Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag

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1 MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 015/16 Bltt Übungen zur Vorlesung Differentil und Integrlrechnung I Lösungsvorschlg 13. Zu betrchten ist die durch 0 = 1 und n+1 = n + 1 für lle n N 0 rekursiv definierte Folge ( n ) n N0. ) Es ist 0 = 1, 1 = = 3, = = 7 4, 3 = + 1 = 15 8,..., lso 0 = 1, 1 = 1, = 1 4, 3 = 1 8,..., wodurch die Vermutung n = ( ) n 1 für lle n N 0 nhegelegt wird; wir weisen diese mit Hilfe vollständiger Induktion nch: Für n = 0 ist 0 = 1 = 1 = ( ) 0 1. Für n n + 1 folgt us der Induktionsvorussetzung ( ) n 1 n = unter Verwendung der Rekursionsvorschrift die Induktionsbehuptung n+1 = n + 1 = 1 ( ( ) n ) ( 1 = 1 ( ) n ) ( ) n =.

2 Wegen 1 = 1 < 1 ergibt sich ( ) n 1 n = }{{} = ; dmit ist die Folge ( n ) n N0 konvergent gegen den Grenzwert =. b) Wir zeigen jeweils mit vollständiger Induktion: Für lle n N 0 gilt n n+1 : für n = 0 ist 0 = 1 und 1 = = 3, lso 0 1, und für n n + 1 folgt us n n+1 zunächst mit dem Monotoniegesetz der Multipliktion n = 1 1 n wegen 1 >0 n+1 = n+1 und dnn mit dem Monotoniegesetz der Addition n+1 = n + 1 n = n+. Dmit ist die Folge ( n ) n N0 monoton wchsend. Für lle n N 0 gilt n 4: für n = 0 ist 0 = 1, lso 0 4, und für n n + 1 folgt us n 4 zunächst mit dem Monotoniegesetz der Multipliktion n = 1 1 n 4 = 1 wegen 1 >0 und dnn mit dem Monotoniegesetz der Addition n+1 = n =, insbesondere lso n+1 4. Dmit ist die Folge ( n ) n N0 nch oben beschränkt. Dmit ist die Folge ( n ) n N0 insgesmt monoton wchsend und (nch oben) beschränkt, nch dem Huptstz über monotone Folgen mithin konvergent. Für den Grenzwert = lim n ergibt sich mit Hilfe der Rekursionsvorschrift lso ( n ) = lim n+1 = lim + 1 = + 1, = 1 und dmit =.

3 14. Im Flle der Konvergenz der durch die Rekursionsvorschrift definierten Folge ( n ) n N0 n+1 = 1 5 ( n + 6 ) für n N 0 kommen für den Grenzwert = lim n wegen 1 ( = lim n+1 = lim 5 n + 6 ) = 1 ( + 6 ) 5 und dmit 0 = = ( )( 3) Viet nur die beiden Werte = und = 3 in Frge. Dies motiviert die folgende Fllunterscheidung hinsichtlich des Strtwertes 0 [0, 3]: Für 0 = ist 1 = 1 5 ( + 6) = = und nlog n = für lle n N 0 ; dmit ist ( n ) n N0 eine konstnte Folge mit Grenzwert =. Für 0 = 3 ist 1 = 1 5 (3 + 6) = = 3 und nlog n = 3 für lle n N 0 ; dmit ist ( n ) n N0 eine konstnte Folge mit Grenzwert = 3. Für 0 ], 3[ zeigen wir zunächst n ], 3[ für lle n N 0 mit Hilfe vollständiger Induktion: für n = 0 ist dies klr, und für n n + 1 gilt n ], 3[ = < n < 3 = 4 < n < 9 = 10 < n + 6 < 15 = = < 1 ( 5 n + 6 ) < 3 = < n+1 < 3 = n+1 ], 3[. Dmit ergibt sich ber n+1 n = 1 ( 5 n + 6 ) n = 1 ( 5 n 5 n + 6 ) = 1 5 ( n 3) ( }{{} n ) < 0 }{{} <0 >0 und somit n+1 < n für lle n N 0 ; folglich ist die Folge ( n ) n N0 streng monoton fllend und (etw durch ) nch unten beschränkt, lso konvergent; ls Grenzwert kommt nur = in Frge. Für 0 [0, [ zeigen wir zunächst n [0, [ für lle n N 0 mit Hilfe vollständiger Induktion: für n = 0 ist dies klr, und für n n + 1 gilt n [0, [ = 0 n < = 0 n < 4 = 6 n + 6 < 10 = = ( 5 n + 6 ) < = 0 n+1 < = n+1 [0, [. Dmit ergibt sich ber n+1 n = 1 ( 5 n + 6 ) n = 1 ( 5 n 5 n + 6 ) = 1 5 ( n 3) ( }{{} n ) > 0 }{{} <0 <0 und somit n+1 > n für lle n N 0 ; folglich ist die Folge ( n ) n N0 streng monoton wchsend und (etw durch ) nch oben beschränkt, lso konvergent; ls Grenzwert kommt nur = in Frge.

4 15. Für einen beliebigen Strtwert 0 R ist die durch n+1 = n n + 1 für lle n N 0 rekursiv definierte Folge ( n ) n N0 zu betrchten. ) Sei 0 R ein beliebiger Strtwert. Für lle n N 0 gilt n+1 n = ( n n + 1 ) n = n n + 1 = ( n 1) 0, lso n+1 n ; dmit ist die Folge ( n ) n N0 monoton wchsend. Gemäß dem Huptstz über monotone Folgen gibt es nun hinsichtlich des Konvergenzverhltens der Folge ( n ) n N0 nur die beiden Alterntiven: Ist die Folge ( n ) n N0 nch oben beschränkt, so ist sie konvergent. Für ihren in diesem Fll existierenden Grenzwert = lim n erhält mn mit Hilfe der Rekursionsvorschrift folglich = lim n+1 = lim ( n n + 1 ) = + 1, 0 = ( + 1 ) = + 1 = ( 1), lso 1 = 0 und dmit zwingend = 1. Ist die Folge ( n ) n N0 nicht nch oben beschränkt, so ist sie bestimmt divergent gegen +. b) Für einen Strtwert 0 [0, 1] zeigen wir n [0, 1] für lle n N 0 mit vollständiger Induktion: Für n = 0 gilt 0 [0, 1] gemäß der Whl des Strtwerts. Für n n + 1 gilt gemäß der Induktionsvorussetzung n [0, 1], lso 0 n 1, worus n n und dmit n+1 = n n + 1 n n + 1 = 1 folgt; mit der in ) gezeigten Monotonie gilt ferner n+1 n 0. Dmit ist die gemäß ) monoton wchsende Folge ( n ) n N0 uch (nch oben) beschränkt, mithin konvergent, und gemäß ) besitzt sie den Grenzwert = 1. c) Für einen Strtwert 0 / [0, 1] gilt 0 < 0 oder 0 > 1, insbesondere lso 0 > 0, worus 1 = > = 1 folgt. Unter der Annhme, die gemäß ) monoton wchsende Folge ( n ) n N0 ist nch oben beschränkt, erhält mn ihre Konvergenz, und für ihren Grenzwert ergibt sich in 1 > 1 = Monotonie gemäß ) ein Widerspruch. Folglich ist die Folge ( n ) n N0 nicht nch oben beschränkt, mithin bestimmt divergent gegen +.

5 16. Es seien 0 < 1 < b 1 fest gewählt. Mn betrchte die beiden über die Rekursion n+1 = n b n und b n+1 = n + b n n + b n für lle n N definierten Folgen ( n ) n N und (b n ) n N. Wir zeigen zunächst, dß ([ n, b n ]) n N eine Intervllschchtelung ist: Wir zeigen 0 < n b n für lle n N mit vollständiger Induktion: n = 1 : Es ist 0 < 1 < b 1 nch Vorussetzung und dmit 0 < 1 b 1. n n + 1 : Wegen 0 < n b n gilt 0 < n+1 und 0 < b n+1 sowie b n+1 n+1 = n + b n n b n n + b n = = ( n + b n ) 4 n b n ( n + b n ) = ( n b n ) ( n + b n ) 0, lso b n+1 n+1 0 bzw. b n+1 n+1, insgesmt lso 0 < n+1 b n+1. Wegen 0 < n b n erhlten wir n+1 = n b n n + b n n b n b n + b n = n b n b n = n, lso n+1 n, für lle n N. Dmit ist die Folge ( n ) n N der unteren Intervllgrenzen monoton wchsend. Wegen 0 < n b n erhlten wir b n+1 = n + b n b n + b n = b n = b n, lso b n+1 b n, für lle n N. Dmit ist die Folge (b n ) n N der oberen Intervllgrenzen monoton fllend. Die Folge ( n ) n N ist monoton wchsend und wegen n b n b 1 für lle n N nch oben beschränkt, lso konvergent mit lim n =. Die Folge (b n ) n N ist monoton fllend und wegen b n n 1 für lle n N nch unten beschränkt, lso konvergent mit lim b n = b. Dmit gilt ber uch lim n+1 = und lim b n+1 = b, und wir erhlten mit Hilfe der Rekursionsvorschrift von (b n ) n N dnn b = lim b n+1 = lim n + b n lso b = + b und dmit b = ; folglich ist wegen lim (b n n ) = b = 0 = + b, die Folge (b n n ) n N der Intervllängen eine Nullfolge.

6 Wir bestimmen nun ds durch die Intervllschchtelung ([ n, b n ]) n N definierte Element r [ n, b n ]; dbei gilt n N lim n = = r = b = lim b n, wegen n 0 für lle n N insbesondere r 0. Wir zeigen dzu n b n = 1 b 1 für lle n N durch vollständige Induktion: für n = 1 ist 1 b 1 = 1 b 1, und für n n + 1 folgt us n b n = 1 b 1 schon Dmit ergibt sich n+1 b n+1 = n b n n + b n n + b n = n b n = 1 b 1. r = lim n lim b n = lim ( n b n ) = 1 b 1, wegen r 0 lso r = 1 b 1 ; es ist lso 1 b 1 [ n, b n ]. n N