2.1 Translationssymmetrie

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1 2.1 Translationssymmetrie Die periodische Anordnung eines Kristalls entspricht mathematisch einer Translationssymmetrie. Diese wird mit Hilfe von drei fundamentalen Translationsvektoren beschrieben: T : ha k b l c; h, k, l (2.1) hkl Jede Verschiebung Thkl überführt das unendlich ausgedehnte Raumgitter in sich selbst (Symmetrieoperation). a, b, c sind die (nicht eindeutigen) Basisvektoren des Ortsraumes (siehe Abbildung 15). Abbildung 15: 2D Raumgitter mit verschiedenen Basisvektoren Das Raumgitter ist ein mathematisches Konzept. Um die reale Struktur der Materie zu beschreiben, wird an jeden Punkt des Raumgitters eine identische Basis geheftet (siehe Abbildung 16). Eine Einheitszelle mit minimalem Volumen Abbildung 16: reales itter mit Basis V a b c (2.2) heißt primitiv. In vielen Fällen erlaubt jedoch eine nicht primitive Zelle eine übersichtlichere Darstellung (siehe Abbildung 17). 1

2 Abbildung 17: kubisch-flächenzentriertes itter (fcc) mit primitiver Einheitszelle 2.2 Punktsymmetrien Neben der fundamentalen Translationssymmetrie zeigt ein Kristall charakteristische Punktsymmetrien: i) Spiegelung an einer Ebene (m) ii) Inversion in einem Punkt (1) n 2,3,4,6 iii) n-zählige Drehachsen mit 2, 3, 4, 6 iv) Drehinversion 2,3, 4, 6 Alle Symmetrieoperationen eines Kristalls bilden mathematisch gesehen eine abgeschlossene ruppe (Die Hintereinanderausführung von zwei Symmetrieoperationen führt wieder zu einem Symmetrieelement. Es gibt eine neutrale Operation und jeweils eine inverse Operation). Abbildung 18: Spiegel- (m) und leitspiegelebenen(g) an itter (links) und Einheitszelle (rechts) 2

3 In Abbildung 18 sind Spiegel- und leitspiegelebenen am Beispiel des flächenzentrierten Rechteckgitters dargestellt. Die leitspiegelung bezeichnet hierbei eine Parallelverschiebung mit anschließender Spiegelung. Zusätzlich zur Spiegel- und Inversionssymmetrie liegt noch eine zweizählige Rotationssymmetrie vor. Das mathematische Punktgitter hat jeweils die höchst mögliche Punktsymmetrie. Durch die Form der Basis kann diese allenfalls reduziert werden. Das Einbringen der gänzlich unsymmetrischen Basis aus Abbildung 16 würde in diesem Beispiel jede Punktsymmetrie zerstören. Insgesamt gibt es im Dreidimensionalen genau 32 verschiedene Punktsymmetriegruppen. Zusammen mit Translationssymmetrien gibt es 230 Raumgruppen. Die Translationsgitter werden in 14 fundamentale Translationsgitter, sogenannte Bravaisgitter unterteilt. Auf der Basis ihrer Punktsymmetrien gehören diese zu 7 Kristallsystemen (triklin, monoklin, orthorhombisch, hexagonal, rhomboedrisch, tetragonal, kubisch), siehe Abbildung 19. Abbildung 19: Die 14 Bravaisgitter 3

4 2.3 Die Indizierung von Ebenen und Richtungen i) Angabe von itterrichtungen, Kristallachsen Die itterrichtungen werden üblicherweise geschrieben als Die Menge aller symmetrischen Richtungen wird angegeben als l a b c (2.3),, (2.4),,,,,,,,... ii) Millerindizierung einer Ebenenschar Abbildung 20: Indizierung einer Ebenenschar Die Bezeichnung einer Ebenenschar geschieht auf folgende Weise (vergleiche Abbildung 20): a) Schiebe eine Ebene in der Ursprung b) Bestimme die Achsenabschnitte der benachbarten Ebene: H=1, K=1/2, L=? c) Bilde die Kehrwerte: und bezeichne die Ebenenschar schließlich durch h 1, k 2, l? (2.5) H K L h, k, l (2.6) h, k, l Menge aller symmetrischen Ebenen Als vierter Schritt wird in der Literatur in der Regel noch die nicht immer sinnvolle Normierung vorgeschlagen: 4

5 d) Normiere Verhältnisse auf kleine ganze Zahlen: z.b. anstatt (422) schreibe (211) schreibe In Abbildung 21 sind die prominenten Ebenen des kubischen itters dargestellt und in Abbildung 22 der Sonderfall der Indizierung beim hexagonalen itter. Bei diesem bietet sich eine Bezeichnung mit vier Indizes an: wobei gilt h k i l i h k Abbildung 21: prominente Ebenen in kubischen ittern Abbildung 22: hexagonales itter 5

6 iii) Reziprokes itter Für das reziproke itter definieren wir zunächst neue reziproke Basisvektoren: a 2 b c ; b 2 c a ; c 2 a b a b c c a b b c a (2.7) Das Spatprodukt im Nenner ist jeweils das Volumen der Basis des ursprünglichen itters: V a b c b c a c a b Die Vektoren des ursprünglichen und des reziproken itters erfüllen eine verallgemeinerte Orthogonalisierungsrelation nach der gilt a a a b a c 2, 0, 0 oder allgemein formuliert: aa (2.8) * i j ij Die reziproken Basisvektoren definieren ein neues reziprokes Punktgitter: hkl ha kb lc h, k, l Die Dimension der reziproken ittervektoren ist: (2.9) 1 * 1 a b c ; V m m Das reziproke itter ist somit ein ebilde im k-raum (Impulsraum), während das reale itter ein ebilde im Ortsraum ist. Die wichtigsten Eigenschaften des reziproken itters sind: I. Jede gitterperiodische Funktion lässt sich als Fourierreihe darstellen: x x T mit T ma nb oc x 3 ix Re (2.10) Hierbei wird über alle Punkte des reziproken itters summiert. R sind die Entwicklungskoeffizienten, für die nach dem Fouriertheorem gilt: F g x R Wir zeigen hier, dass die Reihe tatsächlich translationssymmetrisch ist: 6

7 ixt x T Re iha kb lc xmanb oc Re h, k, l iha kb lc xxmanb oc Re e h, k, l 2 i x 2iN Re e x i mhnk ol II. Der reziproke ittervektor hkl steht senkrecht auf den Ebenen der Schar mit der Millerindizierung h, k, l. Die Länge des reziproken ittervektors ist invers proportional zum Ebenenabstand d hkl 2 (2.11) hkl Der Zusammenhang zwischen realem und reziprokem itter ist in Abbildung 23 veranschaulicht. (Länge der reziproken Vektoren nicht masstäblich) Abbildung 23: Veranschaulichung zu itterrichtungen, Ebenenscharen, realem und reziprokem itter 2.4 Beschreibung von amorphen (nicht kristallinen) Strukturen Bei der Beschreibung von Flüssigkeiten oder läsern werden Kristallkonzepte gegenstandslos. Stattdessen wird eine Paarverteilungsfunktion eingeführt: g2 3 r d r 7

8 3 Diese gibt die Wahrscheinlichkeit an, in einem Volumen dr im Abstand r zu einem herausgegriffenen Atom ein zweites Atom zu finden (Abbildung 24). Abbildung 23: Veranschaulichung der Bedeutung der Paarverteilungsfunktion In der Regel ist eine Flüssigkeit isotrop, sodass die Paarverteilungsfunktion richtungsunabhängig ist (vergleiche Abbildung 25): 2 g r r dr 2 4 (Wahrscheinlichkeit in einer Kugelschale (r,dr) um das Aufatom herum weitere Atome zu finden.) Abbildung 25: links: Atomanordnung in Flüssigkeit; rechts: schematischer Verlauf der Paarverteilungsfunktion 8