Lineare Probleme und schwache

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1 Vritionsrechnung Kpitel 7 Linere Probleme und schwche Lösungen 7.1 Qudrtische Funktionle Der einfchste Typ von Funktionlen, die ein Minimum hben können, sind die qudrtischen Funktionle. Sei ein Gebiet in R n. Ein einfches Beispiel mit c C und f L 2 ist J u = 1 u x 2 + c x u x 2 f x u x dx. 2 Wenn mn ein Minimum von J in W 1,2 sucht, dnn bekommt mn die schwche Form der Euler-Lgrnge-Gleichung = J u; v = u x v x + c x u x v x f x v x dx 7.1 für lle v W 1,2. Wenn u so ist, dss eine prtielle Integrtion erlubt ist, findet mn, dss die zugehörige Differentilgleichung liner ist: u x + c x u x = f x in. In diesem Kpitel werden wir sehen, wie mn für linere Probleme wie 7.1 eine Lösung finden knn in einem schwchen Sinn. 7.2 Hilbert-Räume Die Sobolev-Räume W k,2 und W k,2 sind uch Hilbert-Räume mit dem Sklrprodukt u, v W k,2 = α α u x v x dx. x x α k Auf reltiv einfche Art knn mn im Hilbert-Rum oft die Existenz einer Lösung für eine linere Differentilgleichung bekommen mit funktionlnlytischen Methoden. Ds wichtigste Ergebnis ist der folgende Stz. 69

2 7 23. November 211 Kpitel 7, Linere Probleme und schwche Lösungen Theorem Drstellungsstz von F. Riesz für Hilbert-Räume Sei H ein Hilbert-Rum mit Sklrprodukt, und sei F H. Dnn gibt es genu ein u H derrt, dss F v = u, v für lle v H. Für einen Beweis verweisen wir uf [3]. Beispiel Sei f L 2 gegeben und nehme n, mn sucht u W 1,2 derrt, dss u v + u v dx = f v dx für lle v W 1, Wir bemerkem, dss ds Sklrprodukt uf W 1,2 definiert ist durch u, v W 1,2 = u v + u v dx. Weil f v dx f L 2 v L 2 f L 2 v W 1,2, ist die linere Abbildung v f v dx beschränkt und deshlb stetig, ds heißt v f v dx W 1,2. Dnn folgt us dem Stz von Riesz, dss es genu ein u W 1,2 gibt mit u, v W 1,2 = f v dx. Dieses u erfüllt die Euler-Lgrnge Gleichung. Wenn mn prtiell integrieren könnte, würde us 7.2 folgen, dss u u + u f v dx + n v dσ = für lle v W 1,2 7.3 und der Huptstz der Vritionsrechnung liefert in zwei Schritten, erst uf und dnn uf, dss { u + u = f in, u = uf. 7.4 n Für diese prtielle Integrtion benötigt es jedoch mehr Regulrität der Funktion u ls wir bis jetzt hben. Deshlb betrchtet mn einen schwächeren Typ von Lösungen. 7.3 Schwche Lösungen Sei ij C 1, c C und f L 2. Betrchte ds Rndwertproblem n x i ij x x j u x + c x u x = f x in, u x = uf. 7.5 Definition Eine Funktion u W 1,2 nennt mn eine schwche Lösung von 7.5, wenn n u x v x ij x + c x u x v x dx = f x v x dx 7.6 x j x i für lle v W 1,2.

3 7.3 Schwche Lösungen 23. November Bemerkung In 7.6 findet mn die Euler-Lgrnge Gleichung zum Minimierungsproblem für ds Funktionl J : W 1,2 R, definiert durch J u = 1 2 n ij x u x u x + 1 x j x i 2 c x u x2 f x u x Bemerkung In 7.6 knn mn sogr ij C sttt C 1 zulssen. Die Formulierung in 7.5 wird frgwürdig für solche ij. Die Definition einer schwchen Lösung hängt sehr direkt b von der Gleichung. Im nächsten Abschnitt zeigen wir noch einige Beispiele. Es ist reltiv technisch und nur mäßig interessnt. dx Mehr schwche Lösungen Auf ähnliche Art knn mn uch ds Rndwertproblem n x i ij x x j u x + c x u x = f x in, n ν i ij x x j u x = uf, 7.7 betrchten. Definition Eine Funktion u W 1,2 nennt mn eine schwche Lösung von 7.7, wenn n u x v x ij x + c x u x v x dx = f x v x dx 7.8 x j x i für lle v W 1,2. Aufgbe 21 Zeigen Sie, dss eine Funktion u C 2, die eine schwche Lösung von 7.7 ist, uch eine klssische Lösung von 7.7 ist. Aufgbe 22 Wie würde mn eine schwche Lösung definieren zum 1. Rndwertproblem n x i ij x x j u x + n b j x x j u x + c x u x = f x in, j=1 u x = uf, mit ij, b j C 1, c C und f L 2 ; 2. Rndwertproblem n ij x x i x j u x + c x u x = f x in, u x = uf, mit ij C 1, c C und f L 2?

4 November 211 Kpitel 7, Linere Probleme und schwche Lösungen Ds Energiefunktionl für die Auslenkung einer dünnen Pltte mit Projektion R 2 in 3.8, nämlich J u = 1 2 u2 + 1 σ u 2 xy u xx u yy + f u dxdy 7.9 führt, wenn diese Pltte eingespnnt ist, zum Rndwertproblem { 2 u x + f x = in, u x = u x = uf. Wenn mn vom Rndwertproblem 7.1 usgeht, bekommt mn: 7.1 Definition Die Funktion u W 2,2 heißt eine schwche Lösung zu 7.1, wenn u v + f v dxdy = für lle v W 2, Die Euler-Lgrnge Gleichung zu 7.9 ist jedoch u v + 1 σ 2uxy v xy u xx v yy u yy v xx + f v dxdy 7.12 für lle v W 2,2. Obwohl 7.11 und 7.12 nicht gleich sind, knn mn zeigen, dss bei diesen Rndbedingungen, beide Integrlgleichungen äquivlent sind. Es gilt nämlich für ϕ Cc, dss u xy ϕ xy dxdy = u ϕ xxyy dxdy = u xx ϕ yy dxdy = u yy ϕ xx dxdy und weil W 2,2 = Cc W 2,2 gilt, folgt für v W 2,2, dss 2u xy v xy u xx v yy u yy v xx dxdy =. Dies trifft nicht zu für ndere Rndwertbedingungen. Es zwingt uns uch, einml genu zu betrchten, wie u W 2,2 und ds punktweise u x = u x = uf zusmmenhängen. Bemerkung Wenn mn einen sttionären Punkt des Funktionls J sucht, ist die Euler-Lgrnge Gleichung die richtige Formulierung für eine schwche Lösung. Wenn mn rgumentieren knn, dss schwche Lösungen uch klssische Lösungen sind, dnn findet mn durch eine prtielle Integrtion ds Rndwertproblem. Oft möchte mn dem umgekehrten Weg folgen: Ein Rndwertproblem mit einer lineren prtiellen Differentilgleichung möchte mn schwch lösen mit Hilfe des Stzes von Riesz. Die schwche Formulierung einer Lösung ist jedoch nicht immer eindeutig wenn überhupt bestimmt durch ein Rndwertproblem wie 7.1. Und schon gr nicht knn mn jede prtielle Differentilgleichung ls Euler-Lgrnge Gleichung bekommen. Für linere Differentilgleichungen und qudrtische Funktionle führt dies zu der folgenden Drstellung der Zusmmenhänge der drei Problemformulierungen: stt J u J u; v = v H u H = schwche Lösung in H? Lu = f in Bu = uf

5 7.4 Poincré, Friedrichs und Wirtinger 23. November Poincré, Friedrichs und Wirtinger Ds Funktionl J u = 1 u x 2 + c x u x 2 f x u x dx. 2 ist konvex, wenn c x c >, und ht dnn lso höchstens ein Minimum. Wir werden sehen, dss mn diese Bedingung bschwächen knn, wenn mn zum Beispiel Funktionen in W 1,2 betrchtet. Auf Seite 4 htten wir dies schon ngekündet. Die Grundidee ist: Wenn mn eine Schrnke für u ht, und mn u n einer Stelle kennt, dnn ht mn eine Schrnke für u Abbildung 7.1: Schrnken für u und u geben Schrnken für u. In umgekehrter Richtung knn mn nichts mchen: Wenn mn eine Schrnke für u ht, ht mn noch keine Schrnke für u Out[56]= Abbildung 7.2: Schrnken für u geben keine Schrnken für u. Für differenzierbre Funktionen in einer Dimension, sgen wir u C 1 [, b], findet mn sofort, dss wenn m u x M für lle x [, b] gilt, dnn folgt, dss u x + m x u x u + M x für lle x [, b].

6 November 211 Kpitel 7, Linere Probleme und schwche Lösungen Verwendet mn die Norm L,b, so findet mn für u C1 [, b], dss u L,b u + b u L,b. Für u C 1 [, b] C [, b] findet mn sogr, dss u L,b 1 2 b u L,b. Derrtige Ungleichungen gibt es uch für ndere Normen. Lemm Poincré-Friedrichs-Ungleichung für n = 1 und p = 2 1. Für u W 1,2, b gilt b 2 b b ux 2 dx u x 2 dx π 2. Für u W 1,2, b gilt b 2 b b ux ū 2 dx 4 u x 2 dx, 7.14 π mit ū = 1 b u x dx. b Bemerkung Übrigens ist b 2 π die kleinst mögliche Konstnte für Die Funktion u, definiert durch u x = sin x π, ist in W 1,2 b, b und liefert eine Gleichheit in Bemerkung Ungleichungen des ersten Typs werden oft nch Friedrichs bennnt. Die des zweiten Typs nch Poincré. D sie jedoch sehr verwndt sind, ist es üblich diese Art Ungleichungen mit dem Nmen der beiden zu benennen: die Poincré-Friedrichs Ungleichungen. Beweis. Die erste Behuptung zeigt mn wie folgt. Durch Sklierung reicht es, wenn mn zeigt, dss für u W 1,2, 1 gilt 1 ux 2 dx 1 1 u x 2 dx π 2 Weil W 1,2, 1 ls Vervollständigung von u Cc [, 1] definiert ist, reicht es wenn wir 7.15 für solche Funktionen zeigen. Für seine solche Funktion u ht mn, dss x ux sinπx und ihre erste Ableitung stetig uf [, 1] sind. Dnn findet mn 1 2 u x sin πx 2 dx = sin πx 1 u = sin πx 2 2 x u x cos πx π sin πx sin πx 2 dx = 1 2 = u x 2 cos πx 2π sin πx u x cos πx u x + π u x 2 dx = sin πx 1 = u x 2 cos πx 2π sin πx u x u x + [ ] 1 cos πx 1 = π sin πx u x2 + u x 2 π 2 u x 2 dx = = 1 1 u x 2 dx π 2 u x 2 dx. π 2 sin πx 2 u x2 π 2 u x 2 dx =

7 7.4 Poincré, Friedrichs und Wirtinger 23. November Für die zweite Behuptung reicht es uch, wenn wir die Ungleichung für u W 1,2, 1 zeigen. Zusätzlich dürfen wir nnehmen, dss ū =. Weil u C [, 1] gilt und wir ū = ngenommen hben, gibt es c, 1 mit u c =. Wir definieren nschließend die Funktion v : [ c, 2 c] R durch Es gilt v W 1,2 c, 2 c, 2 c c v x 2 dx = 2 v x = 1 u x für x [ c,, u x für x [, 1], u 2 x für x 1, 2 c]. u x 2 dx und 2 c c v x 2 dx = 2 Ds Ergebnis folgt, wenn mn den ersten Teil nwendet uf v. 1 u x 2 dx c c 1 c c Abbildung 7.3: Drstellung der Erweiterung us 7.16 Lemm Wirtinger Für u W 1,2, b mit u = ub und b uxdx = gibt es C > so, dss b ux 2 dx C Beweis. Dies ist ein Spezilfll von b u x 2 dx. Aufgbe 23 Nehmen wir n, es gibt ein u C 2 [, b], ds die Bedingungen von Lemm erfüllt und ds den minimlen Wert C liefert. Welchen Wert ht C? Ähnliche Ungleichungen findet mn uch für den mehrdimensionlen Fll und sogr uch für ndere Potenzen ls 2. Theorem Poincré-Friedrichs Nehme n, dss ein beschränktes Gebiet ist und p [1,. Dnn gibt es c p, derrtig, dss für u W 1,p gilt ux p dx c p, u p dx. Beweis. Sei >. In einer Dimension ht mn für u C 1 [, ] mit u = folgendes. Erstens nehmen wir p 1, und finden, dss für 1 p + 1 q = 1 ux = x x u sds 1 u s p p x 1 q ds 1ds u L p, x 1 q 7.17

8 November 211 Kpitel 7, Linere Probleme und schwche Lösungen und dmit u L p, = 1 p 1 1 ux p p dx u L p, x p q dx 1 p p u L p, u L p, Für p = 1 können wir 7.17 ersetzen durch x ux = u sds u L 1, und 7.18 folgt ebenso. Weil C 1 [, ] dicht in W 1,p, liegt, findet mn u L p, u L p, für lle u W 1,p, C [, ] mit u = Bemerke, dss wegen W 1,p, C [, b] jedes u W 1,p, ht einen stetigen Vertreter uch u = einen Sinn mcht für u W 1,p,. Anschließend nehmen wir n, dss gilt {x R n ; < x 1 < }. Für u C 1 C und jedes x R n 1 ist { ux1, x für x x 1 ūx 1, x := für x eine W 1,, -Funktion und ū, x L p, ū, x Mit dem Stz von Fubini-Tonelli finden wir L p, u L p = ū L p R n = R n 1 ū, x p L p, d x = R n 1 ū 1. 1 p ū, x p p d x = L p, = u L L p L p p. u Mn schließt b mit der Bemerkung, dss C 1 C liegt dicht in W 1,p. 7.5 Folgen von Poincré-Friedrichs-Wirtinger Theorem Sei R n beschränkt, ij, c C, f L 2 und n u x u x Ju = ij x + cxu x 2 f x u x dx x i x j Betrchte min Ju. u W 1,2 Sei C P so, dss u L 2 C P u L 2 für lle u W 1,2 und nehme n:

9 7.5 Folgen von Poincré-Friedrichs-Wirtinger 23. November { ij } erfüllt die Legendre-Hdmrd-Bedingung: es gibt C LH > so, dss für jede x und ξ R n ijxξ i ξ j C LH ξ 2 ; 2. es gibt ε > so, dss cx ε C LH C 1 P für einen ε >. Dnn ht J genu ein Minimum ũ W 1,2. Bemerkung Wir bruchen lso nicht unbedingt c x. Bemerkung Wenn ij C 1 ist die Legendre-Hdmrd-Bedingung genu die Bedingung die besgt, dss die zugehörige prtielle Differentilgleichungen zweiter Ordnung elliptisch ist. Beweis. Wir zeigen getrennt, dss es höchstens und dss es mindestens einen sttionären Punkt von J gibt und dss dieser sttionärer Punkt ein Minimum ist. Behuptung Ds Funktionl J ht höchstens einen sttionären Punkt ũ J ũ; v = für lle v W 1,2 und wenn dieser Punkt existiert, ist er ein Minimum. Weil = 2 J u; ϕ = n ϕ x ϕ x ij x + cxϕ x 2 dx x i x j 1 2 εc P + C LH 1 2 εc P CLH ϕ x 2 + ε C LH C 1 P ϕ x 2 dx ϕ x ε + 1ε C 2 2 LHC 1 P ϕ x 2 dx 1 ε C 2 P ϕ x 2 + ϕ x 2 dx C ε ϕ 2 W 1,2 7.2 gilt, ist J u strikt konvex. Wenn ũ ein sttionärer Punkt ist, dnn gilt sogr, dss ũ ein Minimum ist, weil J u J ũ + C ε u ũ 2 W 1,2. Für qudrtische Funktionle gilt nämlich J u = J v + J u; u v J u; u v. Behuptung Es gibt mindestens einen sttionären Punkt für J. Wir definieren für u, v W 1,2 die bilinere Abbildung 1 n u x v x u, v := ij x + cxu x v x dx. x i x j 1 Eine Abbildung B : H H R heißt biliner, wenn für lle u, u 1, u 2, v, v 1, v 2 H und c 1, c 2 R folgendes gilt: die Linerität im ersten Argument: B c 1 u 1 + c 2 u 2, v = c 1 B u 1, v + c 2 B u 2, v und b die Linerität im zweiten Argument: B u, c 1 v 1 + c 2 v 2 = c 1 B u, v 1 + c 2 B u, v 2 ;

10 November 211 Kpitel 7, Linere Probleme und schwche Lösungen Diese bilinere Abbildung ist ein Sklrprodukt. Die einzige Eigenschft, die uns Sorgen mchen könnte, ist die Positiv-Definitheit. Diese Eigenschft zeigt mn jedoch wie folgt. Aus 7.2 folgt, dss, definiert durch u = u, u 1/2, ttsächlich positiv-definit ist, denn u C ε u W 1,2. Beide Normen sind sogr äquivlent, weil uch gilt, dss u n mx 1 i,j n ij 1/2 L u W 1,2. Wegen des Stzes von Riesz gibt es lso genu ein ũ W 1,2 so, dss ũ, v = f x v x dx für lle v W 1,2. Dieses ũ ist ein sttionärer Punkt für J. 7.6 Lx-Milgrm Ws mcht mn, wenn mn { u x + b1 x u x + c x u x = f x in, u x = uf, 7.21 lösen möchte? Dieses Problem lässt sich nicht so leicht mit dem Stz von Riesz schwch lösen, denn mn knn leider nicht wie in Theorem ein pssendes Sklrprodukt definieren. Die Differentilgleichung ist uch nicht sofort erkennbr ls Euler-Lgrnge Gleichung. Für solchen Fälle gibt es eine Erweiterung des Stzes von Riesz für die Existenz einer schwchen Lösung. Für eine Formulierung müssen wir erst einige Begriffe wiederholen/festlegen. Definition Sei H ein Hilbert-Rum und sei B : H H R eine bilinere Abbildung. Diese Abbildung heißt 1. beschränkt, wenn es β R + gibt mit Bu, v β u H v H für lle u, v H; 2. koerzitiv, wenn es α R + gibt mit α u 2 H Bu, u für lle u H. Theorem Lx-Milgrm Sei H,, ein Hilbert-Rum und sei die bilinere Abbildung B : H H R beschränkt und koerzitiv. Dnn gibt es für jedes F H genu ein u H so, dss B u, v = F v für lle v H. Beweis. Der Beweis brucht mehrere Schritte. Die Norm ist wie üblich definiert durch u = u, u. 1. Der erste Schritt funktioniert dem ersten Eindruck nch flsch herum. Nehmen wir n, dss u H fixiert ist. Weil v B u, v H gibt es genu ein w H mit w, v = B u, v für lle v H. 7.22

11 7.6 Lx-Milgrm 23. November Wir definieren die linere Abbildung A : H H durch Es gilt lso A u = w. A u, v = B u, v für lle v H. Die Linerität von A folgt us der Eindeutigkeit in 7.22: Wenn A u 1 = w 1 und A u 2 = w 2, dnn folgt und dies bedeutet, dss c 1 w 1 + c 2 w 2, v = B c 1 u 1 + c 2 u 2, v für lle v H A c 1 u 1 + c 2 u 2 = c 1 w 1 + c 2 w 2. Weil A liner ist, ist A H = {A u ; u H} ein linerer Teilrum von H. 2. A : H H ist beschränkt: und mn findet Au β u. 3. A : H H ist injektiv: Weil Au 2 = Au, Au = B u, Au β u Au folgt α u Au und die Injektivität. α u 2 B u, u = Au, u u Au 4. A H ist bgeschlossen: Sei {w n } n N eine Cuchy-Folge in A H. Dnn gibt es eine Folge {u n } n N in H mit A u n = w n. Weil α u n u m w n w m gilt, ist {u n } n N eine Cuchy-Folge in H und es gibt einen Grenzwert u H. Weil A beschränkt ist, ist A stetig und es gilt w n = A u n A u A H für n. 5. A : H H ist surjektiv: Nehmen wir n, A H H. Wir werden zeigen, dss es für w H \ A H ein derrtiges w A H gibt, dss w w A H und dss Sei {u n } n N A H mit < d := inf w u = w w. u AH lim w u n = inf w u = d. n u AH Dnn gilt, weil uch 1 2 u n + u m A H, dss 2 u n u m 2 = 2 w u n w u m 2 2w u n + u m 2 2 w u n w u m 2 4d 2 für n. 2 Für einen Hilbert-Rum H,, mit u = u, u gilt: für lle, b H. + b 2 + b 2 = b 2 b

12 8 23. November 211 Kpitel 7, Linere Probleme und schwche Lösungen Also ist {u n } n N eine Cuchy-Folge in H und deshlb konvergent in H. Der Grenzwert lim n u n ist unser w und w w = d. Weil A H bgeschlossen ist, gilt w A H und folgt d >. Für u A H gilt w w 2 w w + tu 2 = w w 2 + 2t w w, u + t 2 u 2 und so sieht mn, dss w w, u =. Die letzte Gleichheit bedeutet w w A H. Anschließend zeigen wir den Widerspruch. Setze u = d 1 w w. Dnn gilt u A H, u H = 1 und α α u 2 B u, u = A u, u =. 6. Nochmls den Stz von Riesz nwenden zeigt, dss es für F H ein w H gibt mit w, v = F v für lle v H. Aus den vorherigen Schritten wissen wir, dss es für jedes w H = A H ein u H gibt mit Au = w. Es folgt, dss B u, v = Au, v = w, v für lle v H. Also hben wir die Existenz eines u H gefunden mit B u, v = F v für lle v H. 7. Die Eindeutigkeit: Wenn es zwei Lösungen gäbe, sgen wir u und ũ, dnn findet mn mit v = u ũ, dss Der Beweis ist komplett. α u ũ 2 H B u ũ, u ũ = B u ũ, v = = B u, v B ũ, v = F v F v =. Wir können mit dem Stz von Lx-Milgrm eine schwche Lösung für 7.21 bekommen, wenn c x c und mn c genügend groß nimmt. Eine schwche Formulierung des Rndwertproblems ist u x v x + b 1 x Setzt mn B u, v = u x v x + c x u x v x f x v x dx = für lle v W 1,2. u x v x + b 1 x u x v x + c x u x v x dx, knn mn wie folgt die zweite Bedingung von Lx-Milgrm erfüllen: B u, u = u 2 L 2 b 1 L u L 2 u L 2 + c u 2 L u 2 L 2 c + 1 b L u 2 L 2, 7.23 wenn wir nnehmen, dss c > 1 2 b 1 2 L. Wir hben in 7.23 die folgende Ungleichung verwendet: xy 1 2 x y2. Mn könnte sogr noch zusätzlich Poincré-Friedrichs nwenden für eine schärfere Abschätzung.