Aufgabensammlung der höheren Mathematik

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1 Aufgbensmmlung der höheren Mthemtik von Vsili P. Minorski 5., ktulisierte Auflge Hnser München 2008 Verlg C.H. Beck im Internet: ISBN Zu Inhltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

2 Leseprobe Vsili P. Minorski Aufgbensmmlung der höheren Mthemtik ISBN: Weitere Informtionen oder Bestellungen unter sowie im Buchhndel. Crl Hnser Verlg, München

3 3 Vektorrechnung, Anlytische Geometrie 3. Drstellung von und Rechnen mit Vektoren im R 3 Im räumlichen krtesischen Koordintensystem (rechtwinkliges x, y, z-system) wird ein Vektor mit Hilfe der Einheitsvektoren e, e 2, e 3 in der Form = e + e e 3 (3.) drgestellt. Dbei sind,, 3 die sklren Komponenten (oder Koordinten) des Vektors, e, e 2, 3 e 3 die vektoriellen Komponenten des Vektors. Üblich ist uch die Drstellung eines Vektors durch Angbe seiner sklren Komponenten in Spltenform oder uch in Zeilenform mit dem Trnspositionszeichen T : = =(,, 3 ) T (3.2) 3 o =(0, 0, 0) T ist der Nullvektor (3.3) Die Vektoren e, e 2, e 3 von der Länge weisen in die positive Richtung der x- bzw. y- bzw. z-achse. = Betrg (Länge) des Vektors (3.4) r = OP =(x, y, z) T Ortsvektor zum Punkt P (x; y; z) mit dem Angriffspunkt im Koordintenursprung (3.5) Sind α, β, γ die Winkel zwischen dem Ortsvektor r =(x, y, z) T und der positiven x- bzw. y- bzw. z-achse, so erhält mn ihre Richtungskosinus zu cos α = x r, cos β = y r, cos γ = z r (3.6) Drus folgt: cos 2 α +cos 2 β +cos 2 γ = (3.7)

4 3. Drstellung von und Rechnen mit Vektoren im R 3 35 z e e 3 γ Oα β P e 2 y x Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr λ R λ = λ( e + e e 3 )=λ e + λ e 2 + λ 3 e 3 = λ 3 = λ(,, 3 ) T =(λ,λ,λ 3 ) T (3.8) 0 = Einheitsvektor zu mit 0 (3.9) Addition zweier Vektoren: + b = s s b + b b 2 = + b + b 2 = s s 2 (3.0) 3 b b 3 s 3 + b = b + (Kommuttivgesetz) (3.) ( + b)+c = +(b + c) (Assozitivgesetz) (3.2) + o = (o Nullvektor) (3.3) λ = λ λ R (3.4) (λ + μ) = λ + μ λ, μ R (3.5) λ( + b) =λ + λb λ R (3.6) + b + b (Dreiecksungleichung) (3.7)

5 36 3 Vektorrechnung, Anlytische Geometrie Subtrktion zweier Vektoren: b = d d b b b b 2 = b b 2 = d d 2 (3.8) 3 b 3 3 b 3 d 3 d = +( b) (3.9) Den Verbindungsvektor, dervom Punkt P (x,y,z ) zum Punkt P 2 (x 2,y 2,z 2 ) zeigt, erhält mn in der Form O r P = x 2 x y 2 y (3.20) P 2 z 2 z r 2 Dieser Verbindungsvektor wird uch mit P P 2 bezeichnet: = P P 2.. Berechne 0, b 0, + b, b, b, 2 +3b für =( 3, 2, ) T und b =5e 3e 2 +2e 3. Bestätige für + b und für 2 +3b die Dreiecksungleichung. 2. Berechne die sklren Komponenten des Vektors, wenn = AB + CD ist und A(0;0;),B(3;2;),C(4;6;5) und D(;6;3). 3. Berechne den Betrg des Vektors = λe +(λ +)e 2 + λ(λ +)e Berechne die Länge des Vektors = (20, 30, 60) T und seine Richtungskosinus. Kontrolliere: cos 2 α +cos 2 β +cos 2 γ = 5. Gegeben ist ein Dreieck ABC mit A(;2;3),B(3;2;) und C(;4;). Zeige, dss dieses Dreieck gleichseitig ist. 6. Der Ortsvektor des Punktes P bildet mit der y-achse einen Winkel von 60 und mit der z-achse einen Winkel von 45 ; sein Betrg ist gleich 8. Berechne die Koordinten des Punktes P, wenn seine x-koordinte negtiv ist. 7. Von einem Prllelogrmm ABCD sind drei Eckpunkte A(3; 4; 7), B( 5; 3; 2) und C(; 2; 3) gegeben. )Bestimme den vierten Eckpunkt D, der dem Punkt B gegenüber liegt. b)gib die beiden Digonlvektoren n und berechneihrelänge. 8. Der Vektor x ht den Betrg x = 5 6 und die Richtung der

6 3.2 Sklrprodukt, Vektorprodukt, Sptprodukt 37 Hlbierenden des Winkels zwischen den Vektoren =(7, 4, 4) T und b =( 2,, 2) T. Bestimme x. Hinweis: Die Rhombuswinkel werden von ihren Digonlen hlbiert. 9. r A, r B, r C seien die den Eckpunkten entsprechenden Ortsvektoren des Dreiecks ABC. Bestimme dmit den Ortsvektor r S des Dreiecksschwerpunktes S. Berechne den Dreiecksschwerpunkt, wenn A(2;3;4),B(3;;2) und C(4; ; 3) gegeben sind. 0. Gegeben sind die Punkte A(3;3;3) und B( ; 5; 7). Bestimme die Punkte C und D, die die Strecke AB in drei gleiche Teile teilen.. Im Dreieck ABC liegt ein Punkt P uf der Seite BC so, dss BP : PC = λ : gilt. Gib den Verbindungsvektor v von A nch P n, wenn AC = b und AB = c ist. 2. Bestimme den Punkt P der x-achse, der von den Punkten A(2; 4; 5) und B( 3; 2; 7) den gleichen Abstnd besitzt. 3. Gegeben ist ds Dreieck ABC mit A(;;), B(2, ; 0) und C(;2;3). Berechne ) die Längen der Seiten, c, b des Dreiecks. b) die Mittelpunkte M,M b,m c der Dreieckseiten. c) den Vektor m von A nch M sowie m. 4. Welcher Punkt der x, y-ebene ht von den Punkten A(; ; 5), B(3;4;4)und C(4;6;)gleichen Abstnd? 3.2 Sklrprodukt, Vektorprodukt, Sptprodukt Sklrprodukt b = b cos ϕ, 0 ϕ π (3.2) ϕ ist der von und b eingeschlossene Winkel, ϕ = (, b) b = b = b + b b 3 (3.22) 3 b 2 b 3 cos ϕ = b b = b + b b b 2 + b b2 3 (3.23) b = b (Kommuttivgesetz) (3.24) (b + c) = b + c (Distributivgesetz) (3.25) o =0 (3.26) λ( b) =(λ) b = (λb), λ R (3.27) = = 2 (3.28)