täglich einmal Scilab (wenigstens)

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1 Dr. -ng. Wilfried Dnkmeier Elektro- und nformtionstechnik SS 2012 Mthemtik Mthemtik 1 - Übungsbltt 8 täglich einml Scilb (wenigstens) Aufgbe 1 (Drehung von Koordintensystemen) Gegeben ist der Vektor =[x y ] T Spltenvektor im x-y-koordintensystem. Seine Komponenten sollen in dem um den Ursprung mit den Winkel gedrehten -Koordintensystem ngegeben werden, lso =[ ] T, ( = griechisch xi, = griechisch et ). Der Vektor selbst ändert sich dbei nicht, nur seine Beschreibung. Diese Aufgbenstellung kommt z. B. in der Elektrotechnik im Zusmmenhng mit den rotierenden Elementen der Elektromotoren und in der Technischen Mechnik bei der Bestimmung von Trägheitsmomenten für die Biegelinien-Berechnung belsteter Blken vor. y Punkt (x,y) oder, x ) Stellen Sie mit den Angben x, y und die beiden Gleichungen uf, mit denen sich die Komponenten im gedrehten Koordintensystem beschreiben lssen. Hinweis: Überlegen Sie sich, wo der Winkel überll uftritt und verwenden Sie die Lge der grün gestrichelten Hilfslinie. Die Koordinte z. B. lässt sich dnn über zwei einfch nzugebende Anteile us den Koordinten x und y bestimmen. b) Stellen Sie die Gleichungen in Mtrix-Spltenvektor-Form dr und benennen Sie die Mtrix mit M. c) Bilden Sie die Trnsponierte M T. d) Bilden Sie ds Produkt M M T. e) Ws fällt hnen beim Ergebnis zu d) uf? Aufgbe 2 (Drehung von Koordintensystemen) Der Vektor us Aufgbe 1 soll nun im -Koordintensystem mit den Koordinten und gegeben sein. Ds x-y-koordintensystem ist um den Winkel gedreht. ) Bestimmen Sie die Trnsformtions-Gleichungen für ds x-y-system. b) Stellen Sie die Gleichungen in Mtrix-Spltenvektor-Form dr und benennen Sie die Mtrix mit M *. c) Vergleichen Sie M * mit M T us Aufgbe 1c). Ws fällt hnen uf? Seite 1 von 5

2 Dr. -ng. Wilfried Dnkmeier Elektro- und nformtionstechnik SS 2012 Mthemtik Aufgbe 3 (Beschreibung von Mtrizen) Gegeben ist eine (m x q)-mtrix A und eine (n x p)-mtrix B. ) Schreiben Sie beide Mtrizen ls llgemeine Rechteckschemt mit den indizierten Elementen ij bzw. b ij b) Welche Beziehungen müssen zwischen den Grenz-ndices m, n, p und q bestehen, dmit die Mtrix-Multipliktionen C=A B oder D=B A überhupt definiert sind und usgeführt werden können? Hinweis: Anzhl von Splten und Zeilen betrchten. c) Schreiben Sie für die Ausführungs-Bedingungen von b) die Mtrix-Elemente von C und D in Kompktform mit dem Summenzeichen? i=1... ( griechisch Sigm für Summe ). d) Lässt sich für q=n, m=p, m n die Reihenfolge bei C=A B zu C * =B A vertuschen? Erklärung? e) Lässt sich für q=n, m=p, m=n die Reihenfolge bei C=A B zu C ** =B A vertuschen? Erklärung? f) Sind die Ergebnisse für m = n bei C=A B und C *** =B A gleich? Erklärung? Aufgbe 4 (Determinnten-Berechnung: Vertuschen von Zeilen) Gegeben ist A=[ ] ) Berechnen Sie det(a) b) Bilden Sie die Mtrix A1 durch Vertuschen der Zeilen () und (). Berechnen Sie det(a1). c) Vergleichen Sie die Ergebnisse von ) und b). d) Bilden Sie die Mtrix A2 durch Vertuschen der Zeilen () und () von A1. Berechnen Sie det(a2). e) Vergleichen Sie die Ergebnisse von b) und d). Aufgbe 5 (Determinnten-Berechnung: Vertuschen von Splten) ) Bilden Sie die Mtrix A3 durch Vertuschen der Splten () und () in A von Aufgbe 4. Berechnen Sie det(a3). b) Vergleichen Sie die Ergebnisse von ) und 4). Aufgbe 6 (Determinnten-Berechnung: Addition einer Linerkombintion von Zeilen zu einer nderen Zeile) ) Bilden Sie us der Mtrix A von Aufgbe 4 die Mtrix A4 durch Addition der Linerkombintion 2 x Zeile () 3 x Zeile () zu Zeile (). b) Berechnen Sie det(a4) und vergleichen Sie ds Ergebnis mit dem von 4). Seite 2 von 5

3 Dr. -ng. Wilfried Dnkmeier Elektro- und nformtionstechnik SS 2012 Mthemtik Aufgbe 7 (Determinnten-Berechnung: Multipliktion einer Zeile mit einem Fktor) ) Multiplizieren Sie Zeile () von A us Aufgbe 4 mit -5, berechnen Sie die Determinnte und vergleichen Sie ds Ergebnis mit dem von 4). b) Multiplizieren Sie Splte () von A us Aufgbe 4 mit 7, berechnen Sie die Determinnte und vergleichen Sie ds Ergebnis mit dem von 4). c) Anwendung: Bestimmen Sie die det(a), in dem Sie A in eine rechte obere Dreiecksmtrix umformen und dbei ds Entstehen von Brüchen vermeiden (z. B. erst die Zeilen () und () mit 2 multiplizieren usw.), ls Zwischenergebnis ds Produkt der Huptdigonl-Elemente bilden, ds Zwischenergebnis zum richtigen Ergebnis korrigieren (Division durch die zuvor ngewendeten Zeilen-Multipliktoren). Aufgbe 8 (Determinnten-Rechnung zur Vorbereitung der Eigenwert-Bestimmung) Gegeben ist die Mtrix D=[ ]. ) Bilden Sie die die Mtrix E = D mit der reellen Vriblen und der (2 x 2)-Einheitsmtrix. b) Bestimmen Sie die Gleichung dete = 0. c) Lösen Sie den bei b) erhltenen Ausdruck nch uf. Hinweis: Allgemein heißen die Werte von Eigenwerte und spielen eine entscheidende Rolle bei der Schwingungsberechnung n mechnischen Konstruktionen, in elektrischen Netzwerken und vielen nderen Aufgbenstellungen der ngenieurtechnik. Aufgbe 9 Für ein elektrisches Widerstnds-Netzwerk sind die 3 Mschengleichungen x für die 3 unbeknnten Ströme 1, 2, 3 gegeben. ) Sind die Gleichungen liner unbhängig? b) Bestimmen Sie lle Lösungen c) Ws wurde bei der Aufstellung der 3 Gleichungen übersehen, dmit ds LGS eine eindeutige Lösung besitzt? Seite 3 von 5

4 Dr. -ng. Wilfried Dnkmeier Elektro- und nformtionstechnik SS 2012 Mthemtik Aufgbe 10 Gegeben ist ds folgende Widerstndsnetzwerk R i R 2 2 b R 1 mit = 100 V, R i = 10 Ohm, R 1,... = 100 Ohm. ) Welche Ströme sind unbeknnt? b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Kirchhoff'schen Mschen- und Knotengesetze die unbeknnten Ströme. LGS ufstellen, in Mtrizendrstellung umformen und mit Scilb lösen. c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Mschenstromverfhrens die unbeknnten Ströme. LGS ufstellen, mit Scilb lösen. Vorüberlegung zu b): Für die Berechnung der 5 unbeknnten Ströme benötigt mn 5 unbhängige Gleichungen. Dfür lssen sich 3 unbhängige Mschen, und (Zählrichtungen sind willkürlich) sowie 2 unbhängige Knoten und b bilden. Die 5 Gleichungen sind: Aus KKG für : 1 2 (1) Aus KKG für b: (2) Aus KMG für : R i R 1 1 (3) Aus KMG für : R 1 1 R (4) Aus KMG für : 3 4 (5) Dmit ist der elektrotechnische Teil der Aufgbe vollständig formuliert, lles weitere besteht in der mthemtischen Lösung des lineren Gleichungssystems (1) bis (5). Vorüberlegung zu c): Es lssen sich 3 Mschenströme einführen: R i R 2 2 b R 1 Die 3 Mschengleichungen sind: Msche : R i R1 R 1 Msche : R 1 R 1 R 2 Msche : Seite 4 von 5

5 Dr. -ng. Wilfried Dnkmeier Elektro- und nformtionstechnik SS 2012 Mthemtik Aufgbe 11 (ls Dessert ) Gegeben ist die folgende Brückenschltung, wie Sie in der Elektrotechnik zur Messung unbeknnter Widerstände (z.b. R 1 ) verwendet wird. Nutzbrer Effekt mit einem veränderlichen Präzisionswiderstnd R 2 Spnnungsnull in der Brücke einstellen). R i c 1 2 R 2 3 R 1 U b U R5 ) Stellen Sie ds LGS uf. ) Bestimmen Sie mit Scilb bei Vorgbe der Werte us Aufgbe 10 die Lösung. Seite 5 von 5