Abiturvorbereitung Mathematik Lineare Algebra / Analytische Geometrie. Copyright 2013 Ralph Werner

Transkript

2 Linere Gleichungssysteme Ein lineres Gleichungssystem (LGS) besteht us einer Anzhl linerer Gleichungen. (m,n)-lgs in Normlform 11 x x n x n = b 1 21 x x n x n = b 2 m1 x 1 + m2 x mn x n = b m Äquivlenzumformungen: (1) Vertuschen von 2 Gleichungen (2) Multipliktion einer Gleichung mit einer reellen Zhl 0 (3) Addition (Subtrktion) einer Gleichung zu (von) einer nderen Anzhl der Lösungen: Es können drei Fälle uftreten: Fll 1: Ds LGS ist unlösbr Fll 2: Ds LGS ht genu eine Lösung Fll 3: Ds LGS ht unendlich viele Lösungen 2

3 Linere Gleichungssysteme Gußsches Elimintionsverfhren Algorithmus zum Lösen von lineren Gleichungssystemen durch Anwendung von Äquivlenzumformungen Schritt 1 (3,3)-LGS in Normlform 11 x x x 3 = b 1 21 x x x 3 = b 2 31 x x x 3 = b 3 Äquivlenzumformungen (3,3)-LGS in Stufenform 11 x x x 3 = b 1 22 x x 3 = b 2 33 x 3 = b 3 Schritt 2 Rückwärtseinsetzen: Ausgehend von der letzten Zeile werden die Vriblen usgerechnet und in die drüber liegende Zeile eingesetzt x 3 => x 2 => x 1 L = {x 1 x 2 x 3 } 3

4 Linere Gleichungssysteme Guß-Jordn-Algorithmus Erweiterung des Gußschen Elimintionsverfhren zum Lösen von lineren Gleichungssystemen durch Anwendung von Äquivlenzumformungen (3,3)-LGS in Normlform (3,3)-LGS in Digonlform 11 x x x 3 = b 1 21 x x x 3 = b 2 31 x x x 3 = b 3 Äquivlenzumformungen x 1 = b 1 x 2 = b 2 x 3 = b 3 L = {x 1 x 2 x 3 } 4

5 Linere Gleichungssysteme Lösbrkeit Nch Umformung des LGS in eine Stufenform knn dieses verschiedene Eigenschften besitzen: Widerspruch Wenigstens eine Gleichung stellt einen offensichtlichen Widerspruch dr Es gibt weniger Vrible ls nichttrivile Zeilen Es existiert kein Widerspruch Die Anzhl der Vriblen ist gleich der Anzhl der nichttrivilen Zeilen Es gibt mehr Vrible ls nichttrivile Zeilen Ds LGS ist unlösbr. Ds LGS ist eindeutig lösbr. Ds LGS ist eindeutig lösbr. Ds LGS ht unendlich viele Lösungen. Lösung durch Rückwärtseinsetzen. Lösung muss für lle (!) Gleichungen gelten Lösung durch Rückwärtseinsetzen Lösung durch Festlegung freier Prmeter 5

6 Linere Gleichungssysteme Vernschulichung im 2D Ds LGS ist unlösbr. I 4x - 4y = -4 II -6x + 6y = 12 I y = x + 1 II y = x + 2 Ds LGS ist eindeutig lösbr. I 4x - 2y = 4 II 6x + 6y = 24 I y = 2x - 2 II y = -x + 4 Ds LGS ht unendlich viele Lösungen. I 4x + 2y = 8 II -2x - y = -4 I y = -2x + 4 II y = -2x + 4 II I II I I II

7 Vektoren Punkt-Koordinten Ortsvektor eins Punktes A( ) = 0A = A(3 4 5) A 3 5 = 0A =

8 Vektoren Zwei Punkte Vektor zwischen zwei Punkten Betrg eines Vektors AB = - + b = b = b 1 b 2 b = b 1 1 b 2 2 b 3 3 Stz des Pythgors im 3D: = B Abstnd zweier Punkte b AB = b 1 1 b 2 2 b 3 3 = (b 1 1 ) 2 +(b 2 2 ) 2 +(b 3 3 ) 2 A 8

9 Vektoren Rechenregeln Addition b + b = b 1 b 2 b 3 = 1 + b b b 3 Kommuttivgesetz: Assozitivgesetz: Nullvektor + b = b + Gegenvektor + (-) = 0 ( + b) + c = + (b + c) 0 0 = = 0 b - - b = + (-b) Sklrmultipliktion (mit einer reellen Zhl) Distributivgesetz: r ( + b) = r + r b s = s 1 s 2 s 3 9

10 Vektoren Kollinerität Komplnrität b b c b = r c = r + s b Nicht Kollinerität Nicht Komplnrität b b c 10

11 Gerden A m x X A m = b - b B X x Prmetergleichung Zweipunktegleichung x y z x = + r m = r m 1 m 2 m 3 x = + r (b - ) x = 1 + r m 1 y = 2 + r m 2 z = 3 + r m 3 11

12 Gerden Lgebeziehungen Prllel Schneidend Windschief Identisch 12

13 Lgebeziehungen Vorgehen 1 Gerden Strt x = 1 + r m 1 x = 2 + s m 2 Gleichungen gleichsetzen LGS eindeutig lösbr LGS lösbr? LGS unlösbr LGS ht unendlich viele Lösungen J m 1, m 2 kolliner Nein Schneidend Identisch Prllel Windschief 13

14 Gerden Lgebeziehungen Vorgehen 2 x = 1 + r m 1 Strt x = 2 + s m 2 J m 1, m 2 kolliner Nein Gleichungen gleichsetzen J 1 liegt uf x 2? Nein LGS unlösbr LGS lösbr? LGS eindeutig lösbr Identisch Prllel Windschief Schneidend 14

15 Sklrprodukt Kosinusform Koordintenform Rechenregeln b = b cos b = b 1 b 2 b 3 = 1 b b b 3 b cos = b Kommuttivgesetz: b = b b (r) b = r( b) für r ϵ Distributivgesetz: ( + b) c = c + b c Betrg eines Vektors 2 = = = Orthogonlitätskriterium b = 0 cos = 0 = 90 b Schnittwinkel von Gerden cos = m 1 m 2 m 1 m 2 15

16 Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Eigenschften b ist orthogonl zu und b. Die Vektoren, b und b bilden eine Rechtssystem. b b b = 2 b 3 3b 2 3 b 1 1b 3 1 b 2 2b 1 Rechenregeln Anti-Kommuttivgesetz: Assozitivgesetz: Distributivgesetz: b = (b ) (r ) b = r ( b) für r ϵ (b + c) = b + c 16

17 Anwendung Sklr-/Vektorprodukt Sklrprodukt Flächeninhlt eines Dreiecks A = b 2 ( b) 2 Vektorprodukt Flächeninhlt eines Prllelogrmms A = b = b sin b b Volumen eines Spts b A = ( b) c c b 17

18 Ebenen Prmetergleichung Dreipunktegleichung A v v C u x X b B c E: x = + r u + s v x = 1 + r u 1 + s v 1 y = 2 + r u 2 + s v 2 z = 3 + r u 3 + s v 3 E: x = + r u + s v = + r (b - ) + s (c - ) 18

19 Ebenen Normlengleichung A n Prmetergleichung x = + r u + s v Normlengleichung x X (x ) n = 0 Vektorprodukt oder Normlen- Gleichungssystem (unterbestimmt) Normlengleichung Prmetergleichung (x ) n = 0 Normlengleichungen E: (x ) n = 0 x = + r u + s v 19

20 Ebenen Koordintengleichung Achsenbschnittsgleichung E: x A + y B + z C = 1 C Normlengleichung Koordintengleichung (x ) n = 0 Ausmultiplizieren x + by + cz = d B A Koordintengleichung Normlengleichung n = E: x + by + cz = d b c Ausprobieren x + by + cz = d (x ) n = 0 20

21 Lgebeziehungen Lge von Punkt und Ebene P(p 1 p 2 p 3 ) E: x e = + s u + t v Prmetergleichung E: (x e ) n = 0 E: x + by + cz = d Normlengleichung Koordintengleichung Anstz: Punktprobe p = x e p = + s u + t v p = x e (p ) n = 0 x = p 1 y = p 2 z = p 3 p 1 + bp 2 + cp 3 = d Bedingungen für Punkt in Ebene: Eindeutige Werte für s und t Gleichung stimmt Gleichung stimmt 21

22 Lgebeziehungen Lge von Punkt und Viereck Lge von Punkt und Dreieck D C C s B s B A r A r Anstz: P(p 1 p 2 p 3 ) einsetzen in E: x e = + r u + s v Bedingungen für Punkt in Viereck: (1) 0 r 1 (2) 0 s 1 Bedingungen für Punkt in Dreieck: (1) 0 r 1 (2) 0 s 1 (3) 0 r + s 1 22

23 Lgebeziehungen Lge von Gerde und Ebene g: x g = b + r m E: x e = + s u + t v Prmetergleichung Anstz: x g =x e g: x g = b + r m g: x g = b + r m E: (x e ) n = 0 E: x + by + cz = d Normlengleichung x g =x e Koordintengleichung x = b 1 + r m 1 y = b 2 + r m 2 z = b 3 + r m 3 b + r m = + s u + t v (b + r m ) n = 0 x + by + cz = d Bedingungen für Gerde schneidet Ebene: Eindeutige Werte für r bzw. s und t Eindeutiger Wert für r Eindeutiger Wert für r Bedingungen für Gerde Ebene: Bedingungen für Gerde in Ebene: Widerspruch Allgemein gültige Lösung 23

24 Lgebeziehungen Lge von zwei Ebenen E 1 : x e1 = + s u + t v E 2 : x e2 = b + q l + r m Prmetergleichung / Prmetergleichung Möglicher Anstz: x e1 = x e2 + s u + t v = b + q l + r m Bedingungen für Gerde schneidet Ebene: Eindeutige Funktion für s(t), t(s), q(r) oder r(q) E 1 : x e1 = + s u + t v E 2 : x + by + cz = d Prmetergleichung / Koordintengleichung x + by + cz = d x = 1 + s u 1 + t v 1 y = 2 + s u 2 + t v 2 z = 3 + s u 3 + t v 3 Eindeutige Funktion s(t) oder t(s) Bedingungen für prllele Ebenen: Widerspruch Bedingungen für identische Ebenen: Allgemein gültige Lösung 24

25 Spurgerden Anstz für g xy : z = 0 g xz g yz Anstz für g yz : x = 0 Anstz für g xz : y = 0 g xy 25

26 Schnittwinkel Gerde / Gerde g: x = 1 + r m 1 h: x = 2 + s m 2 Gerde / Ebene g: x = + r m E: (x ) n = 0 Ebene / Ebene E 1 : (x 1 ) n 1 = 0 E 2 : (x 2 ) n 2 = 0 g h n g n 2 n 1 cos = m 1 m 2 m 1 m 2 m n sin = m n cos = n 1 n 2 n 1 n 2 26

27 Abstnd Punkt / Ebene Abstndsberechnungen Lotfußpunktverfhren P Hesse sche Normlform P. n. d F Lotgerde n 0. d F A 1. Bestimmung der Lotgerde mit Hilfe von n und Punkt P 2. Berechnung des Schnittpunkts F der Lotgerde mit der Ebene 3. Berechnung Abstnd d = PF E: (x ) n 0 = 0 0 p d = (p ) n 0 27

28 Abstndsberechnungen Abstnd Punkt / Gerde Abstnd windschiefer Gerden (LK) z g g G P d F P F G n d H H y Q F H h x 1. Bestimmung einer Hilfsebene H senkrecht zu g (Richtungsvektor der Gerde entspricht Normlenvektor der Hilfsebene H. 2. Bestimmung Schnittpunkt g mit H => F. 3. Berechnung Abstnd d = PF. g: x = p + r m g h: x = q + r m h d = (p q) n 0 n m g n m h 28

29 Abstndsberechnungen Abstnd Ebene Ebene 1. Überprüfung der Prllelität der Ebenen E 1 und E Berechnung des Abstnds eines beliebigen Punktes uf E 1 von E 2. Abstnd Ebene Gerde 1. Überprüfung der Prllelität von Ebene und Gerde. 2. Berechnung des Abstnds eines beliebigen Punktes der Gerde und der Ebene. E 1 E 2 P d. g. g 1 P Abstnd Gerde Gerde 1. Überprüfung der Prllelität der Gerden g 1 und g Berechnung des Abstnds eines beliebigen Punktes uf g 1 von g 2. P d g 2 29

30 Linere Abbildungen (LK) x = A x A = 1 b 1 2 b 2 x 1 = 1 x 1 + b 1 x 2 x 2 = 2 x 1 + b 2 x 2 30

31 Linere Abbildungen (LK) Spiegelung Abbildungsgleichungen: y x = x y = - y Gleichungssystem der Abbildung: x = 1 x + 0 y y = 0 x - 1 y P(x y) Mtrizendrstellung der Abbildung: 0 P (x y ) x x y = x y x = A x 31

32 Linere Abbildungen (LK) Drehung Abbildungsgleichungen: y P (x y ) x = r cos ( +φ) y = r sin ( +φ) Gleichungssystem der Abbildung: φ r P(x y) x = r cos cos φ - r sin sin φ y = r sin cos φ + r cos sin φ x = cos φ x - sin φ y y = sin φ x + cos φ y 0 x Mtrizendrstellung der Abbildung: x = r cos y = r sin x y = cos φ sin φ sin φ cos φ x y x = A x 32

33 Linere Abbildungen (LK) Streckung y Abbildungsgleichungen: x = k x y = k y Gleichungssystem der Abbildung: P (x y ) x = k x + 0 y y = 0 x + k y 0 P(x y) Streckfktor k x Mtrizendrstellung der Abbildung: x y = k 0 0 k x y x = A x 33

34 Linere Abbildungen (LK) Projektion y B m Abbildungsgleichungen: x = 0 y = y 0,5 x B Gleichungssystem der Abbildung: x = 0 x + 0 y y = -0,5 x + 1 y A 0 A Projektionsstrhl x = x y + r 2 1 x Mtrizendrstellung der Abbildung: x y = 0 0 0,5 1 x y x = A x x = 0 = x 2 r r = 1 2 x 34

35 Linere Abbildungen (LK) Kombintion von Abbildungen y A 2 A 1 0 x Gesmtbbildung = Produkt der Einzelbbildungen A = A 1 A 2 Beispiel: = Drehmtrix = 90 Streckmtrix Fktor 2 35

36 Abbildungen im 3 (LK) Spiegelung n der x-z-ebene Abbildungsgleichungen: z x = x y = -y z = z Gleichungssystem der Abbildung: P (x y ) P(x y) y x = 1 x + 0 y + 0 z y = 0 x - 1 y + 0 z z = 0 x + 0 y + 1 z Mtrizendrstellung der Abbildung: x x y z = x y z x = A x 36

37 Abbildungen im 3 (LK) Senkrechte Projektion uf die x-y-ebene z Abbildungsgleichungen: x = x y = y z = 0 Gleichungssystem der Abbildung: P(x y) P (x y ) y x = 1 x + 0 y + 0 z y = 0 x + 1 y + 0 z z = 0 x + 0 y + 0 z Mtrizendrstellung der Abbildung: x x y z = x y z x = A x 37