Inhaltsverzeichnis. Vorwort. Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik

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1 Nchtermin 2003/04 1 Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfch Mthemtik Inhltsverzeichnis Vorwort... 1 Mteril für den Prüfungsteilnehmer... 2 Allgemeine Arbeitshinweise 2 Prüfungsinhlt... 2 Pflichtufgben... 2 Teil A: Anlysis... 2 Teil B: Geometrie /Algebr... 3 Teil C: Stochstik 3 Teil D: Whlufgben 4 Aufgbe D 1: Anlysis 4 Aufgbe D 2: Geometrie / Algebr... 5 Lösungsvorschläge... 6 Teil A... 6 Teil B... 6 Teil C... 9 Teil D Teil D Vorwort Aus rechtlichen Gründen möchte ich Sie druf hinweisen, dss Sie sich uf einer privten Seite befinden. Insbesondere ist dies kein Produkt des Sächsischen Sttsministeriums für Kultus, welches die Abiturufgben entwickelt. Dies ist die Abschrift der Prüfungsufgben 2004, wie sie vom Sächsischen Sttsministeriums für Kultus uf dem Sächsischen Schulserver ( veröffentlicht wurden. Außerdem sollten Sie folgendes wissen: Lösungen der Aufgben können uf unterschiedlichen Wegen erreicht werden. Hier finden Sie VORSCHLÄGE zur Lösung und VORSCHLÄGE zur Bewertung, die nicht für die Bewertung Ihres Abiturs herngezogen werden können. Dfür ist jeder prüfende Fchlehrer verntwortlich. Ich hbe versucht, den grphikfähigen Tschenrechner (GTR hier TI 82/83/83+) besonders häufig einzusetzen. Dmit sollen Möglichkeiten ufgezeigt werden, uch wenn eine Rechnung vielleicht schneller zum Ziel führen würde. Eingesetzte Progrmme finden Sie uf den Mthe-Seiten des sächsischen Schulservers unter dokumentiert und nhnd von vielen Beispielen erklärt. Insbesondere möchte ich uf eine zusmmenfssende Broschüre zu diesem Them verweisen: Die offiziellen Abiturufgben werden nch Beendigung der Prüfungsphse uf dem Sächsischen Schulserver veröffentlicht. Für Nchfrgen und Ihre Hinweise stehe ich Ihnen gerne zur Verfügung: F. Müller (mthe@oskr- reime-gymnsium.de) Mthe-Lehrer. Dieses Dokument wurde zuletzt ktulisiert m Wenn Sie Fehler finden oder Ergänzungen hben, teilen Sie mir ds bitte mit.

2 Nchtermin 2003/04 2 Mteril für den Prüfungsteilnehmer Allgemeine Arbeitshinweise Ihre Arbeitszeit (einschließlich der Zeit für ds Lesen der Aufgbentexte und der Zeit für die Auswhl der Whlufgbe) beträgt 240 Minuten. Auf dem Deckbltt der Arbeit hben Sie den verwendeten GTR-Typ nzugeben. Die Prüfungsrbeit besteht us den zu berbeitenden Pflichtteilen A, B und C sowie dem Whlteil D. Es sind lle Aufgben der Pflichtteile zu berbeiten. Aus dem Teil D ist genu eine der beiden Aufgben zu berbeiten. Der Lösungsweg mit Begründungen, Nebenrechnungen und (bei Konstruktionen) Hilfslinien muss deutlich erkennbr in gut lesbrer Form drgestellt werden. Bei Verwendung von GTR-Progrmmen ist nzugeben, us welchen Eingbedten ds Progrmm welche Ausgbendten berechnet. Insgesmt sind 60 Bewertungseinheiten (BE) erreichbr, dvon im Teil A 25 BE, im Teil B 15 BE, im Teil C 10 BE, im Teil D 10 BE. Erlubte Hilfsmittel: 1 Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung 1 grfikfähiger, progrmmierbrer Tschenrechner (GTR) ohne Computer-Algebr-System 1 Tbellen- und Formelsmmlung ohne usführliche Musterbeispiele (im Unterricht eingeführt) Zeichengeräte beiliegende Mterilien für Aufgben zur Stochstik 1 Bewertungsmßstb Pkte BE Prüfungsinhlt Pflichtufgben Teil A: Anlysis Gegeben sind die Funktionen f und F durch f(x) = (x + 1)² e 1-x (x R) und F(x)=-e 1-x (x² + 4x + 5) (x R). ) Geben Sie von der Funktion f die Nullstelle, die Koordinten der loklen Extrempunkte und deren Art sowie die Koordinten der Wendepunkte n. Weisen Sie rechnerisch nch, dss für lle x R gilt: 2 f(x) + F(x) + f'(x) = -2 e 1-x. Jede Gerde y = c (c R, c 0) ht mit dem Grphen der Funktion f gemeinsme Punkte. Geben Sie die Anzhl der gemeinsmen Punkte in Abhängigkeit von c n. Erreichbre BE-Anzhl: 10 1 Diese werden hier nicht wiedergegeben. Sie enthlten zumeist eine Tbelle zur Verteilungsfunktion der Stndrdnormlverteilung. Mnchml eine Tbelle zur Summenfunktion der Binomilverteilung. Beides knn durch Verwendung des GTR leicht ersetzt werden. Die Tbellen finden Sie im Inhlt der Online-Ausgbe dieses Textes

3 Nchtermin 2003/04 3 b) Die Tngente n den Grphen der Funktion f in dem Punkt P(2 f(2)) schneidet die x-achse im Punkt Q und die y-achse im Punkt R. Berechnen Sie den Flächeninhlt des Dreiecks OQR (O ist der Koordintenursprung). Erreichbre BE-Anzhl: 3 c) Gegeben ist die Funktion g durch g(x) = e 1-x (x R). Weisen Sie rechnerisch nch, dss sich die Grphen der Funktionen f und g in genu 2 Punkten schneiden. Geben Sie die Koordinten der Schnittpunkte n. Für jedes u (u R, u > 0) schneidet die Gerde mit der Gleichung x = u den Grphen der Funktion f im Punkt M u und den Grphen der Funktion g im Punkt N u. Es existiert genu ein Wert u, für den die Länge der Strecke M u N u mximl wird. Ermitteln Sie diese mximle Streckenlänge. Erreichbre BE-Anzhl: 5 d) Weisen Sie nch, dss die Funktion F eine Stmmfunktion der Funktion f ist. Für jedes ( R, > 0) begrenzen der Grph der Funktion f, die Koordintenchsen und die Gerde mit der Gleichung x = eine Fläche vollständig. Geben Sie für = 3,5 den Inhlt dieser Fläche n. Untersuchen Sie, ob ein Wert existiert, für den der Inhlt der Fläche 5e beträgt. Erreichbre BE-Anzhl: 7 Teil B: Geometrie /Algebr In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A(5-2 -3), B(2 2-3), C( ), D( ) und F(2 2 2) gegeben. ) Weisen Sie rechnerisch nch, dss ds Viereck ABCD ein Rechteck ist. Erreichbre BE-Anzhl: 3 b) Die Punkte A, B, C, D und F sind Eckpunkte eines Quders ABCDEFGH. Geben Sie die Koordinten der fehlenden Eckpunkte des Quders n. Berechnen Sie ds Volumen dieses Quders. Stellen Sie diesen Quder in einem krtesischen Koordintensystem dr. Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen der Rumdigonlen DF und der Flächendigonlen DB. Erreichbre BE-Anzhl: 6 Die Quderknte BF und der Mittelpunkt der Strecke CD liegen in der Ebene E. c) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in llgemeiner Form. Begründen Sie, dss die Ebene E prllel zur z-koordintenchse liegt. Erreichbre BE-Anzhl: 3 d) Die Ebene E zerschneidet den Quder ABCDEFGH in zwei Teilkörper. Begründen Sie, dss ds Verhältnis der Volumen der beiden entstehenden Teilkörper 1:3 beträgt. Berechnen Sie den Flächeninhlt der Schnittfläche. Erreichbre BE-Anzhl: 3 Teil C: Stochstik Felix ht ein Buchstbenlegespiel erhlten. In einem Säckchen befinden sich 16 gleichrtige Spielsteine. Auf jedem ist genu ein Buchstbe ufgedruckt, uf sieben Steinen der Buchstbe A, uf vier der Buchstbe L, uf drei der Buchstbe T und uf zwei der Buchstbe R. Felix probiert verschiedene Spielvrinten us. ) Bei der ersten Spielvrinte zieht Felix ohne Zurücklegen drei Steine. Er legt diese, die ufgedruckten Buchstben lesbr, von links beginnend uf den Tisch. Geben Sie die Whrscheinlichkeiten dfür n, dss die gezogenen Buchstben ds Wort "RAT" bzw. ds Wort "AAL" ergeben. Erreichbre BE-Anzhl: 2 b) Bei der zweiten Spielvrinte zieht Felix mit einem Griff drei Steine. Geben Sie die Whrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse n: Ereignis A: Auf genu einem der gezogenen Steine steht der Buchstbe A.

4 Nchtermin 2003/04 4 Ereignis B: Auf mindestens zwei der gezogenen Steine steht ein Konsonnt. Ereignis C: Auf höchstens zwei der gezogenen Steine steht der Buchstbe R. Erreichbre BE-Anzhl: 3 c) Nun zieht Felix einen Spielstein, schut sich den ufgedruckten Buchstben n und legt ihn wieder in ds Säckchen. Diesen Vorgng wiederholt er beliebig oft. Ermitteln Sie, wie viele Steine Felix mindestens ziehen muss, um mit einer Whrscheinlichkeit von mehr ls 95% mindestens einen Stein mit dem Buchstben A zu erhlten. Erreichbre BE-Anzhl: 2 d) Bei einer weiteren Spielvrinte gibt Felix noch zusätzlich 4 Spielsteine mit dem ufgedruckten Buchstben E in ds Säckchen. Er zieht einen Stein, notiert sich den Buchstben und legt den Stein dnch wieder in ds Säckchen zurück. Dies führt er insgesmt fünfml durch. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: Ereignis D: Es wurde höchstens zweiml der Buchstbe L notiert. Ereignis E: Aus den notierten Buchstben knn mn ds Wort "TALER" bilden. Erreichbre BE-Anzhl: 3 Teil D: Whlufgben Wählen Sie genu eine der folgenden Aufgben zur Berbeitung us. Aufgbe D 1: Anlysis Gegeben ist die Funktion f durch f x =x 3 3 x 1 (x D f). ) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion f n. Erreichbre BE-Anzhl: 2 b) Die beiden Teile des Grphen der Funktion f können durch Drehung ineinnder überführt werden. Beschreiben Sie eine Möglichkeit, die Koordinten des Drehzentrums Z zu ermitteln. Geben Sie die Koordinten des Punktes Z n. Erreichbre BE-Anzhl: 3 c) Eine Prllele zur x-achse schneidet den Grphen der Funktion f in den Punkten A und B mit AB= 13. Eine weitere Prllele zur x-achse schneidet den Grphen der Funktion f in den Punkten C und D. A, B, C und D sind die Eckpunkte eines Prllelogrmms. Berechnen Sie den Flächeninhlt dieses Prllelogrmms. Erreichbre BE-Anzhl: 5 Aufgbe D 2: Geometrie / Algebr In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A(1-3), B(6-3), C(5 1) und D(2 1) gegeben. ) Weisen Sie rechnerisch nch, dss die Punkte A, B, C und D Eckpunkte eines gleichschenkligen Trpezes sind. Berechnen Sie den Flächeninhlt des Trpezes. Erreichbre BE-Anzhl: 3 b) Außer dem Punkt D gibt es genu einen weiteren Punkt P, für den ds Viereck ABCP ein gleichschenkliges Trpez, ber kein Prllelogrmm ist. Geben Sie Bedingungen n, die gemeinsm die Lge des Punktes P eindeutig festlegen. Berechnen Sie die Koordinten des Punktes P. Erreichbre BE-Anzhl: 4 c) Dem Trpez ABCD sei ein Qudrt so einbeschrieben, dss zwei Eckpunkte des Qudrts uf der Seite AB des Trpezes und die nderen Eckpunkte des Qudrts uf den Schenkeln des Trpezes liegen. Ermitteln Sie die Seitenlänge des Qudrts. Erreichbre BE-Anzhl: 3

5 Nchtermin 2003/04 5 Lösungsvorschläge Teil A ) Nullstelle: x 0 = -1 Koordinten der Extrempunkte: P 1 (-1 0); P 2 (1 4) Art der Extrem Wendestellen Koordinten der Wendepunkte: P W1 (-0,41 1,41); P W2 (2,41 2,83) 1. Ableitung der Funktion f: f ' x = 1 x 2 e 1 x Anstz für Nchweis: 2 f(x) + F(x) + f'(x) = -2 e 1-x Nchweis f(x) = c wie us Skizze hervorgeht, können zwischen 1 und 3 Schnittpunkte uftreten; 1 Schnittpunkt c > 4 bzw. c = 0 (x-achse ist Asymptote) 2 Schnittpunkt c = 4 3 Schnittpunkt 0 < c < 4 Aussge zu einem Fll der Lgebeziehung Aussge zu llen Fällen der Lgebeziehung b) Gleichung der Tngente: t x = 3 e x 15 e Anstz für Flächeninhlt: A = ½ x 0 t(0) mit t(x 0 ) = 0 Flächeninhlt: A= 75 2 e 1 13,80 10 BE c) Anstz für Nchweis: f(x) = g(x) Nchweis: f(x) g(x) = 0 = x (x + 2) e 1-x ht genu 2 Lösungen; entweder wird der erste oder zweite Fktor null; der dritte wird es nie Koordinten der Schnittpunkte: S 1 (-2 e³); S 2 (0 e) Zielfunktion: d(u) = f(u) g(u) GTR: solve(f(x) g(x),x,3) 2 d( 2) Mximle Streckenlänge: N u M umx 3,19 5 BE d) Anstz für Nchweis der Stmmfunktion: F'(x) = f(x) Nchweis Inhlt der Fläche für = 3,5; A 11,03 Anstz für Fläche: f x dx=5e 0 Umwndlung zur Nullstellenberechnung mit GTR: f x dx 5e=0 0 GTR: solve(fnint(f(x),x,0,a)-5e^1,a,15) (nch sehr lnger Rechenzeit und ds sollte einen Verdcht wecken) solve(fnint(f(x),x,0,a)-5e^1,a,30) 35,45 (mit TI82) Flächeninhlt in Abhängigkeit von : f x dx=5e e =5e 0 Anstz zur Untersuchung: 0=e

6 Nchtermin 2003/04 6 ht nur für einen Sinn 2 lim e =0 Schlussfolgerung: im Bereich der reellen Zhlen existiert kein Wert für 7 BE 25 BE Teil B ) zb.: AB= DC und AB = AD und AB AD=0 oder Digonlen sind gleich lng, senkrecht und hlbieren einnder 3 oder lle Seiten sind gleich lng und ein Winkel ist 90 Anstz für Seitennchweis Seitennchweis Winkelnchweis b) Stellt sich die Frge, zu welchem Eckpunkt gehört F? Aus der Beschriftung folgt B; ufgrund der besonderen Lge der Grundfläche des Quders ist uch uf B zu schließen; würde der Quder schräg liegen, könnte der GTR helfen: zb.: pgmgeometri <Abstände> <Punkt-Ebene> und Eingbe von F, E ABC Lotfußpunkt L (2 2-3) = B Koordinten der fehlenden Punkte: E(5-2 2), G(-6-4 2), H( ) Anstz für Volumen Volumen: V=250 zeichnerische Drstellung Anstz für Winkel Größe des Winkels: α 24,1 c) Koordinten für M CD : = (-4,5-6 -3) = M 1 GTR: prgmgeometrie <Ebene> <Dreipunkt> und Eingbe von M 1, B, F Gleichung der Ebene ε: 16x 13y = -6 Begründung: z R d) Begründung die Ebene schneidet ein gerdes Prism us dem Quder; sei die Kntenlänge des Quders so gilt V Quder = ³ und V Prism = (½ ½²) = ¼³; der Restkörper ht dnn ds Volumen V Rest = ¾³ 1:3 Anstz für Flächeninhlt: A = ( (½)² + ²) Flächeninhlt: A= Teil C 6 BE 15 BE ) Whrscheinlichkeit für RAT : p = 0,0125 Whrscheinlichkeit für AAL : p = 0,05 2 BE b) Whrscheinlichkeit P(A): P(A) = 0,45 Whrscheinlichkeit P(B): P(B) = 0,6 Whrscheinlichkeit P(C): P(C) = 1 c) Anstz: n Anzhl der Züge bis zum ersten Auftreten von A; 1 (1 P(A)) n > 95% Anzhl der Ziehungen: mindestens 6 2 BE d) Whrscheinlichkeit P(D): P(D) 0,9421 Anstz für Whrscheinlichkeit P(E) Whrscheinlichkeit P(E): P(E) 0, BE 2 Und d sieht mn ml wieder, dss der GTR nicht immer mthemtisch sinnvolle Lösungen nzeigt. 3 Es sind immer drei Eigenschften nchzuweisen.

7 Nchtermin 2003/04 7 Teil D1 ) größtmöglicher Definitionsbereich: D f = {x x R und x -1} Nullstellen: x 01 = -2; x 02 = 0 2 BE b) vollständige Beschreibung (2 BE): ls Zentrum dient der Schnittpunkt der beiden Asymptoten x = 1 und y = x + 3 y = = 4 Koordinten des Drehzentrums: Z(1 4) c) Wie in der Skizze ersichtlich, ist die Breite des Prllelogrmms fest: 13; die Höhe h muss mn erst ermitteln; der Flächeninhlt ist dnn A = h 13. Um den x-wert von A zu bestimmen, entnimmt mn der Aufgbe: f(x A ) = f(x A + 13). Löst mn diese Gleichung erhält mn zwei Möglichkeiten: x A1 = und x A 2 = ; dbei gehört x A1 zu Punkt C. Die Höhen berechnet mn mit f(x C ) = -1 und f(x A ) = 9; h = 10. Anstz Differenz der Schnittstellen Qudrtische Gleichung Abstnd der prllelen Gerden Flächeninhlt: A = Teil D2 ) Nchweis für Trpez: AB= 5 3 CD => die Seiten sind prllel 4 lso ist es ein Trpez Nchweis der Gleichschenkligkeit: BC = AD Flächeninhlt: A = 16 wegen A= 1 AB 2 AC b) Angbe der Bedingungen: I: OP= OA r BC ; wegen AP BC mit r R und 5 r -2 < 1-3 II: CP= AB I in II -> III: CA r BC = AB III': 4 r 1 4 =5 (-4 r)² + (-4 + 4r)² = 25 r= 7 17 Gleichung der Gerden der prllelen Trpezseite Anstz für die Koordinten des Punktes P Koordinten des Punktes P: P y P A D oder r = 1 (entfällt) C B 5 BE 10 BE x 4 BE 4 ber nicht gleich lng 5 für r = 1 ergibt sich wieder ds Prllelogrmm

8 Nchtermin 2003/04 8 c) z. B.: Anwendung des Strhlenstzes Kntenlänge des Qudrtes I: BF BM = FC SM 1 2,5 = 4 SM =10 SM II: SE SA = 5 III: SM = AE SA IV: AE=SA SE I und IV in III III': 10 = SA SE SE =1 SA SA II in III': 10 =1 5 =10 3 Anstz für Seitenlänge des Qudrts (2 BE) Seitenlänge des Qudrts: 10/3 10 BE y A D E S M F C B x