7. Elektronen im periodischen Potential

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1 7 Elektronen im periodischen Potentil 71 Blochfunktionen Wir betrchten nun Elektronen im periodischen Potentil der Atomrümpfe eines Festkörpers Dzu suchen wir die Lösung der Schrödingergleichung m V r r r (71) Hierbei ist ds Potentil V(r) gitterperiodisch: V r V r o,,, 1 p q3 o p q V r ir e (7) Wir betrchten ds Problem nun eindimensionl Ds Periodizitätsinterll im Relrum sei, die Zhl der Atome N Als Anstz benutzen wir Insbesondere ergibt sich hiermit: J muss somit die N-te Wurzel der 1 sein, x x N x J x (73) m x m J x N x N J x x (74) m i N J e mit m (75) Die llgemeine Lösung ht die Form i mx N x u x e, m mit gitterperiodischem u m 1

2 im x ix N ikx x ue e ue Diese Lösung der Schrödingergleichung heißt Blochfunktion Sie ist ls Überlgerung ebener Wellen drstellbr! Sie gilt uch in 3D: (76) ir ikr r u e e (76) wird ls Bloch-Theorem bezeichnet Hierzu sind noch einige Anmerkungen zu mchen: ) Sind die u so bestimmt, dss die Wellengleichung (71) erfüllt ist, so sind die zugehörigen Blochwellen Eigenzustände b) Der Wellenektor k ist nicht eindeutig, zb: k ' k g k ir r u e e ue ' i k g r e i g r ikr ir ikr uge e ue c) Auch ebene Wellen sind forml Blochwellen mit ir e ikr u 1 sonst * Die Drstellung knn nun über zwei erschiedene Schemt erfolgen: Ausgedehntes Schem:,,, k r k Reduziertes Schem: Mit dem sogennnten Bndindex j k, j r, k 1 BZ, j N

3 Abbildung 111: Energiebänder freier Elektronen des leeren kubisch primitien itters im reduzierten Zonenschem 7 Auftreten on Energielücken Ds Kriterium für ds Auftreten on Brgg-Reflexion on Wellen lutet k ' k (77) hkl Wir betrchten wieder ds eindimensionle Beispiel:, k, k ' k ' k Dmit ist die Brgg-Bedingung (77) erfüllt Eine Blochwelle mit der Wellenzhl k der Komponente ikx e uch ikx e enthlten Für diese Kombintion gibt es zwei Fälle: r u u e e 3 i i x 1 i x i x 1 e e cos x L L wird neben

4 1 i x i x 1 e e sin x L L Abbildung 11: Potentielle Energie () und Aufenthltswhrscheinlichkeit (b,c) eines Elektrons im Kristllgitter der Periodizität Die mittlere Energie der Elektronenzustände ist nicht mehr gleich (obwohl gleicher k-vektor), denn die potentielle Energie ist unterschiedlich Ds Potentil hbe nur eine Fourierkomponente: Dmit ergibt sich die Energiedifferenz zu: V x x cos L (78) E dxv x L (79) x x 1cos 1cos L 1 x x x dx cos cos sin Die Energielücken definieren Energiebänder In 3D gilt nlog für lle k-vektoren uf dem Rnd der Brillouinzone: hkl hkl k (71) hkl Wir betrchten ein einfch kubisches itter Dessen reziprokes itter ist wieder kubisch (siehe Abbildung 11) 4

5 Abbildung 113: Reziprokes itter eines einfch kubischen Relgitters ezeigt sind die 1 und die Brillouinzone Die Konstruktionsregeln für Brillouinzonen luten: ) Im usgedehnten Schem müssen die Ränder die Bedingung (71) erfüllen b) Ds Volumen entspricht immer dem Volumen der reziproken Einheitszelle (blue Fläche und gelbe Fläche in Abbildung 113 gleich groß) c) Nummerierung mit zunehmendem 73 Explizite Lösung der Schrödingergleichung Wir nehmen n, dss ds Potentil V(x) beknnt ist Die Schrödingergleichung ht dmit die Form: Mit schreibt sich die hintere Summe! Koeffizientenergleich g ergibt d i' x i k x ' e ue e m dx ' kinetische Energie beknntes Potentil Blochwelle Blochwelle ik x i' k x k ue u ' e m ' Die Koeffizientengleichung knn ls Mtrixgleichung formuliert werden: 5 i k x m g g : ' ' u e g' i g k x ' ' ' ' k u u (711)

6 k m u u k m u k m (71) Vu Für die nicht-triile Lösung muss die Determinnte erschwinden: Drus folgt die Dispersionsreltion k! detv 74 Beispiel Dispersion m Zonenrnd k k1,, k V x e e k ix ix,, 1 Aus (71) folgt dmit: k m u k m u 6