreireihige Mtrix mit einem Eigenwert, der die lgebrische Vielfchheit und die geometrische Vielfchheit ht. (c) Besitzt eine reelle dreireihige Mtrix drei verschiedene reelle Eigenwerte, dnn ist die Mtrix reell digonlisierbr. (d) Besitzt eine reelle dreireihige Mtrix drei verschiedene Eigenwerte, dnn ist die Mtrix reell digonlisierbr. Bezeichnet ν die lgebrische Vielfchheit und µ die geometrische Vielfchheit, dnn gilt stets ν, µ N und µ ν. () Whr, denn µ ν = liefert unmittelbr µ =. (b) Whr, beispielsweise für die Mtrix A =. (c) Whr, denn liegen drei verschiedene reelle Eigenwerte vor, so sind die zugehörigen Eigenräume eindimensionl. Für lle Eigenwerte stimmen dmit lgebrische und geometrische Vielfchheit überein, die Mtrix ist somit reell digonlisierbr. (d) Flsch, denn für reell digonlisierbre Mtrizen müssen die Eigenwerte uch reell sein. Die Mtrix A = liefert somit ein Gegenbeispiel, denn sie besitzt die drei verschiedenen Eigenwerte, i, i und ist deshlb nur komplex, ber nicht reell digonlisierbr.

2 Aufgbe (5 Punkte) Es seien u = (,, ) t, u = (,, ) t und v = (,, ) t, v = ( 7,, 4) t Vektoren im R 3. Bestimmen Sie eine Bsis des Unterrums spn ( {u, u } ) spn ( {v, v } ). Ein Vektor w R 3 liegt genu dnn in diesem Unterrum, wenn es Zhlen α, α, β, β R gibt, mit denen w = α u + α u = β v + β v gilt. Dmit muss gelten: α + α β + 7β = α + β β = α + α + 4β = Mit β = folgt L = { z (, 5, 3, ) t } z R. Der Vektor u 5u = ( 4, 5, 4) t ist somit ein Bsisvektor.

3 Aufgbe 3 (8 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrle uf Konvergenz bzw. Divergenz. () x ln(x) dx (b) dx x ln(x) () Es ist x ln(x) dx = x ln(x) ln() 4 ( ) = ) nch den Regeln von l Hospitl gilt x dx = ln() 4 x ln() ( ) 4 4 }{{ } ) ln() / lim + = lim + / 3 = lim =. + Folglich liegt Konvergenz vor. (b) Durch Substitution u = ln(x) erhält mn x ln(x) dx = ln() ln() Es liegt lso Divergenz vor. du u = ln(u) ln() ln() = = für + ln(ln ) ln(ln ) für + 3

4 Aufgbe 4 ( Punkte) Betrchten Sie die Funktion f : R R, f(x, y) = 3x xy + 3y. () Bestimmen Sie lle loklen Extrem der Funktion f. (b) Ermitteln Sie ds Minimum und ds Mximum der Funktion f uf der Kreislinie K = { (x, y) x + y = }. (c) Beweisen Sie, dss für lle (x, y) R die Ungleichung f(x, y) (x +y ) gilt. ( ) 6x y () Es ist f(x, y) = = (x, y) = (, ). Weiter ist x + 6y ( ) 6 Hf(, ) = positiv definit, und dher ist (, ) ein lokles 6 Minimum. (b) Mit der Funktion g(x, y) = x + y sind die Extrem von f unter der Nebenbedingung g(x, y) = gesucht. Die möglichen Extremlstellen finden wir mit Hilfe der Methode der Lgrnge-Multipliktoren. f(x, y) = λ g(x, y) wird hier zu: 6x y = λx x + 6y = λy x + y = Multipliziert mn die erste Gleichung mit y und die zweite Gleichung mit x, so ergeben sich die Gleichungen 6xy y = λxy x + 6xy = λxy und es folgt sofort x = y. Setzt mn dies in ( die Nebenbedingung ein, so erhält mn die möglichen Extremlstellen ±, ) ( und ±, ). ( ( Die Funktionswerte n diesen Stellen sind f ±, )) = und ( ( f ±, )) = 4. Ds Minimum der Funktion f uf der Kreislinie K ist und ds Mximum ist 4. (c) Es ist f(x, y) = x xy+y +x +y = (x +y )+(x y) (x +y ) für lle (x, y) R. 4

5 Aufgbe 5 (7 Punkte) Betrchten Sie die Menge B = { (x, y, z) R 3 x + y z, x y }. () Skizzieren Sie die Projektion der Menge B uf die (x, y)-ebene und uf die (x, z)-ebene. (b) Berechnen Sie ds Volumen von B. () Skizzen: Projektion uf (x, y)-ebene Projektion uf die (x, z)-ebene y.5 z x x (b) Die Projektion von B uf die (x, y)-ebene ist die Menge Ω = { (x, y) R x + y, y x }. Ds Volumen von B knn mn durch Übergng zu Polrkoordinten bestimmen. Es ergibt sich: ( V (B) = (x + y ) ) d(x, y) = Ω π/ π/4 ( r )r dϕ dr = π 4 ( ) = π