Wie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt?

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Margarete Koenig
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1 ZÜ 2.1 Aufgbe 2.1 Drei Kugeln K 1, K 2 und K 3 Mssen, m 2 und m 3 befinden sich in einer Rille und berühren sich nicht. Die erste Kugel gleitet mit der Geschwindigkeit v1 und stößt vollkommen elstisch uf die zweite Kugel, die sich ebenso wie die dritte Kugel zunächst in Ruhe befindet. Anschließend führt die zweite Kugel wiederum einen vollkommen elstischen Stoß mit der dritten Kugel us. Die Rille ist idel gltt, so dss keine Rottion der Kugeln uftritt. v 1 K 1 K 2 K 3 gltt Wie muss die Msse m 2 der Kugel K 2 gewählt werden, dmit die Kugel K 3 die größtmögliche Geschwindigkeit erreicht? Aufgbe 2.2 K 3 r S 3 x S 2 K 2 r Drei Kugeln K 1, K 2, und K 3 Msse jeweils m hben den gleichen Rdius r. Der Abstnd zwischen S 3 und S 2 ist siehe Skizze. Die Kugel K 1 bewegt sich senkrecht zur Achse S 3 S 2 mit der Geschwindigkeit v1, während sich die Kugeln K 2 und K 3 zunächst in Ruhe befinden. K 1 stößt mit der Kugel K 2 zusmmen. K 1 v1 S 1 r Wie muss x gewählt werden, so dss K 1 nschließend einen gerden Stoß mit K 3 usführt? Hinweis: Die Stöße sollen ls vollkommen elstisch betrchet werden. Die Kugeln sind idel gltt. Aufgbe 2.3 Ein Durchschlgpendel besteht us einer homogenen Stnge C Msse, Länge l, die im Punkt A drehbr gelgert ist. Am nderen Ende befindet sich eine Schneide B Msse m 2, die näherungsweise ls Scheibe Rdius r modelliert werden knn. 2r g m 2 B l C ϕ A D Nch dem Loslssen durchschlägt ds Durchschlgpendel in der vertiklen Lge ϕ eine fest eingespnnte Probe D. Für die Geometrie gelte folgende Beziehung: l = 6r. Wie muss ds Mssenverhältnis k = m 2 gewählt werden, so dss ds Lger A gerde keine Krftstöße erleidet?

2 ZÜ 2.2 Lösung zur Aufgbe 2.1 m 2 m 3 K v1 1 K 2 K 3 gesucht: m 2, so dss v ++ 3 nch dem Stoß mximl ist. 1. Stoß: Kugel 1 - Kugel 2 gerde/gltt = v t Kugeln drehen sich nicht zentrl = Stoßnormle durch beide Schwerpunkte vollkommen elstischer Stoß m 2 x F K 1 F 1 1 K 2 Impulsstz in integrler Form/Stoßgleichung Unbhängig von der Art des Stoßes bleibt der Impuls des Gesmtsystems erhlten. v i : Geschwindigkeit vor dem Stoß v + i : Geschwindigkeit nch de. Stoß v i ++ : Geschwindigkeit nch dem 2. Stoß v + 1 v 1 = F 1 m 2 v 2 + v2 = F Zusätzlich muss die Stoßgleichung erfüllt sein: ǫ = v+ 2 v+ 1 v 2 v 1 3 Für den vollkommen elstischen Fll ist ǫ = 1. Gleichung 3 vereinfcht sich zu: Auflösen nch v + 2 : v + 1 = v + 2 v : v + 1 v 1 +m 2 v Stoß: Kugel 2 - Kugel 3 mit 4 : v + 2 2v 1 +m 2 v + 2 = v + 2 = 2v 1 +m 2 6

3 ZÜ 2.3 gerde, zentrl, gltt, elstisch m 2 v 2 ++ v 2 + = F 2 m 3 v 3 ++ v 3 + = F 2 v 3 ++ v 2 ++ = v 2 + v+ 3 nlog zu. Stoß: v 3 ++ = 2m 2v 2 + m 2 +m 3 mit 6: v ++ 3 = 4 m 2 v 1 +m 2 m 2 +m 3 Ds Mximum liegt zwischen m 2 v ++ 3 und m 2 v = dv++! 3 dm 2 = 4 v1 +m 2 m 2 +m 3 m 2 2m 2 + +m 3 +m 2 2 m 2 +m 3 2 m 2 + m 3 +m 2 2 +m 2m 3 2m 2 2 m 2 m 2 m 3 m 2 2 = m 3 = m 2 = m 3 Alterntiver Lösungsweg: Im vollkommen elstischen Fll knn mn sttt der Stoßgleichung 3 uch den Energiestz nwenden: 1 2 v 1 2 kin. Energie vor dem Stoß Auflösen von Gleichung 5 nch v + 1 : = 1 2 v m 2v kin. Energie nch dem Stoß v + 1 = v 1 m 2 v + 2 Setzt mn dies nun in 7 ein, so erhält mn: v1 2 = v1 m 2 2 v 2 + +m 2 v v + 2 [ v + 2 v1 2 = v1 2 2m 2 v 1 v m2 2 v m 2 v m 1 1+ m ] 2 2v1

4 ZÜ 2.4 Die Lösung v + 2 ist keine physiklisch relevnte Lösung, d die Kugel K 2 durch den Stoß nicht in Ruhe bleiben knn. Folglich wird der Klmmerusdruck Null: +m 2 v + 2 = 2v 1 v + 2 = 2v 1 +m 2 Der zweite Stoß knn nlog dzu behndelt werden. Lösung zur Aufgbe 2.2 Der Stoß zwischen den Kugeln K 1 und K 2 knn wie folgt klssifiziert werden: zentrl: Die Stoßnormle geht durch den Schwerpunkt ist bei Kugeln immer erfüllt! Die Richtung der Stoßnormlen und der Geschwindigkeit v 1 unterscheiden sich um den Winkel α.

5 ZÜ 2.5 K 2 S 2 Für die Normlkomponenten der Geschwindigkeiten gelten die Beziehungen des gerden Stoßes: Impulsstz in integrierter Form: + F Kugel 1: m v + 1 N = F1 K 1 F Kugel 2: mv 2 + N v2 N = F 1 S 1 Addition beider Gleichungen ergibt: m v + 1 N +v + 2 N 1 x Eine weitere Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten liefert die Stoßgleichung: B S 3 α α S 2 ǫ = v+ 2 N v 1 + N v2 N v 2 1 N Geschwindigkeiten v 1 v 1 N 2r Für den vollkommen elstischen Fll gilt ǫ = 1. Dmit erhält mn mit 2: unmittelbr vor dem Stoß v1 T S 1 v + 1 N = v + 2 N 3 Setzt mn nun Gleichung 3 in 1 ein, so ergibt sich: S 3 v 2 + N S 2 m v + 2 N +v + 2 N v + 2 N = v 1 N 4 Geschwindigkeiten unmittelbr nch dem Stoß v 1 + T S 1 Setzt mn 4 in 3 ein, so knn mn uch die Geschwindigkeit von Kugel 1 nch dem Stoß in Normlenrichtung berechnen: v + 1 N Die Tngentilkomponente der Geschwindigkeit v 1 bleibt gleich, d es sich um einen gltten Stoß hndelt: v + 1 T = v 1 T Dmit die Kugeln K 1 und K 3 einen zentrlen Stoß Geschwindigkeit geht durch den Schwerpunkt usführen, muss v + 1 T uf den Mittelpunkt S 3 von Kugel K 3 gerichtet sein. Im Augenblick des Stoßes zwischen K 1 und K 2 muss deshlb S 1 so liegen, dss ds Dreieck S 3 S 1 S 2 rechtwinklig ist und v 1 N und v 1 T in Richtung der beiden Ktheten zeigen siehe zweite Skizze.

6 ZÜ 2.6 Den Abstnd x erhält mn z.b. mit dem Kthetenstz: x = 2r 2 x = 4r2 Alterntiver Lösungsweg: Es ist uch möglich, die beiden ähnlichen Dreiecke S 3 S 1 S 2 und S 1 BS 2 zu betrchten: sinα = 2r sinα = x 2r Gleichsetzen liefert: x = 4r2 Lösung zur Aufgbe 2.3 Um die im Lger A uftretenden Krftstöße A x und A y zu berechnen, wird der Impuls- und Drllstz in integrler Form ngewndt vor dem Stoß: Größen mit, nch dem Stoß: Größen mit + : A y A A x Impulsstz in integrierter Form in x-richtung bezüglich Schwerpunkt S ges des Gesmtsystems: +m 2 v +Sgesx v Sgesx = F + A x 1 l 2 y C + y Sges S C x Impulsstz in integrierter Form in y-richtung bezüglich S ges : +m 2 v +Sgesy v Sgesy = A y 2 l 2 r m 2 S B S ges B F Drllstz in integrierter Form um festen Lgerpunkt A: J A zz ω + ω = F l+r 3 Hinweis: D die Stoßkräfte in der Regel wesentlich größer ls die Gewichtskräfte sind, werden die Gewichtskräfte vernchlässigt.

7 ZÜ 2.7 Wenn ds Durchschlgpendel gerde senkrecht hängt, ht der Schwerpunkt S ges weder vor noch nch dem Stoß eine Geschwindigkeit in y-richtung. Nch Gleichung 2 gilt somit immer: A y Es gelten folgende kinemtische Beziehungen: v + S gesx = ω + y Sges v S gesx = ω y Sges 4 Einsetzen von 4 in Gleichung 1 liefert: +m 2 ω + ω y Sges = F + A x mit m 2 = k : 1+k ω + ω y Sges = F + A x 5 Elimintion von F durch Einsetzen von 3 in 5: 1+k ω + ω y Sges = JA zz ω+ ω + A x [ l+r ] A x = 1+k y Sges JA zz ω + ω l+r Dmit uch der Krftstoß im Lger A in x-richtung verschwindet muß folgende Bedingung erfüllt sein l = 6r: [ ] A x = 1+k y Sges JA zz 7r! ω + ω 0! 6 Im llgemeinen Fll ist die Winkelgeschwindigkeit nch dem Stoß ungleich der Winkelgeschwindigkeit vor dem Stoß ω + ω 0. Dmit muss der erste Klmmerusdruck identisch Null sein. Es werden nun noch folgende Größen benötigt: Trägheitsmoment um Punkt A: Jzz A = 1 3 l m 2r 2 +m 2 l+r 2 Stnge Scheibe mit Steinernteil m 2 =km = l kr 2 +k l+r 2 l=6r 1 = 3 36r kr2 +49kr 2 Jzz A = r k 7

8 ZÜ 2.8 Gesmtschwerpunkt y Sges : y Sges = iy im i i m i = l=6r = 3r +7rm 2 +m 2 m y 2 =k 3+7k r Sges = 1+k l 2 +l+r m 2 +m 2 8 Einsetzen von 7 und 8 in den Klmmerusdruck von 6: 1+k 3+7kr 1+k r k 2 7r 3+7k k 98 99k = k = 18 Durch eine geeignete Whl der Geometrie- und Mssenverhältnisse ist es lso möglich, ds Durchschlgpendel so zu konsturieren, dss ds Lger in A keine Krftstöße ufnehmen muss.

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