Einführung in die Festkörperphysik I Prof. Peter Böni, E21

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1 Einführung in die Festkörperphsik I Prof. Peter Böni, E21 Lösung zum 2. Übungsbltt (Besprechung: Oktober 2006) P. Niklowitz, E21 Aufgbe 2.1: Zweidimensionle Wigner-Seitz-Zellen Vernschulichen Sie, dß die Wigner-Seitz-Zelle für ein beliebiges zweidimensionles Brvisgitter entweder ein Rechteck oder ein Sechseck ist. Ein beliebiges zweidimensionles Brvisgitter knn durch die Beträge zweier primitiver Einheitsvektoren und einen Winkel zwischen den Vektoren beschrieben werden. Im Bild liegt im Ursprung eines krtesischen Koordintensstems ds Atom 0, dessen Wigner-Seitz-Zelle bestimmt werden soll. Ds zweidimensionle Brvisgitter wird durch die Positionen r 1 und r 2 der Atome 1 und 2 reltiv zum Ursprung definiert. Für ein llgemeines Brvisgitter ist r 1 = (, 0) und r 2 = (b, d). Durch Vriieren der Prmeter, b und d knn jedes zweidimensionle Brvisgitter drgestellt werden. Die Wigner-Seitz-Zelle ist ds innerste Polgon, welches us den Mittelsenkrechten der Verbindungslinien zwischen Atom 0 und den nderen Atomen des Brvisgitters gebildet wird. D die Wigner-Seitz-Zelle eine primitive Einheitszelle ist, muß sie die Fläche A = b besitzen. Wir rten, dß ds bgebildete Sechseck, welches us den Mittelsenkrechten M1 M6 der Atome 1-6 resultiert, die Wigner-Seitz-Zelle ist und zeigen dies durch die Berechnung ihrer Fläche. w 2 wl wr wm b d 5 6

2 WS0607; Festkörperphsik; Lsg. Bltt 2 Der Abstnd zwischen M1 und M4 ist w =. Um wr zu berechnen, müssen wir berechnen, uf welcher Höhe M2 die Mittelsenkrechte M1 schneidet. D M2 die Steigung 2 / 2 = d/b ht, erhlten wir die Gerdengleichung ( ) ( ) d/2 2 b/d M2 = +. b/2 2 D ußerdem m Schnittpunkt 2 = /2 d/2, erhlten wir wr = 2 (d) = b/2 (d d 2 )/(2b). wl folgt us der Bestimmung des Schnittpunkts von M mit M4. Aus Smmetriegründen gilt für die Höhe der Schnittpunkte (d) = 2 ( d) und Einsetzen liefert wl = 2 ( d) = b/2 ( d)/(2b) + ( d) 2 /(2b) = wr. Schließlich wird zur Berechnung der Fläche des Sechsecks noch die Höhe wm des Schnittpunkts von M2 und M benötigt. Mit der Steigung / = ( d)/b erhlten wir die Gerdengleichung für M: ( ) ( ) /2 + d/2 b/( d) M = +. b/2 Den Schnittpunkt von M2 und M erhält mn durch Gleichsetzen der Gerdengleichungen von M2 und M: ( ) ( ) ( ) ( ) d/2 2 b/d /2 + d/2 b/( d) + = +. b/2 2 b/2 Die Gleichung der -Koordinten liefert 2 = =:. Einsetzen in die Gleichung der -Koordinten ergibt wm = b/2 + = b/2 + (d d 2 )/(2b). Die Fläche des Hegons ist dnn A = 2[ wr ( wm wr )] = b. Dmit entspricht ds Hegon der Wigner-Seitz-Zelle. Für den Spezilfll d = 0 (Rechtecksgitter) gilt wm = wr und die Wigner-Seitz-Zelle ist ein Rechteck. Aufgbe 2.2: Dimntstruktur Die Dimntstruktur knn ls kubisch-flächenzentriertes Brvisgitter ufgefßt werden, dessen Bsis us Kohlenstofftomen bei (0,0,0) und (1/4,1/4,1/4) besteht. () Zeichnen Sie die (1 10) und (001) Ebene (die (z) Ebene stehe senkrecht uf dem Vektor (,,z) und enthlte den Ursprung; Blken smbolisieren negtive Koordinten). Die Gitterkonstnte der gewöhnlichen Einheitszelle von Dimnt ist =.57 Å. Wie groß ist der minimle Abstnd zwischen Kohlenstofftomen in der (001) Ebene? Wie groß ist der Abstnd nächster Nchbrn in der Dimntstruktur? 2

3 WS0607; Festkörperphsik; Lsg. Bltt 2 Dimntstruktur z (00z) (110) Ebene (00) (001) Ebene 2 (0) (00)

4 WS0607; Festkörperphsik; Lsg. Bltt 2 In den Kristllebenen sind die minimlen Abstände eingezeichnet. In der (001) Ebene ist der minimle Abstnd min,001 = 2/2 = 2.52 Å. Nächste Nchbrn im Dimntgitter sind zum Beispiel die Atome bei (0,0,0) und (1/4,1/4,1/4) und ihr Abstnd min = /4 = 1.55 Å. (b) Wieviele Atome gehören zur gewöhnlichen Einheitszelle? Die gewöhnliche Einheitszelle des kubisch-flächenzentrierten Gitters ht n ihren 8 Ecken und im Zentrum jeder der 6 Begrenzungsflächen je ein Atom. Zur gewöhnlichen Einheitszelle gehören lso 8/8 + 6/2 = 4 Atome. Die Dimntstruktur besteht us zwei um (1/4,1/4,1/4) gegeneinnder verschobenen kubisch-flächenzentrierten Gittern. Dher gehören zur gewöhnlichen Einheitszelle der Dimntstruktur 8 Atome. (c) Wieso knn unter der Annhme einer eintomigen Bsis kein Brvisgitter gefunden werden? Ein Blick uf die (1 10) Ebene zeigt, dß nächste Nchbrn nicht die gleiche Kristllumgebung hben. Zum Beispiel ht ds Atom bei (0,0,0) einen nächsten Nchbrn bei (1/4,1/4,1/4), ber ds Atom bei (1/4,1/4,1/4) ht keinen nächsten Nchbrn bei (1/2,1/2,1/2). Aufgbe 2.: Nächste Nchbrn Geben Sie für einen Eisenkristll (kubisch-rumzentriert, = 2.87 Å) die Anzhl und Abstände der nächsten bis viertnächsten Nchbrn n. Betrchten wir die Nchbrtome des Eisentoms im Ursprung, der mit der Ecke der gewöhnlichen Einheitszelle zusmmenfällt. Atome sitzen n den Positionen (,,z), wobei entweder, und z oder +1/2, +1/2 und z+1/2 gleichzeitig gnzzhlig sind. Der Abstnd vom Atom im Ursprung ist d (z) = z 2. z 4

5 WS0607; Festkörperphsik; Lsg. Bltt 2 Die nächsten bis viertnächsten Nchbrn befinden sich dher im Abstnd d 1/2,1/2,1/2 = /2 = 2.49 Å, d 1,0,0 = = 2.87 Å, d 1,1,0 = = 4.06 Å und d /2,1/2,1/2 = 11/2 = 4.76 Å. Die Anzhl der äquidistnten Nchbrn N z erhält mn unter Berücksichtigung der kubischen Smmetrie. Wenn sich bei (,,z) ein Atom befindet, befinden sich uch Atome n den Positionen, die mn durch eine beliebige Anzhl von Vorzeichenvertuschungen oder Vertuschungen der Koordinten erhält. Dher ist N 1/2,1/2,1/2 = 8, N 1,0,0 = 6, N 1,1,0 = 12 und N /2,1/2,1/2 = 24. Aufgbe 2.4: Kristllgitter - reziprokes Gitter () Zeigen Sie, dß llgemein gilt: V = (2π) /V, mit dem Volumen der primitiven Einheitszelle des Kristllgitters V und dem Volumen der primitiven Einheitszelle des reziproken Gitters V. Ds Volumen V ist durch ds Sptprodukt gegeben: V = b 1 ( b 2 b ). Der reziproke Vektor b 1 wird durch die Kristllgittervektoren usgedrückt und unter erneuter Verwendung des Sptprodukts V = 1 ( 2 ) erhält mn Die Lgrnge-Identität liefert und mit 2 b und b 2 folgt V = 2π/V ( 2 ) ( b 2 b ). ( 2 ) ( b 2 b ) = ( 2 b 2 ) ( b ) ( 2 b ) ( b 2 ), V = 2π/V ( 2 b 2 ) ( b ). Einsetzen der Kristllgittervektoren in b 2 liefert 2 b 2 = 2π 2 ( 1 ) 1 ( 2 ) = 2π. Anlog berechnet mn b = 2π (llgemein gilt i b j = 2πδ ij ) und Einsetzen in die Formel für V liefert V = (2π) /V. 5

6 WS0607; Festkörperphsik; Lsg. Bltt 2 (b) Zeigen Sie, dß ds reziproke Gitter des reziproken Gitters durch die Einheitsvektoren des ursprünglichen Kristllgitters beschrieben wird. Ein Einheitsvektor des zweifch reziproken Gitters sei b2 c 1 = 2π b b1 ( b 2 b ). Einsetzen der Kristllgittervektoren im Zähler in b 2 und Ausnutzen des Sptprodukts liefert c 1 = (2π) 2 ( 1 ) b V V. Von Aufgbenteil () wissen wir, dß V V = (2π). Den Zähler formen wir mit dem Entwicklungsstz für Vektoren um: ( 1 ) b = ( b ) 1 ( 1 b ) = 2π 1. Zuletzt wurde wieder i b j = 2πδ ij verwendet. Einsetzen liefert c 1 = 1. Die entsprechende Identität für c 2 und c folgt durch zklische Vertuschung der Indizes. (c) Eine hegonl-primitive Kristllstruktur liege mit ihrer hegonlen Ebene in der - Ebene eines krtesischen Koordintensstems. Die primitiven Einheitsvektoren sind (,0,0), (/2, /2,0) und (0,0,c). Berechnen Sie die Einheitsvektoren des reziproken Gitters. Welche Struktur ht ds reziproke Gitter? z c 2 1 Die Formel für den reziproken Einheitsvektor b 1 lutet 2 b1 = 2π 1 ( 2 ). 6

7 WS0607; Festkörperphsik; Lsg. Bltt 2 Durch zklisches Vertuschen der Indizes erhält mn nloge Formeln für b 2 und b. Der Winkel zwischen 1 = (, 0, 0) und 2 = (/2, /2, 0) des hegonl-primitiven Gitters beträgt 60, 1 und 2 stehen beide senkrecht uf = (0, 0, c). Drus folgt für ds Sptprodukt 1 ( 2 ) = ( 1 2 ) = Die Kreuzprodukte zwischen den primitiven Einheitsvektoren sind ( 2 ) = 2 ˆb1, ( 1 ) = 1 ˆb2 und ( 1 2 ) = 2 1 2ˆb. Die Richtungen der Vektoren ˆb i mit Länge 1 prllel zu den reziproken Gittervektoren ergeben sich us der Rechte-Hnd-Regel für ds Kreuzprodukt. Die reziproken Einheitsvektoren sind dnn b1 = 4π (cos 0, sin 0, 0), 1 b2 = 4π 2 (0, 1, 0) und b = 2π (0, 0, 1). Kristllgitter reziprokes Gitter b b 1 Ds reziproke Gitter ist wiederum ein hegonl-primitives Gitter. Die Richtungen der reziproken Einheitsvektoren sind im Bild gegeben. Ds reziproke Gitter ist gegenüber dem Kristllgitter in der hegonlen Ebene um 0 verdreht. 7