Analysis 3 Zweite Scheinklausur Ws 2018/

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1 Anlysis 3 weite Scheinklusur Ws 8/9..9 Es gibt 8 Aufgben. Die jeweilige Punktzhl steht m linken Rnd. Die Mximlpunktzhl ist 7. um Bestehen der Klusur sind Punkte hinreichend. Die Berbeitungszeit beträgt 9 Minuten. Es sind keine Hilfsmittel zugelssen. In llen Aufgben sind lle Schritte zu begründen. Verwenden Sie pro Aufgbe jeweils ein neues Bltt. Abgben mit Bleistift oder Rotstift sind nicht zulässig. Trgen Sie bitte Nmen, Mtrikelnummer sowie Nmen Ihres Tutors ein. Nme M-Nr Tutor P

2 S-. h4i Aufgbe Sei f : R n! R n stetig differenzierbr und regulär.. Geben Sie die Definition dfür, dss f regulär ist. b. eigen Sie, dss ds Bild jeder offenen Menge unter f ebenflls offen ist. c. Geben Sie ein Beispiel, dss die Regulrität von f hinreichend, ber nicht notwendig ist.. Eine stetig differenzierbre Abbildung f : R n! R n ist regulär, wenn in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches ihre Jcobische Df regulär, lso invertierbr ist. b. Sei U offen, V f (U) und b V beliebig. Dnn gibt es wenigstens ein U mit b f (). D f im Punkt regulär ist, ist ufgrund des Umkehrstzes f um ein lokler Diffeomorphismus. Eine hinreichend kleine offene Umgebung U um, die es in der offenen Menge U j geben muss, wird somit uf eine offene Menge V f (U ) V bgebildet. Somit ist V offen. c. Die Funktion f : R! R mit f (t) t 3 ist nicht regulär, d f (). Sie ist ber offen, d sie streng monoton ist. h5i Aufgbe Sei ' : R n! R zweiml stetig differenzierbr, und h Õ (@ ',..,@ n ') > : R n! R n.. Definieren Sie, wnn die Hessesche H' von ' strikt positiv definit ist. b. Ist dies der Fll, so ist h in jedem Punkt ein lokler Diffeomorphismus. c. Drüber hinus ist h injektiv uf gnz R n.. Die Hessische H H' ist strikt positiv definit genu dnn, wenn hhx,xi >, x î. ( ) b. Aus ( ) folgt, dss H keinen Eigenwert besitzt, lso regulär ist. Es ist ber H Dh die Jcobische von h. Also können wir uf h in jedem Punkt den loklen Umkehrstz nwenden. c. Seien u î v Punkte in R n. Mit der Formel von Hdmrd, oder uch mit direkter Anwendung des Fundmentlsstzes, gilt h(v) h(u) Dh(u + t(v u))(v u) dt H(..)(v u) dt. Ws 8/9 Pöschel Bltt S- vom..9 Seite von 7

3 S-.3 Nehmen wir ds Sklrprodukt mit v u, so folgt hh(v) h(u), v ui Also muss h(v) î h(u) gelten. hh(..)(v u),v ui dt >. h5i Aufgbe 3 Sei A eine reelle n n-mtrix und h, i ds Stndrdsklrprodukt uf dem R n. Bestimmen Sie ds Mximum der Funktion f : R n! R, f (x) hax,xi+hx,axi under der Nebenbedingung hx,xi. Mn sprt sich viel Arbeit, wenn mn zunächst f (x) h x,xi mit der symmetrischen Mtrix A + A > schreibt. Die ielfunktion lutet dnn L(x, ) h x,xi+ (hx,xi ). Ds zu lösende Gleichugnsssystem ist x + x, hx,xi. Somit muss x ein Eigenvektor mit Eigennwert ist dnn von mit hx,xi sein. Es f (x) h x,xi hx,xi. Ds Mximum von f ist lso ds Doppelte des größten Eigenwerts von. hi Aufgbe 4. eigen Sie, dss Q eine Lebesgue-Nullmenge in R bildet. b. Geben Sie ein Mß µ uf R n, so dss µ(q).. Eine Ein-Punkt-Menge ht Lebesgue-Mß Null. Q ist bzählbr, lso Vereinigung bzählbr vieler Ein-Punkt-Mengen und ht deshlb ebenflls Lebesgie-Mß Null. b. Jedes ählmß mit einem einzigen rtionlen Punkt ht zum Beispiel diese Eigenschft. Ws 8/9 Pöschel Bltt S- vom..9 Seite 3 von 7

4 S-.4 hi Aufgbe 5 Ist h : [,b]! R stetig, so gilt b u h(u, v) dv du b b v h(u, v) du dv. Bezeichnet {x y} die chrkteristische Funktion der Menge so ist mit Fubini (x, y) [,b] : x y, b u h dv du b b b b b b v h {v u} dv du h {u v} du dv h du dv. h3i Aufgbe 6 eigen Sie mithilfe des Stzes von der dominierten Konvergenz: Ist f : R! R stetig differenzierbr mit kompkten Träger, so ist F : R! R, F(x) wohldefiniert, differenzierbr, und es gilt F (x) f x (x, y) dy. f (x, y) dy ( ) D f stetig mit kompkten Träger ist, ist für jedes x ds Integrl in ( ) ein Integrl einer stetigen Funktion über ein kompktes Intervll. Dher ist F für jedes x wohldefiniert. Die prtielle Ableitung f x ist ebenflls stetig mit kompkten Träger. Es gibt dher eine Treppenfunktion (y), so dss f x (x, y) (y), x, y R. Aufgrund des Mittelwertstzes für eine Vrible gilt dnn f (x + h, y) f (x, y) h f x (x + h, y) (y) für lle x, y und h. Mit dem Stz von der dominierten Konvergenz gilt dher Ws 8/9 Pöschel Bltt S- vom..9 Seite 4 von 7

5 S-.5 F(x + h) F(x) lim h! h f (x + h, y) f (x, y) lim dy h! h f (x + h, y) f (x, y) lim dy h! h f x (x, y) dy. Also ist F differenzierbr, und es gilt die behuptete Identität. h3i Aufgbe 7 Berechnen Sie den Flächeninhlt des Einheitskreises, indem Sie die -Form x dy Stokes y dx über seinen Rnd integrieren. Bezeichnet D des Einheitskreis, so gilt ufgrund des Stzes von (x dy y d(x dy y dx) D dx ^ dy D. D Mit der Stndrdprmetrisierung t, (cos t,sin t) erhält mn für ds erste Integrl (x dy y Somit ist D. ((cos t)(cos t) (sin t)( sin t)) dt (cos t + sin t)dt. h3i Aufgbe 8 Formulieren und beweisen Sie den Stz von Stokes uf elementre Weise für. g(x) b. h(x, Der Stz von Stokes sgt in diesem Fll, dss Wegen g(x) dg [,] ist dies gerde der Huptstz. g (x) dx. [,] Ws 8/9 Pöschel Bltt S- vom..9 Seite 5 von 7

6 S-.6 b. Der Stz von Stokes sgt in diesem Fll, dss h(x, y) Hierbei ist mit Fubini [,] h x dx ^ dy d(h dy) [,] [,] h x dx ^ dy. h x dx dy (h(, y) h(, y)) dy. Andererseits gilt, d die Seiten mit y const keinen Beitrg liefern und bei Berücksichtigung der Orienteirung des Rndes von [,], h(x, y) dy h(x, y) dy h(x, y) dy {x} Also sind beide Seiten gleich. (h(, y) h(, y)) dy. Ws 8/9 Pöschel Bltt S- vom..9 Seite 6 von 7

7 S-.7 Ws 8/9 Pöschel Bltt S- vom..9 Seite 7 von 7