Fourierreihen. Timo Dimitriadis

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1 Fourierreihen Timo Dimitridis In diesem Vortrg geht es im prktischen Sinne um die Anlyse von Schwingungsvorgängen, wie sie zum Beispiel in der Physik häufig vorkommen. Oft mg es nützlich sein, diese durch eine Superposition von elementren Sinus- und Cosinus-Schwingungen zu beschreiben flls dies möglich ist. Dzu verwendet mn eine Funktion f : R R mit f(x) = 1 + ( 1 sin x + b 1 cos x) + + ( n sin nx + b n cos nx) mit gewissen Konstnten ν, b ν. Es stellen sich nun die Frge, für welche Funktionen diese Reihe gegen die Funktion konvergiert und ob diese und somit die Konstnten ν, b ν eindeutig bestimmt sind. Dzu knn mn sich noch frgen, ob die Konvergenz punktweise oder gr gleichmäßig oder bsolut ist. Der vorngehende Vortrg beschäftigte sich schon mit diesem Them, jedoch für gltte Funktionen. Ich werde mich mit einer größeren Klsse von Funktionen, der der stückweise stetig differenzierbren Funktionen beschäftigen. Ich benutze hier einige Vorrussetzungen die der letzte Referent schon eingefürt und bewiesen ht, wie z.b. Konvergenzbedingungen für Funktionen f : R C oder die Exponentilschreibweise für Sinusfunktionen. Ebenso verzichte ich uf eine erneute Herleitung der folgenden Definitionen. 1

2 Definition: ν-ter Fourierkoeffizient: c ν = 1 f(t)e iνt dt ν Z n-tes Fourierpolynom: S n (x) = c ν e iνx Fourierreihe: lim S n(x) = n ν= c ν e iνx Def: Eine Funktion f : [, b] C heißt stückweise gltt, flls es eine Prtition = < 1 < < n = b gibt und flls es 1 ml stetig differenzierbre Funktionen f ν : [ ν 1, ν ] C gibt, sodss f(x) = f ν (x) für x ( ν 1, ν ) gilt. (1 ν n) Wir beginnen dmit, dss wir eine Integrldrstellung für S n (x) herleiten, um dnch dnn mit Hilfe dieser Drstellung ein Konvergenzkriterium ufstellen zu können. Betrchten wir nun die Reihe T n (y) T n (y) := e iνy = µ= e i(µ n)y = e iny µ= e iµy mit der us Anlysis I beknnten Formel j=1 j 1 = 1 n 1 für 1 (geometrische Reihe) ergibt sich: T n (y) = e iny 1 (eiy ) n+1 iny 1 ei(n+1)y 1 e iy = e 1 e iy für y k k Z

3 Indem wir e iny mit in den Bruch schreiben, dnn mit e i y erweitern, dies vereinfchen und schliesslich die Definition des Sinus einsetzen, ergibt sich T n (y) = (e iny e i(n+1)y )e i y (1 eiy)e i y = e i(n+ 1 )y e i(n+ 1 )y e i y e i y = e i(n+ 1 )y e i(n+ 1 )y i e i y e i y i = sin((n + 1 )y) sin( 1 y). Andererseits ist S n (x) = c ν e iνx = 1 f(t)e iνt dt e iνx = 1 f(t) e iν(x t) dt. Setzt mn nun T n (x t) = in S n (x) ein, erhält mn S n (x) = 1 e iν(x t) = sin((n + 1 )(x t)) sin( 1 (x t)) f(t) sin((n + 1 )(x t)) sin( 1 (x t)) = 1 = 1 f(x + t) sin((n + 1 )t) sin( 1 t) + 1 f(x + t) sin((n + 1 )t) sin( 1 t) f(x + t) sin((n + 1 )t) sin( 1 t). Bei dieser Substitution müssen die Grenzen nicht geändert werden, d die Funktion -periodisch ist und es somit egl ist über welches Intervll der Länge wir integrieren. Durch Substitution t t im zweiten Integrl und nschliessend t t in beiden erhält mn: 3

4 S n (x) = 1 f(x+t) sin((n + 1 )t) sin( 1 t) dt+ 1 = 1 = 1 f(x + t) sin((n + 1 )t) sin( 1 t) dt + 1 sin((n + 1)t) f(x + t) dt + 1 sin(t) = f(x + t) + f(x t) f(x t) sin((n + 1 )( t)) sin( 1 t) ( 1)dt f(x t) sin((n + 1 )t) sin( 1 t) dt sin((n + 1)t) f(x t) dt sin(t) sin((n + 1)t) dt sin(t) Nch diesen, teils uch nur kosmetischen Umformungen können wir nun ein Kriterium für die Konvergenz der Fourierreihe formulieren: Kriterium: Die Fourierreihe von f(x) konvergiert genu dnn, wenn die Folge S n (x) für n gegen f(x) konvergiert und der Grenzwert der Folge ist der Funktionswert der Fourierreihe n der Stelle x. Integrle in der Form werden ls Dirichlet-Integrle bezeichnet. Betrchte nun ds spezielle Dirichlet-Integrl: f(x ) = 1 f(x ) sin((n + 1)t) dt = sin t f(x ) e iνt dt = 1 f(x ) = f(x ) + 1 f(x ) = f(x ) + 1 f(x ) sin((n + 1)t) dt = 1 sin t f(x ) e it dt + e iνt dt + e iνt + e i( ν)t dt sin((n + 1 )t) sin t dt e i( ν)t dt [cos(νt) + cos( νt) + i sin(νt) + i sin( νt)] dt 4

5 = f(x )+ 1 f(x ) ( cos(νt)dt = f(x )+ 1 f(x ) [ 1 ν sin(νt) Wenn wir nun lso S n (x ) f(x ) bilden, können wir f(x ) in ds Integrl mit hineinziehen und können folgenden Stz formulieren: Stz: Die Fourierreihe von f konvergiert genu dnn n der Stelle x o gegen f(x o ), wenn die Folge S n (x ) f(x ) = eine Nullfolge ist. ( f(x + t) + f(x t) ] ) sin((n + 1)t) f(x ) dt sin t Wir werden nun versuchen eine möglichst große Klsse von Funktionen zu konstruieren, für die dieses Kriterium erfüllt ist. Dzu ist der folgende Hilfsstz sehr nützlich, uf ihm werden lle restlichen Betrchtungen ufbuen. Er wird oft uch Riemnn-Lebesgue-Lemm gennnt. Hilfsstz: Sei f : [, b] C < b eine Regelfunktion. Die beiden Folgen ) = f(x ) f(x)e inx dx und f(x)e inx dx konvergieren gegen Null für n Beweis: Die Idee bei diesem Beweis ist, ihn in 3 Teile ufzuteilen. Zuerst wird die Behuptung für konstnte Funktionen gezeigt, dies dnn uf Treppenfunktionen usgeweitet und schliesslich knn mn ddurch die Behuptung uch für Regelfunktionen zeigen. Ich werde den Beweis hier nur für Der Beweis für f(x)e inx dx zeigen. f(x)e inx dx geht völlig nlog. 5

6 (I) Sei f(x) = c konstnt: c e inx dx = c(cos(nx) + i sin(nx))dx = c cos(nx)dx+i c sin(nx)dx [ c ] b [ = n sin(nx) + i c ] b n cos(nx) = c n (sin(nb) sin(n)) + i c n (cos(nb) cos(n)) für n d sin(nx) 1 und cos(nx) 1 für lle x R (II) Sei f(x) eine Treppenfunktion: Dies lässt sich unmittelbr uf den Fll(I) zurückführen, d Treppenfunktionen us endlich vielen konstnten Funktionen zusmmengesetzt sind. (III) Sei f(x) nun eine Regelfunktion: Sei ɛ > D f nun eine Regelfunktion ist, knn sie gleichmäßig durch Treppenfunktionen pproximiert werden. = Es existiert eine Treppenfunktion g(x) mit: f(x)e inx dx Zum einen gilt g(x)e inx dx + g(x)e inx dx + (f(x) g(x))e inx dx (f(x) g(x)) e inx dx := (1) }{{} =1 g(x)e inx dx ɛ,d g(x) eine Treppenfunktion ist und somit gegen Null konvergiert. Andererseits ist uch f(x) g(x) dx (b ) f(x) g(x) (b )ɛ 6

7 , d f(x) gleichmäßig gegen g(x) konvergiert. (1) ɛ + (b )ɛ = Cɛ Also ist der Hilfsstz nun uch für jede Regelfunktion bewiesen. Zustz: Auch konvergiert gegen Null, für n d f(x) sin(nx)dx sin(x) = eix e ix i Wir können nun versuchen, diesen Hilfsstz uf die Funktion S n (x ) f(x ) = g(t) sin((n + 1)t)dt mit g(t) = f(x + t) + f(x t) f(x ) sin t nzuwenden. Die Funktion ist jedoch n der Stelle t = nicht definiert und muss nicht einml in den Nullpunkt hinein stetig fortsetzbr sein. Wir können g(t) hier ber durch eine etws leichtere Funktion ersetzen: Die Funktion 1 t 1 sin t = sin t t t sin t, die in (, /] definiert und stetig ist, knn mn in den Punkt t = stetig fortsetzen. Anschulich mg ds klr sein, d sin t und t für t fst gleich sind, bewiesen werden knn dies mthemtisch ber uch leicht mithilfe der Regel von l Hospitl: lim t sint t t sin t = lim t cos t 1 1 sin t + t cos t = lim t sin t cos t t sin t = = 7

8 Wir können lso sttt g(t) genuso gut die Funktion h(t) := f(x + t) + f(x t) f(x ) verwenden. t Zusmmenfssend können wir nun folgenden Stz formulieren: Stz: Sei f : R C eine Regelfunktion mit der Periode. Dnn sind folgende Aussgen gleichbedeutend: (I) f(x ) = lim n c ν e iνx mit c ν = 1 (II) Die Folge der Dirichlet-Integrle (n N) J n = ist eine Nullfolge. ( f(x + t) + f(x t) f(x ) t f(t)e iνt dt ) sin((n + 1)t)dt Wenn wir jetzt die Funktion h(t) = f(x + t) + f(x t) f(x ) t betrchten, fällt sofort uf, dss h(t) in der Nähe von t = nicht unbedingt beschränkt sein muss. Wenn jedoch die Funktion f(x) differenzierbr ist, so bildet der Grenzwert von h(t) eine Ableitung und somit knn mn h(t) stetig in t = hinein fortsetzen. Also ist dnn h(t) uch eine Regelfunktion uf [, /] und wir können den Hilfsstz druf nwenden. Betrchten wir nun stückweise gltte Funktionen, die unter nderem Unstetigkeitsstellen hben können. Als weiter Vorrussetzung fordern wir noch, dss für lle x D gilt: f(x ) = lim f(x + t) + lim f(x + t) t + t Ds heißt die einseitigen Grenzwerte existieren uch in den Unstetigkeitsstellen, und somit gilt: h(t) = f(x + t) + f(x t) f(x ) t 8

9 f(x + t) + f(x t) lim f(x + t) lim f(x + t) t = + t t Also existiert der Grenzwert lim t h(t) und mn knn h(t) uch in den Unstetigkeitsstellen von f(x) stetig in den Nullpunkt hinein fortsetzen. Also bildet h(t) uch eine Regelfunktion uf [, ]. Somit können wir ds bschliessende Theorem, uf ds wir hingerbeitet hben, formulieren: Theorem: Vorrussetzungen: f stückweise gltt + f(x ) = lim f(x + t) + lim f(x + t) t + t Behuptung: Für stückweise gltte Funktionen f konvergiert die Fourierreihe in jedem Punkt. Die Fourierreihe stelle die Funktion in llen Punkten dr, in denen die Funktion stetig ist. In den Sprungstellen stellt sie ds rithmetische Mittel us den einseitigen Grenzwerten dr. Beweis: Als Beweis müssen wir nun nur noch die Funktion h(t) = f(x + t) + f(x t) f(x ) t von der wir nun wissen, dss sie in llen Punkten x eine Regelfunktion uf [, ] drstellt uf den Hilfsstz nwenden. Drus folgt dnn, dss J n = eine Nullfolge ist. ( f(x + t) + f(x t) f(x ) t, ) sin((n + 1)t)dt 9

10 Ds ist nun nch obrigem Stz gleichbedeutend dmit, dss die Fourierreihe gegen die Funktion f(x) konvergiert und somit ist f(x) = lim n c ν e iνx mit c ν = 1 f(t)e iνt dt für lle stückweise stetig differenzierbren Funktionen f(x). Wir bemerken ntürlich sofort dss Fourierreihen im Allgemeinen nicht gleichmäßig konverieren können, sonst könnten Fourierreihen keine Funktionen mit Sprungstellen drstellen. Desweiteren sei noch ngemerkt, dss es stetige Funktionen gibt, für die die Fourierreihe nicht in llen Punkten konvergiert. Es wird lso wohl kein Kriterium geben für die Konvergenz von Fourierreihen, ds nur uf die Stetigkeit der Funktion zurückgreift. Konvergenzbetrchtungen für mnche Fourierreihen können sehr schwierig sein und benötigen gesonderte Betrchtungen. Quellen: Eberhrd Freitg: Vorlesungen ber Anlysis Teil I 1