Zentrale schriftliche Abiturprüfung Mathematik. Leistungskurs

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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrle schriftliche Abiturprüfung 005 Aufgbenstellungen A und A (Whl für Schülerinnen und Schüler) Mthemtik Aufgbenstellungen A3 (siehe Extrbltt) (wird durch die Lehrkrft usgewählt) für Schülerinnen und Schüler Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 4 Zeitstunden Whlthemen Aufgbenstellung A Them/Inhlt: Hinweise: Anlysis II Wählen Sie eine der beiden Aufgben oder zur Berbeitung us Aufgbe Seite Aufgbe Seite 3 Aufgbenstellung A Them/Inhlt: Hinweise: Anlytische Geometrie II/ Linere Algebr Wählen Sie eine der beiden Aufgben oder zur Berbeitung us Aufgbe Seite 4 Aufgbe Seite 5 Seite von 5 Mthemtik 05_M_A_L_A_-pdf

2 Brndenburg Aufgbe (Anlysis II) Gegeben ist die Funktionenschr f mit x f ( x) = x ln ; R, > 0 Die Grphen der Schr f, von denen einige im Bild drgestellt sind, seien G Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Schr f n, berechnen Sie die Nullstellen von f und untersuchen Sie G uf Symmetrie Ermitteln Sie Koordinten und Art lokler Extrempunkte und untersuchen Sie G uf Wendepunkte Geben Sie eine Gleichung der Ortskurve der loklen Tiefpunkte von Zeigen Sie, dss die Funktion Stmmfunktion von Der Grph F mit F ( x) x ln( x ) x f ist G, die x-achse und die Gerde x = = eine Fläche vollständig ein Berechnen Sie deren Flächeninhlt 3 Jeder Grph G besitzt n der Stelle G n schließen im I Qudrnten eine x = e eine Tngente t Ermitteln Sie eine Gleichung für t und entscheiden Sie, ob jede dieser Tngenten mit den Koordintenchsen ein Dreieck begrenzt Begründen Sie Ihre Entscheidung f( x) 4 Es sei h die Funktionenschr mit h ( x) = ; x R, x Einige x Grphen von h begrenzen mit der x-achse und der Gerden x = e eine Fläche vollständig Ermitteln Sie in Abhängigkeit vom Prmeter eine Gleichung zur Berechnung des Volumens des Körpers, der durch Rottion der beschriebenen Fläche um die x-achse entsteht Seite von 5 Mthemtik 05_M_A_L_A_-pdf

3 Brndenburg Aufgbe (Anlysis II) 3 3 x + 3 Gegeben ist die Funktionenschr f mit f ( x) = ; R, > 0 x Ihre Grphen seien G Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Schr f, den Schnittpunkt der Grphen Symmetrie G mit der x-achse und untersuchen Sie G uf Geben Sie die Gleichungen ller Asymptoten (einschließlich Polgerden) der Funktionenschr n Zeigen Sie, dss es in keinem Punkt von G eine Tngente n G gibt, die prllel zur schiefen Asymptote des Grphen verläuft Ermitteln Sie Koordinten und Art lokler Extrempunkte von G und beschreiben Sie den Einfluss des Prmeters uf die Lge der Extrempunkte Begründen Sie, dss G keine Wendepunkte besitzt 3 Die Grphen G mit > sowie die Gerden x = und y = 6 schließen jeweils 4 im I Qudrnten eine Fläche vollständig ein Vernschulichen Sie m Beispiel von G eine solche Fläche in einem geeigneten Koordintensystem Ermitteln Sie den Inhlt der beschriebenen Fläche in Abhängigkeit vom Prmeter 4 Der Grph G, die x-achse sowie die Gerden x = und x = 4 schließen eine Fläche vollständig ein Berechnen Sie ds Volumen des Körpers, der durch Rottion dieser Fläche um die x-achse entsteht Seite 3 von 5 Mthemtik 05_M_A_L_A_-pdf

4 Brndenburg Aufgbe (Anlytische Geometrie II / Linere Algebr) Gegeben sind die Punkte A( ), Bk ( + k 4), Ck ( + k ) und P k ( k 4 + k), k R Für jedes k R bestimmen die Punkte A, Bk und Ck eine Ebene E k Die Punkte A, B und C sind in der Ebene E die Eckpunkte eines Dreiecks Geben Sie für die Ebene E je eine Prmeter- und Koordintengleichung n Zeigen Sie, dss der Winkel C AB im Dreieck A B C ein rechter Winkel ist Berechnen Sie den Flächeninhlt des Dreiecks A B C k r Zeigen Sie, dss der Vektor n k = ein Normlenvektor der Ebenenschr k und geben Sie eine Koordintengleichung der Ebenenschr E k n E k ist Für jedes k R existiert ein Dreieck A B k Ck Prüfen Sie, ob eines dieser Dreiecke gleichzeitig rechtwinklig und gleichschenklig bezüglich der Bsis B kck ist Untersuchen Sie, ob es unter den Dreiecken A B k Ck gleichseitige Dreiecke gibt 3 Die Punkte A, B, C und P seien die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyrmide mit der Grundfläche A B C Berechnen Sie die Höhe h und ds Volumen dieser Pyrmide Zeigen Sie, dss die Punkte A, B k, Ck und P k für jedes k R Eckpunkte einer dreiseitigen Pyrmide mit der Grundfläche A B k Ck sind Bestimmen Sie deren Höhe h k in Abhängigkeit von k Weisen Sie nch, dss mindestens zwei verschiedene k R existieren, für welche die dreiseitige Pyrmide A B C P die Höhe h k = LE besitzt k k k Seite 4 von 5 Mthemtik 05_M_A_L_A_-pdf

5 Brndenburg Aufgbe (Anlytische Geometrie II / Linere Algebr) Gegeben sind der Punkt P ( 0 5 0), die Ebenenschr E mit der Gleichung ( 5 4) x + (8 6) y + ( 6) z = 6 4 ; R sowie die Gerde g mit der Gleichung 6 r x = 5 + t 0 ; t R und die Gerde h mit der Gleichung r x = + s ; s R 4 Geben Sie je eine Prmeter- und Koordintengleichung der Ebene H n, die den Punkt P und die Gerde h enthält Zeigen Sie, dss diese Ebene H mit der Ebene E der Schr E übereinstimmt Berechnen Sie die Koordinten des Schnittpunktes S der Gerden g und der Ebene E Berechnen Sie den Abstnd der beiden Gerden g und h Bestimmen Sie den Prmeterwert zueinnder orthogonl sind R, für den die beiden Ebenen E und E Ermitteln Sie die Größe des Schnittwinkels α der Ebenen E 0 und E und geben Sie eine Gleichung ihrer Schnittgerden g s n 3 Zeigen Sie, dss die Gerde k: der Schr E liegt 0 8 x r = + u 7 ; u R in llen Ebenen 8 Ermitteln Sie eine Gleichung einer Ebene Die Ebene E 0 wird durch Spiegelung n der Ebene E in der Schr E, für die gilt: E in die Ebene E überführt Seite 5 von 5 Mthemtik 05_M_A_L_A_-pdf

6 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrle schriftliche Abiturprüfung 005 Aufgbenstellung A3 (Whl für Lehrkräfte) Them/Inhlt: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Mthemtik Stochstik II für Schülerinnen und Schüler Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 4 Zeitstunden Seite von Mthemtik 05_M_A_L_A3_-pdf

7 Brndenburg Aufgbe 3 % der Deutschen lesen mehrmls pro Woche Bücher und werden dher ls "Lesertten" bezeichnet 3 Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Unter fünf zufällig usgewählten Personen befinden sich genu zwei Personen der Gruppe der "Lesertten" B: Von fünf zufällig usgewählten Personen ordnen sich mindestens zwei Personen der Gruppe jener zu, die keine "Lesertten" sind C: Von 000 zufällig usgewählten Personen gehören mindestens 47, ber höchstens 454 Personen zur Gruppe der "Lesertten" 3 Wie viele Personen müssten mindestens befrgt werden, um mit einer Mindestwhrscheinlichkeit von 0,955 wenigstens eine "Lesertte" zu entdecken? 3 Die Bücher eines Verlegers werden uf Mschinen gedruckt, von denen beknnt ist, dss 4 % der Exemplre Frbfehler ufweisen Druckerei und Verleger hben sich uf ein Prüfverfhren zur Feststellung von Frbfehlern geeinigt, ds 98 % der Bücher mit Frbfehlern und 99 % der Bücher ohne Frbfehler korrekt erkennt Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: D: Ein Buch wird dem Prüfungsverfhren unterzogen und ls Buch mit Frbfehlern eingestuft E: Ein mit Frbfehlern eingestuftes Buch ht ttsächlich Frbfehler G: Ein ohne Frbfehler eingestuftes Buch weist trotzdem Frbfehler uf 33 Ds Mngement eines beliebten Buchutors orgnisiert in einer Stdt des Lndes Brndenburg eine Lesung seines ktuellen Bestsellers Dzu wird ein Sl mit einer Kpzität von 300 Plätzen ngemietet Lngfristige Beobchtungen zeigen, dss 5 % der bestellten Krten nicht bgeholt werden Deshlb lässt der Mnger mehr Krtenreservierungen nnehmen ls Plätze vorhnden sind Berechnen Sie, wie viele Bestellungen höchstens kzeptiert werden dürfen, dmit ds Pltzngebot bei dieser Buchlesung mit einer Whrscheinlichkeit von mindestens 0,95 usreicht Seite von Mthemtik 05_M_A_L_A3_-pdf

8 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrle schriftliche Abiturprüfung 005 Aufgbenstellung A3 (Whl für Lehrkräfte) Them/Inhlt: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Mthemtik Anlysis III für Schülerinnen und Schüler Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 4 Zeitstunden Seite von Mthemtik 05_M_A_L_A3_-pdf

9 Brndenburg Aufgbe Gegeben ist die Funktionenschr f mit Die Grphen dieser Schr seien G x + f ( x) = x e ; x R ; R, 0 3 Berechnen Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie Koordinten und Art lokler Extrempunkte von G Ermitteln Sie eine Gleichung der Kurve, uf der lle zur Schr loklen Hochpunkte liegen G gehörenden Untersuchen Sie f uf mögliche Wendestellen (Auf den Nchweis der Existenz der möglichen Wendestellen knn verzichtet werden) 3 Weisen Sie nch, dss die Tngenten n G im Punkt Schr prlleler Gerden bilden 3 3 P e eine 33 Der zum Grphen G gehörende Punkt Q ( ) u f u mit u > 0, 6 6 der Koordintenursprung O sowie der Punkt P ( u 0) sind die Eckpunkte eines Dreiecks OPQ Ermitteln Sie u so, dss der Flächeninhlt des Dreiecks OPQ mximl wird 34 Die Grphen G begrenzen für > 0 mit der Ursprungsgerden durch den Punkt e R im I Qudrnten eine Fläche vollständig Berechnen Sie deren Flächeninhlt in Abhängigkeit von Seite von Mthemtik 05_M_A_L_A3_-pdf

10 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrle schriftliche Abiturprüfung 005 Aufgbenstellung A33 (Whl für Lehrkräfte) Them/Inhlt: Hilfsmittel: Gesmtberbeitungszeit: Mthemtik für Schülerinnen und Schüler Anlytische Geometrie III / Linere Algebr Nchschlgewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprche, nicht progrmmierbrer und nicht grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführtes Tfelwerk/ Formelsmmlung 4 Zeitstunden Seite von Mthemtik 05_M_A_L_A33_-pdf

11 Brndenburg Aufgbe Gegeben sind drei Punkte A( 0 3 3), B (4 ) und C (0 3 3), die uf der Ebene E liegen sowie die Punkteschr S k ( 4 + k 4 7 k) ; k R 33 Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normlenform Zeigen Sie, dss sich ds Dreieck ABC durch einen vierten Punkt D zu einem Qudrt ABCD ergänzen lässt und bestimmen Sie die Koordinten dieses Punktes D Der Punkt S k soll nun ls Spitze einer Pyrmide mit der qudrtischen Grundfläche ABCD ufgefsst werden Berechnen Sie ein k R, für ds der Körper ABCDS k eine gerde Pyrmide drstellt Beweisen Sie, dss lle Pyrmiden ABCDS k volumengleich sind und ermitteln Sie ds entsprechende Volumen V 33 Ermitteln Sie eine Koordintengleichung der Ebenenschr E k, in der lle Seitenflächen ABS der Pyrmide ABCDS k gemäß Teilufgbe 33 liegen k Berechnen Sie die Größe des Winkels α, den die Grundfläche ABCD und die Seitenfläche ABS 3 miteinnder einschließen 333 Im Innern der gerden Pyrmide ABCDS 3 gemäß Teilufgbe 33 soll nunmehr eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M und dem Rdius r so pltziert werden, dss die Kugel K lle Seitenflächen und die Grundfläche der Pyrmide ABCDS 3 berührt Beschreiben Sie die Lge des Mittelpunktes M und berechnen Sie den Rdius r dieser Kugel Seite von Mthemtik 05_M_A_L_A33_-pdf